|
Prvi kolokvij iz projektivne geometrije 23.11.2020.
1. Neka je ABC trovrh i p pravac koji nije incidentan ni s jednim od vrhova
tog trovrha. Označimo sjecišta p sa stranicama BC, CA i AB redom s
D', E' i F'.
Nadalje, neka su D, E i F točke takve da vrijede harmoničke relacije:
H(BC,DD'), H(CA,EE') i H(AB,FF'). Dokažite da se pravci AD, BE i CF
sijeku u jednoj točki.
Koji se poznati teorem afine geometrije može izvesti kao poseban
slučaj ove tvrdnje? Obrazložite.
2. Za perspektivni par trovrha ABC i A'B'C' označimo sljedeća sjecišta
pravaca ovako: BC' x B'C = X, CA' x C'A = Y i AB' x A'B = Z.
Dokažite da je tada trovrh XYZ perspektivan s oba zadana trovrha te da
sva tri trovrha imaju zajedničku os perspektiviteta.
3. Neka je A B' C A' B C' Papposov šesterovrh, pri čemu su kolinearne
točke A,B,C odnosno A',B',C', a svih šest vrhova različiti su od S,
sjecišta pravaca AB i A'B'. Pretpostavimo da dodatno vrijedi da su tri
pravca AA', BB' i CC' incidentna s jednom točkom. Tada vrijedi da su
sjecišta AB' i A'B, BC' i B'C, CA' i C'A te točka S kolinearne točke.
(a) Dokažite tvrdnju metodom koordinata u ravnini PG(2,[b]R[/b]).
(b) Je li tvrdnja istinita u projektivnoj ravnini u kojoj vrijedi
Desarguesov teorem i Fanoov aksiom, ali ne nužno i Papposov
teorem? Obrazložite odgovor tj. dokažite tvrdnju, ako je moguće,
bez Papposova teorema (uz navedene pretpostavke).
4. Bijektivno preslikavanje projektivne ravnine na sebe naziva se
perspektivna (S, o)-kolineacija ako je točka S (centar) fiksna po
pravcima (svaki pravac kroz S je invarijantan kao skup točaka),
a pravac o (os) fiksan po točkama. U Desarguesovoj ravnini
perspektivna kolineacija jednoznačno je određena centrom, osi
te jednom točkom P i njezinom slikom P', različitom od P.
(a) Ako su p i p' dva različita pravca u Desarguesovoj ravnini,
postoji li perspektivna kolineacija koja preslikava p u p'?
(b) U proširenoj euklidskoj ravnini, postoji li perspektivna
kolineacija koja preslika euklidski pravac u beskonačno
daleki pravac?
(c) U proširenoj euklidskoj ravnini, ako je ABCD četverokut
(svi vrhovi su euklidske točke) bez paralelnih stranica, postoji
li perspektivna kolineacija koja ABCD preslika u paralelogram?
Prvi kolokvij iz projektivne geometrije 23.11.2020.
1. Neka je ABC trovrh i p pravac koji nije incidentan ni s jednim od vrhova
tog trovrha. Označimo sjecišta p sa stranicama BC, CA i AB redom s
D', E' i F'.
Nadalje, neka su D, E i F točke takve da vrijede harmoničke relacije:
H(BC,DD'), H(CA,EE') i H(AB,FF'). Dokažite da se pravci AD, BE i CF
sijeku u jednoj točki.
Koji se poznati teorem afine geometrije može izvesti kao poseban
slučaj ove tvrdnje? Obrazložite.
2. Za perspektivni par trovrha ABC i A'B'C' označimo sljedeća sjecišta
pravaca ovako: BC' x B'C = X, CA' x C'A = Y i AB' x A'B = Z.
Dokažite da je tada trovrh XYZ perspektivan s oba zadana trovrha te da
sva tri trovrha imaju zajedničku os perspektiviteta.
3. Neka je A B' C A' B C' Papposov šesterovrh, pri čemu su kolinearne
točke A,B,C odnosno A',B',C', a svih šest vrhova različiti su od S,
sjecišta pravaca AB i A'B'. Pretpostavimo da dodatno vrijedi da su tri
pravca AA', BB' i CC' incidentna s jednom točkom. Tada vrijedi da su
sjecišta AB' i A'B, BC' i B'C, CA' i C'A te točka S kolinearne točke.
(a) Dokažite tvrdnju metodom koordinata u ravnini PG(2,R).
(b) Je li tvrdnja istinita u projektivnoj ravnini u kojoj vrijedi
Desarguesov teorem i Fanoov aksiom, ali ne nužno i Papposov
teorem? Obrazložite odgovor tj. dokažite tvrdnju, ako je moguće,
bez Papposova teorema (uz navedene pretpostavke).
4. Bijektivno preslikavanje projektivne ravnine na sebe naziva se
perspektivna (S, o)-kolineacija ako je točka S (centar) fiksna po
pravcima (svaki pravac kroz S je invarijantan kao skup točaka),
a pravac o (os) fiksan po točkama. U Desarguesovoj ravnini
perspektivna kolineacija jednoznačno je određena centrom, osi
te jednom točkom P i njezinom slikom P', različitom od P.
(a) Ako su p i p' dva različita pravca u Desarguesovoj ravnini,
postoji li perspektivna kolineacija koja preslikava p u p'?
(b) U proširenoj euklidskoj ravnini, postoji li perspektivna
kolineacija koja preslika euklidski pravac u beskonačno
daleki pravac?
(c) U proširenoj euklidskoj ravnini, ako je ABCD četverokut
(svi vrhovi su euklidske točke) bez paralelnih stranica, postoji
li perspektivna kolineacija koja ABCD preslika u paralelogram?
|
