Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu

through

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Diskretna matematika

#1: problem permutacija Autor/ica: dodge, Lokacija: quick stop

Postano: 21:57 uto, 16. 12. 2003
—
Prepisujem ja tako danas predavanja od prošloga tjedna (kod prof. Nogo) na kojima nisam bio, pa vidim pod naslovom "Problem permutacija sa zabranjenim pozicijama" sljedeci izraz

Pn(x) := (suma po j=0 do n) Pj * x^j ... topovski polinom
^^^^^^^^^^^^
(nisam vičan tipkovničkoj matematici)

anyways, iz toga bi kao trebalo sljediti Pn(0)=Po

No Pn(0) je po toj definiciji Po * 0^0.

Da li je ovo krivo zapisano pa bi trebalo biti Pn(0):=Po? (mada me ljudi uvjeravaju da je ona eksplicitno rekla da to bas sljedi iz definicije)

Nemam nikakvu literaturu da provjerim, a pitam zato sto sam primjetio da prof. Nogo ne obraca previse paznju na 0^0 jer je vec netocno postavila binomni teorem, a i dokaz tm-a o poopćenju FUI-a je nekako prevukla preko toga, no nisam ga jos pregledao, tako da to necu sad komentirati.

#2: Autor/ica: krcko,

Postano: 23:06 uto, 16. 12. 2003
—
Na analizi se obicno inzistira da 0^0 nije definirano, jer limes od f(x)^g(x) kada f(x) i g(x) oba teze nuli moze biti bilo sto. No za potrebe jednostavnijeg zapisivanja polinoma mozemo se dogovoriti da 0^0 bude 1 (cisto da ne bi morali izdvajati slobodni clan iz sume). Mislim da se zbog takvog dogovora ne bi trebalo desiti nista lose (u smislu kontradikcija).

Na polinome se na kombinatorici obicno gleda kao na formalne redove potencija (s konacno ne-nul elemenata). U tom svjetlu nije ni bitno sto se desava kod uvrstavanja ovog ili onog broja. Kod racunanja s funkcijama izvodnicama isto nas nece biti briga za koje vrijednosti red konvergira, a za koje ne. Ako uspijemo dobiti zatvoreni oblik (bez beskonacne sume) s tim mozemo dalje racunati, i eventualno prebrojiti ovu ili onu familiju objekata.

#3: Autor/ica: dodge, Lokacija: quick stop

Postano: 8:50 sri, 17. 12. 2003
—

Citat:

No za potrebe jednostavnijeg zapisivanja polinoma mozemo se dogovoriti da 0^0 bude 1 (cisto da ne bi morali izdvajati slobodni clan iz sume). Mislim da se zbog takvog dogovora ne bi trebalo desiti nista lose (u smislu kontradikcija).

Recimo da ti vjerujem, ali ne svidja mi se to.

#4: Autor/ica: veky, Lokacija: negdje daleko...

Postano: 23:28 sri, 17. 12. 2003
—

dodge (napisa):

Citat:

Recimo da ti vjerujem, ali ne svidja mi se to.

Što konkretno? 0^0 jest 1, i to po bilo kojoj suvisloj definiciji potenciranja cijelih brojeva (iterirani produkt, rekurzije, specijalni slučaj uvrštavanja u polinom, pa čak i u ZFu ako baš hoćeš - postoji točno jedna funkcija s praznog skupa u prazan skup).

To što time, jednom kad prijeđemo u realne brojeve, funkcija "potenciranje" nije neprekidna zdesna po drugoj varijabli u točki (0,0) , to je problem analize - odnosno, nedovoljne pažnje prilikom računanja limesa "uvrštavanjem". I tako i tako se prečesto olako pretpostavlja da su sve fukcije s kojima radimo neprekidne, pa onda ima bisera poput lim_{x→0+} sgn x=sgn 0=0 (naravno, s kompliciranijim funkcijama, ali signum je ilustrativan primjer).

Treba naučiti da nije uvijek sve neprekidno, i računanje limesa "uvrštavanjem" je vrlo vrlo specijalan slučaj, koji uglavnom zahtijeva da se čovjek malo zamisli nad pitanjem "jesu li ove funkcije zaista neprekidne u toj točki?".

Dakle, lim_{x→0+} 0^x nije 0^0 , ne zato što je 0^0 neodređeno, već iz istog razloga iz kojeg je ono gore sa sign glupost. Nadam se da je to sad jasno.

BTW: i 0! je 1 . I 0 povrh 0 . I to nisu nikakvi "specijalni slučajevi" (iako se mogu i tako gledati), već najprirodnije moguće instancijacije definicijâ koje želimo općenito prihvatiti.

HTH,

#5: Autor/ica: dodge, Lokacija: quick stop

Postano: 17:29 čet, 18. 12. 2003
—

veky (napisa):

Što konkretno? 0^0 jest 1, i to po bilo kojoj suvisloj definiciji potenciranja cijelih brojeva (iterirani produkt i tako dalje

Potenciranje cijelih brojeva do sada nitko nije definirao niti na jednom kolegiju na ikakav način.

veky (napisa):

To što time, jednom kad prijeđemo u realne brojeve,
i tako dalje

To je jedini slučaj u kojem se dosada spominjao izraz oblika 0^0. Taj vrlo vrlo specijalan slučaj koji kaže da kada izraz leti u nešto oblika 0^0 nije definirano gdje taj 0^0 jest.

veky (napisa):

lim_{x→0+} 0^x nije 0^0 , ne zato što je 0^0 neodređeno, već iz istog razloga iz kojeg je ono gore sa sign glupost. Nadam se da je to sad jasno.

Kazes da se 0^0 definira kao 1, dobro, vjerujem ti, ali to mi još uvjek ništa ne znači jer nemam pojma zašto bi to trebalo biti tako i zašto to upravo tako odgovara. Isto mi dodje da si rekao da se definira 0^0 = 7, nije problem u tome što je to, nego zašto je to tako. A ne svidja mi se ideja da se koristi nešto što nije objašnjeno.

veky (napisa):

BTW: i 0! je 1 . I 0 povrh 0 . I to nisu nikakvi "specijalni slučajevi" (iako se mogu i tako gledati), već najprirodnije moguće instancijacije definicijâ koje želimo općenito prihvatiti.

Razlika u ova dva primjera koja si naveo je da su i ! i povrh definirane kao takve i jasno je zašto to upravo tako odgovara, dok je 0^0 nesto sto jos nitko osim, ponavljam tog vrlo vrlo specijalnog slučaja nije niti pomenuo. Što hoću reći jest da se ne može odmah odjednom lupit da je 0^0 = 1 i očekivati od studenata da slijepo vjeruju tome, jer to nije toliko intuitivno jasno, a to da se masno izbjegava mi govori da i nije toliko jednostavno koliko se čini.

#6: Autor/ica: veky, Lokacija: negdje daleko...

Postano: 14:22 ned, 21. 12. 2003
—

dodge (napisa):

veky (napisa):

Što konkretno? 0^0 jest 1, i to po bilo kojoj suvisloj definiciji potenciranja cijelih brojeva (iterirani produkt i tako dalje

Potenciranje cijelih brojeva do sada nitko nije definirao niti na jednom kolegiju na ikakav način.

Misliš, eksplicitno... implicitno valjda jest. Surprised

Da, znam što pričaš, i IMHO to je propust. Jednako kao što se ljudima od samog početka ne definiraju objekti s kojima se radi, pa onda ne bi bilo ovakvih čudnih nesporazuma. No dobro... ako nastavim u ovom stilu, opet ću doći na to kako mislim da bi bilo jako dobro imati logiku i teoriju skupova na početku studija, a sad baš i nisam u raspoloženju za yet another one takvu raspravu.

Ja sam u gornjem tekstu naveo neke načine na koje se potenciranje može shvatiti (ono što si izrezao s "i tako dalje" gore) - a nisam ih detaljnije raspisivao jer bi se o tome moglo jako dugo, a ne znam koliko te to zapravo duboko zanima... npr. iterirani produkt:

4^3 se moze shvatiti kao 4*4*4 , i tu nema velikih poteškoća s razumijevanjem - samo se tri četvorke pomnože. 4^2=4*4 , i ovo nije toliko strašno. No 4^1 će se vjerojatno "po istom principu" većina složiti da je jednako 4 , ali tu se očito ništa ne množi. Dakle, princip možda i nije isti... ili možda ipak...?

Jest ako se odmaknemo malo dalje. Trenutno nam pogled donekle zaklanja činjenica da su svi ovi brojevi koje množimo jednaki, pa za početak to zanemarimo i pretpostavimo da imamo _skup_ brojeva koje treba pomnožiti (jednom kad to napravimo kako treba, prijelaz na tzv. multiskupove, koji mogu određeni element sadržavati i nekoliko puta, nije toliko konceptualno težak).

