Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Zadaci s prvog kolokvija - 21.11.2022.

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji diplomskih i starih studija -> Projektivna geometrija
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Juraj Siftar
Gost





PostPostano: 19:00 sri, 23. 11. 2022    Naslov: Zadaci s prvog kolokvija - 21.11.2022. Citirajte i odgovorite

[b]Zadaci s 1. kolokvija - 21. studenog 2022.[/b]

U svim zadacima pretpostavlja se da u projektivnoj ravnini vrijedi Desarguesov teorem i Fanoov aksiom,
ako nije posebno navedeno drukčije.

1.
(a) Dokažite tvrdnju: Dijagonalni trovrh potpunog četverovrha perspektivan je sa svakim od trovrha
koji je određen s po tri vrha tog četverovrha.
Što se može reći o centrima i osima tih perspektiviteta?

(b) Pretpostavimo da je u projektivnoj ravnini zadan potpuni četverovrh
i da je zatim dobivena afina ravnina uklanjanjem nekog pravca koji prolazi
točno jednom dijagonalnom točkom četverovrha.
Kako se može primijeniti i interpretirati tvrdnja iz (a) u pogledu
kolinearnosti nekih točaka koje imaju odgovarajuće uloge za četverovrh
u afinoj ravnini?

2.
Neka u realnoj projektivnoj ravnini za točke A, B, C, D vrijedi H(A,B;C,D).
Ako su C i D izražene u obliku C = x A + y B, D = x’ A + y’ B, tada
vrijednost x y’ + x’ y ne ovisi o izboru točaka A, B, C i D, nego samo
o uvjetu da čine harmoničku četvorku. Dokažite.

3.
Zadano je pet različitih kolinearnih točaka, A, B, C, D i E na pravcu p.
(a)Pokažite da postoji točka F pravca p i potpuni četverovrh PQRS, čiji su
svi vrhovi različiti od zadanih pet točaka tako da su A i D, B i E te C i F
sjecišta pravca p s parovima suprotnih stranica četverovrha PQRS.
(b) Dokažite da za zadanih pet točaka u (a) postoji točno jedna točka F
s navedenim svojstvom.
Uputa: Dokaz je analogan dokazu jedinstvenosti četvrte harmoničke točke.


4.
Odredite jednadžbu Papposovog pravca u realnoj projektivnoj ravnini
PG(2, R), ako su vrhovi Papposovog šesterovrha redom točke (1:a:0),
(0:1:b), (1:c:0), (0:1:a), (1:b:0) i (0:1:c), pri čemu su a, b, c različiti
međusobno i različiti od 0. Mogu li se a, b, c izabrati tako da postoji perspektivitet
između kolinearnih trojki vrhova tog Papposovog
šesterovrha? (Napomena: u obzir dolazi više mogućnosti).
Zadaci s 1. kolokvija - 21. studenog 2022.

U svim zadacima pretpostavlja se da u projektivnoj ravnini vrijedi Desarguesov teorem i Fanoov aksiom,
ako nije posebno navedeno drukčije.

1.
(a) Dokažite tvrdnju: Dijagonalni trovrh potpunog četverovrha perspektivan je sa svakim od trovrha
koji je određen s po tri vrha tog četverovrha.
Što se može reći o centrima i osima tih perspektiviteta?

(b) Pretpostavimo da je u projektivnoj ravnini zadan potpuni četverovrh
i da je zatim dobivena afina ravnina uklanjanjem nekog pravca koji prolazi
točno jednom dijagonalnom točkom četverovrha.
Kako se može primijeniti i interpretirati tvrdnja iz (a) u pogledu
kolinearnosti nekih točaka koje imaju odgovarajuće uloge za četverovrh
u afinoj ravnini?

2.
Neka u realnoj projektivnoj ravnini za točke A, B, C, D vrijedi H(A,B;C,D).
Ako su C i D izražene u obliku C = x A + y B, D = x’ A + y’ B, tada
vrijednost x y’ + x’ y ne ovisi o izboru točaka A, B, C i D, nego samo
o uvjetu da čine harmoničku četvorku. Dokažite.

3.
Zadano je pet različitih kolinearnih točaka, A, B, C, D i E na pravcu p.
(a)Pokažite da postoji točka F pravca p i potpuni četverovrh PQRS, čiji su
svi vrhovi različiti od zadanih pet točaka tako da su A i D, B i E te C i F
sjecišta pravca p s parovima suprotnih stranica četverovrha PQRS.
(b) Dokažite da za zadanih pet točaka u (a) postoji točno jedna točka F
s navedenim svojstvom.
Uputa: Dokaz je analogan dokazu jedinstvenosti četvrte harmoničke točke.


4.
Odredite jednadžbu Papposovog pravca u realnoj projektivnoj ravnini
PG(2, R), ako su vrhovi Papposovog šesterovrha redom točke (1:a:0),
(0:1:b), (1:c:0), (0:1:a), (1:b:0) i (0:1:c), pri čemu su a, b, c različiti
međusobno i različiti od 0. Mogu li se a, b, c izabrati tako da postoji perspektivitet
između kolinearnih trojki vrhova tog Papposovog
šesterovrha? (Napomena: u obzir dolazi više mogućnosti).


[Vrh]
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji diplomskih i starih studija -> Projektivna geometrija Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You cannot attach files in this forum
You cannot download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan