| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (355F)16
Spol: 
Lokacija: /sbin/init
|
 Postano: 22:26 uto, 10. 12. 2002 Naslov: Re: drugi kolokvij,peti zadatak. |
    |
|
|
[quote="Lord Sirius"]da li bi mi netko od asistenata ili bilo tko drugi mogao dati neki hint kako se rjesava peti zadatak?probao sam dosta toga i nemogu ga izvuci.[/quote]
Kad pitate za zadatke. pipl, napisite i text zadatka. Nije to tako tesko, a onda ce vam moci pomoci i ljudi koji nemaju veze s kolokvijem.
[quote="Lord Sirius"]i jos nesto. u 3. zadatku pise naci A^t*A, A*A^t i njihove [color=red]tragove[/color]. Sto znaci pronaci njihove tragove????[/quote]
Neka me neka mudra glava ispravi ako grijesim: ne definira li se trag kvadratne matrice kao suma elemenata na (glavnoj) dijagonali? A oni produkti bi bas trebali dati kvadratne matrice... :)
| Lord Sirius (napisa): | | da li bi mi netko od asistenata ili bilo tko drugi mogao dati neki hint kako se rjesava peti zadatak?probao sam dosta toga i nemogu ga izvuci. |
Kad pitate za zadatke. pipl, napisite i text zadatka. Nije to tako tesko, a onda ce vam moci pomoci i ljudi koji nemaju veze s kolokvijem.
| Lord Sirius (napisa): | | i jos nesto. u 3. zadatku pise naci A^t*A, A*A^t i njihove tragove. Sto znaci pronaci njihove tragove???? |
Neka me neka mudra glava ispravi ako grijesim: ne definira li se trag kvadratne matrice kao suma elemenata na (glavnoj) dijagonali? A oni produkti bi bas trebali dati kvadratne matrice... 
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.  |
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (355F)16
Spol:
Lokacija: /sbin/init
|
| Postano: 2:08 sri, 11. 12. 2002 Naslov: Re: drugi kolokvij,peti zadatak. |
|
|
|
[quote="Lord Sirius"][quote="vsego"]
Neka me neka mudra glava ispravi ako grijesim: ne definira li se trag kvadratne matrice kao suma elemenata na (glavnoj) dijagonali? A oni produkti bi bas trebali dati kvadratne matrice... :)[/quote]
...aaaahaa...znaci to je trag.na vjezbama i predavanjima se to jos nije definiralo, a nemogu se pohvaliti da sam pun knjiga iz linearne..[/quote]
Mozda ti je promaklo? Nije bas obicaj da se daje gradivo koje nije obradjeno... :?
[quote="Lord Sirius"]znaci, zadatak je isao ovako:
izracunaj determinantu:
[code:1](a+1) a a ... a a
a (a+2) a ... a a
a a (a+2^2) ... a a
.
.
.
a a a ... (a+2^(n-1)) a
a a a ... a (a+2^n)[/code:1][/quote]
Oznacimo takvu matricu sa A_n.
Ako imas Horvaticevu Lineranu Algebru 2, onda na stranici 122 (izdanje iz 1995) imas Propoziciju 9:
Neka je s proizvoljan i A=[a_ij], B=[b_ij], C=[c_ij] matrice takve da je:
c_ik = a_ik + b_ik, za i = s
c_ik = a_ik = b_ik, za i != s
[color=gray]Dakle, razlikuju se samo u jednom retku i tamo su u matrici C sume odgovrarajucih elemenata iz A i B.[/color]
Tada je det C = det A + det B
Sada A_n razbijes na
[code:1](a+1) a a ... a 0
a (a+2) a ... a 0
a a (a+2^2) ... a 0
.
.
.
a a a ... (a+2^(n-1)) 0
a a a ... a 2^n[/code:1]
i
[code:1](a+1) a a ... a a
a (a+2) a ... a a
a a (a+2^2) ... a a
.
.
.
a a a ... (a+2^(n-1)) a
a a a ... a a[/code:1]
Determinanta prve od ove dvije je 2^n*det(A_{n-1}) (Laplaceov razvoj).
Drugoj izlucis a iz determinante (zadnji stupac!), pa ti ostane a*det(D), gdje je D originalna matrica kojoj su u zadnjem stupcu same jedinice.
Dakle, matrica D je
[code:1](a+1) a a ... a 1
a (a+2) a ... a 1
a a (a+2^2) ... a 1
.
.
.
a a a ... (a+2^(n-1)) 1
a a a ... a 1[/code:1]
No, imamo stupac koji se sastoji od samih jedinica, pa ga mozemo mozemo mnoziti s -a i dodavati ostalim stupcima. Tako dobijemo matricu koja na dijagonali ima potencije 2^k (k=0..n-1), cijeli desni stupac su jedinice, a ostali elementi su nule:
[code:1]1 0 0 ... 0 1
0 2 0 ... 0 1
0 0 2^2 ... 0 1
.
.
.
0 0 0 ... 2^(n-1) 1
0 0 0 ... 0 1[/code:1]
Determinanta se tom transformacijom nije promijenila (Korolar 11, str. 123), pa vrijedi det(D)=1 * 2 * 2^2 * ... * 2^(n-1) = 2^(n(n-1)/2).
Dakle, imamo da je:
det A_n = 2^n*det(A_{n-1}) + a*2^(n(n-1)/2) :shock:
"a * " je od onog a sto ga izlucismo...
:krcko:
E sad... ili sam ja negdje gadno zeznuo ili je ovo teska rekurzija... :roll: Anyway, imas ideju... sort of... 8)
Sorry, al' ja nikad nisam bio neki carobnjak u Algebri... :( Blago receno... ;)
| Lord Sirius (napisa): | | vsego (napisa): |
Neka me neka mudra glava ispravi ako grijesim: ne definira li se trag kvadratne matrice kao suma elemenata na (glavnoj) dijagonali? A oni produkti bi bas trebali dati kvadratne matrice... |
...aaaahaa...znaci to je trag.na vjezbama i predavanjima se to jos nije definiralo, a nemogu se pohvaliti da sam pun knjiga iz linearne.. |
Mozda ti je promaklo? Nije bas obicaj da se daje gradivo koje nije obradjeno... 
| Lord Sirius (napisa): | znaci, zadatak je isao ovako:
izracunaj determinantu:
| Kod: | (a+1) a a ... a a
a (a+2) a ... a a
a a (a+2^2) ... a a
.
.
.
a a a ... (a+2^(n-1)) a
a a a ... a (a+2^n) |
|
Oznacimo takvu matricu sa A_n.
Ako imas Horvaticevu Lineranu Algebru 2, onda na stranici 122 (izdanje iz 1995) imas Propoziciju 9:
Neka je s proizvoljan i A=[a_ij], B=[b_ij], C=[c_ij] matrice takve da je:
c_ik = a_ik + b_ik, za i = s
c_ik = a_ik = b_ik, za i != s
Dakle, razlikuju se samo u jednom retku i tamo su u matrici C sume odgovrarajucih elemenata iz A i B.
Tada je det C = det A + det B
Sada A_n razbijes na
| Kod: | (a+1) a a ... a 0
a (a+2) a ... a 0
a a (a+2^2) ... a 0
.
.
.
a a a ... (a+2^(n-1)) 0
a a a ... a 2^n |
i
| Kod: | (a+1) a a ... a a
a (a+2) a ... a a
a a (a+2^2) ... a a
.
.
.
a a a ... (a+2^(n-1)) a
a a a ... a a |
Determinanta prve od ove dvije je 2^n*det(A_{n-1}) (Laplaceov razvoj).
Drugoj izlucis a iz determinante (zadnji stupac!), pa ti ostane a*det(D), gdje je D originalna matrica kojoj su u zadnjem stupcu same jedinice.
Dakle, matrica D je
| Kod: | (a+1) a a ... a 1
a (a+2) a ... a 1
a a (a+2^2) ... a 1
.
.
.
a a a ... (a+2^(n-1)) 1
a a a ... a 1 |
No, imamo stupac koji se sastoji od samih jedinica, pa ga mozemo mozemo mnoziti s -a i dodavati ostalim stupcima. Tako dobijemo matricu koja na dijagonali ima potencije 2^k (k=0..n-1), cijeli desni stupac su jedinice, a ostali elementi su nule:
| Kod: | 1 0 0 ... 0 1
0 2 0 ... 0 1
0 0 2^2 ... 0 1
.
.
.
0 0 0 ... 2^(n-1) 1
0 0 0 ... 0 1 |
Determinanta se tom transformacijom nije promijenila (Korolar 11, str. 123), pa vrijedi det(D)=1 * 2 * 2^2 * ... * 2^(n-1) = 2^(n(n-1)/2).
Dakle, imamo da je:
det A_n = 2^n*det(A_{n-1}) + a*2^(n(n-1)/2) 
"a * " je od onog a sto ga izlucismo...
E sad... ili sam ja negdje gadno zeznuo ili je ovo teska rekurzija...  Anyway, imas ideju... sort of... 
Sorry, al' ja nikad nisam bio neki carobnjak u Algebri...  Blago receno... 
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju. |
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol:
|
| Postano: 19:48 sri, 11. 12. 2002 Naslov: Re: drugi kolokvij,peti zadatak. |
|
|
|
[quote]
Mozda ti je promaklo? Nije bas obicaj da se daje gradivo koje nije obradjeno... :?[/quote]
Nije ziher mi promaklo.Dosta pozorno pratim i predavanja i vjezbe,kao i osoba kraj mene..zacudio sam se kad me je pitala sto je trag matrice.Thanks to vsego,znao sam sto je.
[quote="Lord Sirius"]znaci, zadatak je isao ovako:
izracunaj determinantu:
[code:1](a+1) a a ... a a
a (a+2) a ... a a
a a (a+2^2) ... a a
.
.
.
a a a ... (a+2^(n-1)) a
a a a ... a (a+2^n)[/code:1][/quote]
Nes sam malo ujutro razmisljao i pokusao drugi redak pomnoziti sa -1 i dodati ga prvom. Tako i treci redak pomnoziti sa -1 i dodati ga drugome i tako sve do n-tog retka. Dobio sam nesto poput:
[code:1]1 -2 0 ... 0 0
0 2 -2^2 ... 0 0
0 0 2^2 ... 0 0
.
.
.
0 0 0 ... -2^(n-1) 2^n
a a a ... a (a+2^n)[/code:1]
E sad, nisam isao razvijati determinantu n-tog stupnja nego 6-tog. Razvio sam po zadnjem retku i dobio da je prva determinanda jednaka 2^15, druga 2^14 i tako svaka slijedeca determinanta je manja za 2 od prethodne za 2, sve do pete koja je 2^10. Znaci imamo ovo:
[code:1]
a(-32768) - a(16348) + a(-8192) - a(4096) + a(-2048) - (a+2^5)(1024)=
-a(2^10 + 2^11 + 2^12 + 2^13 + 2^14 + 2^15) - 2^15=
-a*2^10(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) - 2^15[/code:1]
to bi trebalo biti rjesenje za n=6. Sada se samo to nekako treba poopciti...A opet,nemam pojima kako bi to islo.
Naime,ono rjesenje koje ste vi ponudili mi je sasvim prihvatljivo (vidio sam svakakva rjesenja u 4 godine mioca) ali mislim da mozda bas i nije nekako ocito da je to najjednostavnije rjesenje?ima li neko jednostavnije,bez rekurzije?jer sumnjam da to jedan student 1. godine zna rjesiti.
[quote]
Sorry, al' ja nikad nisam bio neki carobnjak u Algebri... :( Blago receno... ;)[/quote]
Pa kuda ovaj svijet ide kada nam asistenti sa poteskocama rjesavaju zadatke koji su sami postavili na kolokviju??? :)
| Citat: |
Mozda ti je promaklo? Nije bas obicaj da se daje gradivo koje nije obradjeno... |
Nije ziher mi promaklo.Dosta pozorno pratim i predavanja i vjezbe,kao i osoba kraj mene..zacudio sam se kad me je pitala sto je trag matrice.Thanks to vsego,znao sam sto je.
| Lord Sirius (napisa): | znaci, zadatak je isao ovako:
izracunaj determinantu:
| Kod: | (a+1) a a ... a a
a (a+2) a ... a a
a a (a+2^2) ... a a
.
.
.
a a a ... (a+2^(n-1)) a
a a a ... a (a+2^n) |
|
Nes sam malo ujutro razmisljao i pokusao drugi redak pomnoziti sa -1 i dodati ga prvom. Tako i treci redak pomnoziti sa -1 i dodati ga drugome i tako sve do n-tog retka. Dobio sam nesto poput:
| Kod: | 1 -2 0 ... 0 0
0 2 -2^2 ... 0 0
0 0 2^2 ... 0 0
.
.
.
0 0 0 ... -2^(n-1) 2^n
a a a ... a (a+2^n) |
E sad, nisam isao razvijati determinantu n-tog stupnja nego 6-tog. Razvio sam po zadnjem retku i dobio da je prva determinanda jednaka 2^15, druga 2^14 i tako svaka slijedeca determinanta je manja za 2 od prethodne za 2, sve do pete koja je 2^10. Znaci imamo ovo:
| Kod: |
a(-32768) - a(16348) + a(-8192) - a(4096) + a(-2048) - (a+2^5)(1024)=
-a(2^10 + 2^11 + 2^12 + 2^13 + 2^14 + 2^15) - 2^15=
-a*2^10(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) - 2^15 |
to bi trebalo biti rjesenje za n=6. Sada se samo to nekako treba poopciti...A opet,nemam pojima kako bi to islo.
Naime,ono rjesenje koje ste vi ponudili mi je sasvim prihvatljivo (vidio sam svakakva rjesenja u 4 godine mioca) ali mislim da mozda bas i nije nekako ocito da je to najjednostavnije rjesenje?ima li neko jednostavnije,bez rekurzije?jer sumnjam da to jedan student 1. godine zna rjesiti.
| Citat: |
Sorry, al' ja nikad nisam bio neki carobnjak u Algebri... Blago receno... |
Pa kuda ovaj svijet ide kada nam asistenti sa poteskocama rjesavaju zadatke koji su sami postavili na kolokviju???
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (355F)16
Spol:
Lokacija: /sbin/init
|
| Postano: 21:25 sri, 11. 12. 2002 Naslov: Re: drugi kolokvij,peti zadatak. |
|
|
|
Ako je ovo tocno:
[code:1]1 -2 0 ... 0 0
0 2 -2^2 ... 0 0
0 0 2^2 ... 0 0
.
.
.
0 0 0 ... -2^(n-1) 2^n
a a a ... a (a+2^n)[/code:1]
onda mozes prvi stupac pomnoziti s 2 i dodati drugom. Nakon toga drugi pomnozis s 2 i dodas trecem,... Dobijes:
[code:1]1 0 0 ... 0 0
0 2 0 ... 0 0
0 0 2^2 ... 0 0
.
.
.
0 0 0 ... 2^(n-1) 0
a 3a 7a ... (2^(n-1)-1)a ((2^n-1)a+2^n)[/code:1]
E, sad, ako nisam debelo promasio, onda mozemo razviti po zadnjem retku (samo jedan clan!). Ostane nam dijagonalna matrica, pa je determinanta svega, u stvari, produkt dijagonalnih elemenata ove zadnje matrice:
1 * 2 * 2^2 * ... * 2^(n-1) * ((2^n-1)a+2^n) =
1 * 2 * 2^2 * ... * 2^(n-1) * (2^n(a+1)-a) =
2^(1+2+...+n)(a+1)-2^(1+2+...+(n-1))a=
2^(n(n+1)/2) * (a+1)-2^(n(n-1)/2) * a
Nadam se da je dobro... :)
[quote="Lord Sirius"][quote="vsego"]Sorry, al' ja nikad nisam bio neki carobnjak u Algebri... :( Blago receno... ;)[/quote]
Pa kuda ovaj svijet ide kada nam asistenti sa poteskocama rjesavaju zadatke koji su sami postavili na kolokviju??? :)[/quote]
Kakve veze ja - ubogi racunarac - imam sa postavljanjem zadataka na kolokviju iz LA :?:
Sretno :!:
Ako je ovo tocno:
| Kod: | 1 -2 0 ... 0 0
0 2 -2^2 ... 0 0
0 0 2^2 ... 0 0
.
.
.
0 0 0 ... -2^(n-1) 2^n
a a a ... a (a+2^n) |
onda mozes prvi stupac pomnoziti s 2 i dodati drugom. Nakon toga drugi pomnozis s 2 i dodas trecem,... Dobijes:
| Kod: | 1 0 0 ... 0 0
0 2 0 ... 0 0
0 0 2^2 ... 0 0
.
.
.
0 0 0 ... 2^(n-1) 0
a 3a 7a ... (2^(n-1)-1)a ((2^n-1)a+2^n) |
E, sad, ako nisam debelo promasio, onda mozemo razviti po zadnjem retku (samo jedan clan!). Ostane nam dijagonalna matrica, pa je determinanta svega, u stvari, produkt dijagonalnih elemenata ove zadnje matrice:
1 * 2 * 2^2 * ... * 2^(n-1) * ((2^n-1)a+2^n) =
1 * 2 * 2^2 * ... * 2^(n-1) * (2^n(a+1)-a) =
2^(1+2+...+n)(a+1)-2^(1+2+...+(n-1))a=
2^(n(n+1)/2) * (a+1)-2^(n(n-1)/2) * a
Nadam se da je dobro...
| Lord Sirius (napisa): | | vsego (napisa): | | Sorry, al' ja nikad nisam bio neki carobnjak u Algebri... Blago receno... |
Pa kuda ovaj svijet ide kada nam asistenti sa poteskocama rjesavaju zadatke koji su sami postavili na kolokviju??? |
Kakve veze ja - ubogi racunarac - imam sa postavljanjem zadataka na kolokviju iz LA 
Sretno 
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju. |
|
| [Vrh] |
|
|