Dakle, želimo funkciju "produkt" (prod), koja (konačnim - jer ne želimo zasad se zaplesti u priče o redovima, ali može se i to) podskupovima od npr. |N pridružuje prirodne brojeve.

Ok, probajmo tu funkciju detaljnije precizirati. Ono što sigurno želimo, je da prod({a,b}) bude a*b (za različite a i b , no to je samo zato što je multiskup puno prirodnija struktura ovdje, no oni su ti vjerojatno intuitivno dalji nego skupovi), i to nam dođe kao neka "baza". Što bi onda bio "korak", odnosno način da se stvar definira na većim skupovima?

Mogli bismo reći: dodavanjem nekog elementa u skup koji je argument produkta, produkt se množi tim elementom... na taj način očito ćemo dobiti produkte tročlanih, četveročlanih itd. skupova, ali ćemo, kao zgodnu nuspojavu, dobiti i produkte i manjih skupova - singletonâ i praznog skupa. Da vidimo...

Prvo, zapišimo gornju misao simbolički. To ne bi trebalo biti teško...
prod(A U. {x})=prod(A)*x
(gdje "U." označava tzv. disjunktnu uniju, odnosno uniju dvaju disjunktnih skupova - ovdje je samo handy način da kažem da x nije element od A ).

Sad stavimo A:={a} . Za bilo koji x (uzmimo neki različit od 0 i od a ) tad je
prod({a})*x=prod({a}U.{x})=prod({a,x})=a*x (*baza*) .
Naravno, skraćivanjem x dobijemo ono što smo i naslućivali: prod({a})=a . 4^1=4 , naravno.

No idemo dalje. Što je prod(0) (praznog skupa)? Da vidimo... uzmimo prvo neki x različit od 0 . Po ovom što smo gore dobili,
x=prod({x})=prod(0 U. {x})=prod(0)*x .
Skratimo x , i voilá - prod(0)=1 .

A sad još nekoliko heurističkih argumenata:
* 0! . Rekao si da ti je ovo jasno, no onda ćeš se definitivno složiti s gornjim viewom... jer n! si vjerojatno definirao sebi kao nešto along side of prod({x@|N : x⇐n}) . Dakle, (1=)0!=prod(0) .
(ne, nisam neprecizan s istom oznakom za nulu i prazan skup... no o tome jednom drugom prilikom: )
* rastav na proste faktore. Osnovni teorem aritmetike kaže da se svaki prirodni broj dade prikazati (jedinstveno - za neku dovoljno čudnu definiciju priloga "jedinstveno": ) kao produkt prostih brojeva (odnosno, _potencijâ_ prostih brojeva - primijeti kako skup vs. multiskup distinkcija opet čini stvari problematičnijima nego što bi trebale biti), no 1 se često eksplicitno isključuje kao izuzetak. Sad vidimo da nije - 1 je jednostavno prazan produkt (potencijâ) prostih brojeva.
* skraćivanje algebarskih razlomaka. Sjećaš se toga? Smile

U brojniku (i u nazivniku), produkt hrpetine faktora. Kad nešto od toga skratiš (makneš iz produkta), prepišeš one koji su ti ostali. Kad _sve_ skratiš, iz nekog misterioznog razloga, pišeš 1 . Ikad se pitao zašto? Sad hopefully znaš dio odgovora. Smile

Ups, malo se previše raspisah. Nije bilo namjerno. Embarassed

Citat:

veky (napisa):

To što time, jednom kad prijeđemo u realne brojeve,
i tako dalje

To je jedini slučaj u kojem se dosada spominjao izraz oblika 0^0. Taj vrlo vrlo specijalan slučaj koji kaže da kada izraz leti u nešto oblika 0^0 nije definirano gdje taj 0^0 jest.

Right. I (rant again) po mom mišljenju je žalosno da ljudi za nešto tako elementarno kao što je 0^0 prvi put čuju u kontekstu zvijeri kao što je math-analiza ...

Citat:

veky (napisa):

lim_{x→0+} 0^x nije 0^0 , ne zato što je 0^0 neodređeno, već iz istog razloga iz kojeg je ono gore sa sign glupost. Nadam se da je to sad jasno.

Gore imaš raspisan jedan pristup. Mogu ti raspisati i ostale, ako baš želiš... inFact, imam nešto bolje. ZF-view sam nedavno prezentirao na Usenetu. Grupa je hr.sci.matematika , koju ti preporučujem posjetiti za mnoge zanimljive math-rasprave. Kopija za ljude koji nisu prijatelji Useneta:-) je na mom webu, http://web.math.hr/~veky/T/T5/ztzio.html .

Mislim da ćeš sad imati dovoljno materijala. Smile

Citat:

veky (napisa):

BTW: i 0! je 1 . I 0 povrh 0 . I to nisu nikakvi "specijalni slučajevi" (iako se mogu i tako gledati), već najprirodnije moguće instancijacije definicijâ koje želimo općenito prihvatiti.

[/quote]

Along this side... Jel ti netko nekad pokušao objasniti zašto je 1+1=2 ?
Evo odmah da i to riješimo...
http://web.math.hr/~veky/T/T5/opoit.html (-:

Stay happy... ako imaš kakvih pitanja, slobodno piši. No iskreno, ne volim ovo forum-sučelje. Radije mail ili newsi... Bye,

#7: Autor/ica: krcko,

Postano: 22:34 ned, 21. 12. 2003
—

veky (napisa):

po mom mišljenju je žalosno da ljudi za nešto tako elementarno kao što je 0^0 prvi put čuju u kontekstu zvijeri kao što je math-analiza ...

Evo jedan MA-argument zasto bi 0^0 bilo 1. To je jedini izbor za koji je funkcija x→x^0 neprekidna na R Weeee-heeee!!!

#8: Autor/ica: vsego, Lokacija: /sbin/init

Postano: 0:37 pon, 22. 12. 2003
—

krcko (napisa):

veky (napisa):

po mom mišljenju je žalosno da ljudi za nešto tako elementarno kao što je 0^0 prvi put čuju u kontekstu zvijeri kao što je math-analiza ...

Evo jedan MA-argument zasto bi 0^0 bilo 1. To je jedini izbor za koji je funkcija x→x^0 neprekidna na R Weeee-heeee!!!

IMO, to je jedan od glavnih uzroka nesporazuma, jer na isti nacin mozes traziti neprekidnost funkcije x→0^x na R Weeee-heeee!!!

Vekyjevi argumenti mi se vise svidjaju, no i dalje mi se cini da je 0^0 donekle "siva zona", tj. da mozemo uzeti razlicite stvar, ovisno o interpretaciji sto nam uopce znaci 0^0. Cool

#9: Autor/ica: krcko,

Postano: 1:16 pon, 22. 12. 2003
—

vsego (napisa):

IMO, to je jedan od glavnih uzroka nesporazuma, jer na isti nacin mozes traziti neprekidnost funkcije x→0^x na R Weeee-heeee!!!

Gle stvarno. Bit ce da to ima neke veze s neodredjenim izrazom Laughing

BTW, bezuspjesno sam trazio funkcije f i g koje teze nuli tako da f(x)^g(x) tezi broju razlicitom od 0 i 1. Nedostatak inspiracije ili taj izraz ipak nije tako jako neodredjen?

#10: Autor/ica: duje,

Postano: 8:05 pon, 22. 12. 2003
—

krcko (napisa):

BTW, bezuspjesno sam trazio funkcije f i g koje teze nuli tako da f(x)^g(x) tezi broju razlicitom od 0 i 1. Nedostatak inspiracije ili taj izraz ipak nije tako jako neodredjen?

Probaj sa g(x)=x, f(x)=e^(-c/x), za pozitivnu konstantu c.

duje

#11: Autor/ica: veky, Lokacija: negdje daleko...

Postano: 14:10 uto, 23. 12. 2003
—

vsego (napisa):

krcko (napisa):

veky (napisa):

po mom mišljenju je žalosno da ljudi za nešto tako elementarno kao što je 0^0 prvi put čuju u kontekstu zvijeri kao što je math-analiza ...

Evo jedan MA-argument zasto bi 0^0 bilo 1. To je jedini izbor za koji je funkcija x→x^0 neprekidna na R Weeee-heeee!!!

IMO, to je jedan od glavnih uzroka nesporazuma, jer na isti nacin mozes traziti neprekidnost funkcije x→0^x na R Weeee-heeee!!!

Mislio si valjda, neprekidnost _zdesna_ ? 0^-epsilon ti se baš ne uklapa u priču...

No dobro, može i to biti heuristički agrument. Kako god definirali 0^0 , ne možemo postići neprekidnost potenciranja po drugoj varijabli u (0,0) . No postoji jedan jedini način da očuvamo neprekidnost po _prvoj_ varijabli, i to je upravo 0^0=1 .

Citat:

Vekyjevi argumenti mi se vise svidjaju, no i dalje mi se cini da je 0^0 donekle "siva zona", tj. da mozemo uzeti razlicite stvar, ovisno o interpretaciji sto nam uopce znaci 0^0. Cool

Zato što si žrtva mindseta kojeg sam gore isecirao...
Npr. čini li ti se to isto i za sgn(0) ? [ Smile

]

#12: Autor/ica: vsego, Lokacija: /sbin/init

Postano: 2:50 sri, 24. 12. 2003
—

veky (napisa):

vsego (napisa):

krcko (napisa):

Evo jedan MA-argument zasto bi 0^0 bilo 1. To je jedini izbor za koji je funkcija x→x^0 neprekidna na R Weeee-heeee!!!

IMO, to je jedan od glavnih uzroka nesporazuma, jer na isti nacin mozes traziti neprekidnost funkcije x→0^x na R Weeee-heeee!!!

Mislio si valjda, neprekidnost _zdesna_ ? 0^-epsilon ti se baš ne uklapa u priču...

Sure!

Cjepidlaka... Razz

Btw, sva tri Vedrana se iskvotala... Very Happy

veky (napisa):

vsego (napisa):

Vekyjevi argumenti mi se vise svidjaju, no i dalje mi se cini da je 0^0 donekle "siva zona", tj. da mozemo uzeti razlicite stvar, ovisno o interpretaciji sto nam uopce znaci 0^0. Cool

Zato što si žrtva mindseta kojeg sam gore isecirao...

Prije "zrtva" cvrstog uvjerenja da neke stvari ovise o interpretacijama. Upravo zahvaljujuci njima, 0/0 nije nerjesiv problem, nego se pribjegava limesima (koji onda objasnje kako je doslo do 0/0, pa se to rijesi).

veky (napisa):

Npr. čini li ti se to isto i za sgn(0) ? [ Smile

]

Ne, zasto? Eh?

Cini mi se ok da nula nije ni pozitivan ni negativan broj... Smile

#13: Autor/ica: veky, Lokacija: negdje daleko...

Postano: 14:29 sri, 24. 12. 2003
—

vsego (napisa):

veky (napisa):

vsego (napisa):

krcko (napisa):

Evo jedan MA-argument zasto bi 0^0 bilo 1. To je jedini izbor za koji je funkcija x→x^0 neprekidna na R Weeee-heeee!!!

IMO, to je jedan od glavnih uzroka nesporazuma, jer na isti nacin mozes traziti neprekidnost funkcije x→0^x na R Weeee-heeee!!!

Mislio si valjda, neprekidnost _zdesna_ ? 0^-epsilon ti se baš ne uklapa u priču...

Sure!

Cjepidlaka... Razz

Hvala.

Citat:

Btw, sva tri Vedrana se iskvotala... Very Happy

Aha.

Vedran, Veedran, i još jedan Veeedran. Rolling On the Floor Laughing

Citat:

veky (napisa):

vsego (napisa):

Vekyjevi argumenti mi se vise svidjaju, no i dalje mi se cini da je 0^0 donekle "siva zona", tj. da mozemo uzeti razlicite stvar, ovisno o interpretaciji sto nam uopce znaci 0^0. Cool

Zato što si žrtva mindseta kojeg sam gore isecirao...

Naravno. Samo što je 0/0 IMO drugačije prirode nego 0^0 . 0/0 se ne pojavljuje ni u kojoj diskretnoj formuli koju znam. 0^0 se prirodno pojavljuje na hrpi mjesta... između ostalog tamo gdje je OP primijetio, u konciznom zapisivanju polinoma.

Citat:

veky (napisa):

Npr. čini li ti se to isto i za sgn(0) ? [ Smile

]

Ne, zasto? Eh?

Cini mi se ok da nula nije ni pozitivan ni negativan broj... Smile

To upravo htjedoh reći. A sad zamisli da o tome počneš razmišljati kao o nečem što je "došlo" tko zna otkuda, pa onda pozoveš limese upomoć, da ti kažu "kako je došlo do sgn(0)", pa se to riješi... kao što gore pišeš. Mislim da ti je jasno da ćeš na taj način ubrzo početi vjerovati kako je i sgn(0) "siva zona".

Ne, činjenica da je sgn(0)=0 nema nikakve veze s limesima. Baš kao ni činjenica da je 0^0=1 .

Forum@DeGiorgi -> Diskretna matematika

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.