Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu - A15 ne vrijedi u Q

through

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2

#1: A15 ne vrijedi u Q - dokaz Autor/ica: kristina,

Postano: 14:25 pon, 9. 2. 2004
—
Muči me dokaz teorema da u skupu Q ne vrijedi A15.
Definirali smo S={q@Q: q>0, q^2<2}
Tvrdnja je da S nema supremum u Q.
Pretpostavili smo da je M@Q supremum od S.
I sad imamo pretpostavku: M^2<2
I onda moramo pokazati da je (M+1/n)^2<2 također u skupu S i onda M nije supremum. Nek mi, please, netko objasni kak da to pokažem.
U drugom slučaju imamo M^2>2
Tu uzmemo (M-1/n)^2>2. Za taj slučaj niš ne kužima jer mi je u bilježnici sve zbrda-zdola.
Nek netko bude dobar da to objasni jer u knjizi tog dokaza nema.
Hvala!

#2: Re: A15 ne vrijedi u Q - dokaz Autor/ica: veky, Lokacija: negdje daleko...

Postano: 15:33 pon, 9. 2. 2004
—

kristina (napisa):

Muči me dokaz teorema da u skupu Q ne vrijedi A15.
Definirali smo S={q@Q: q>0, q^2<2}
Tvrdnja je da S nema supremum u Q.
Pretpostavili smo da je M@Q supremum od S.
I sad imamo pretpostavku: M^2<2
I onda moramo pokazati da je (M+1/n)^2<2 također u skupu S i onda M nije supremum. Nek mi, please, netko objasni kak da to pokažem.
U drugom slučaju imamo M^2>2
Tu uzmemo (M-1/n)^2>2. Za taj slučaj niš ne kužima jer mi je u bilježnici sve zbrda-zdola.
Nek netko bude dobar da to objasni jer u knjizi tog dokaza nema.
Hvala!

U ovom gornjem mumbo-jumbou, ne piše kako je kvantificiran n . Pretpostavljam da se ne misli za svaki n , već da postoji n takav da to vrijedi.

E sad... postoji strogo racionalan raspis toga (koji ti je možda zapisan u bilježnici, i koji ti mogu i ja raspisati ako baš hoćeš), ali sumnjam da te on previše zanima. Ako već znaš za realne brojeve, koristeći njih možeš postići stvar puno elegantnije. Ovako:

Nek je M^2<2 (pretpostavimo M@|Q ). To znači M<sqrt(2) . No tad je <M,sqrt(2)> interval u |R , pa u njemu postoji racionalan broj x . Taj x je kontraprimjer za tvrdnju da je M gornja međa od S , jer je x^2<2 (tj. x@S ), a x>M .

Nek je sad M^2>2 (M@|Q , pa M^2=2 otpada). Sad to znači ili M←sqrt(2) , ili M>sqrt(2) . No ovaj prvi slučaj je bogus, jer je u tom slučaju M negativan, pa sigurno ne može biti gornja međa skupa S koji sadrži i pozitivne brojeve poput 1 . Dakle, M>sqrt(2) . No sad analogno, <sqrt(2),M> je interval, pa sadrži neki racionalan broj, koji je kontraprimjer za tvrdnju da je M najmanja gornja međa za S . Ok?

#3: Autor/ica: kristina,

Postano: 18:08 pon, 9. 2. 2004
—
A jel mogu to tako za usmeni naučiti kako ste vi rekli ili moram kao što je u bilježnici?

#4: Autor/ica: veky, Lokacija: negdje daleko...

Postano: 19:06 pon, 9. 2. 2004
—

kristina (napisa):

A jel mogu to tako za usmeni naučiti kako ste vi rekli ili moram kao što je u bilježnici?

(-: Sve ovisi o tome koliko samopouzdanja imate. Smile

Konkretno, ovdje se radi o tvrdnji da u svakom realnom intervalu postoji racionalan broj. Ako to znate dokazati, nema problema. Tad je stvar potpuna, i sumnjam da će Vam itko prigovoriti zbog takvog izvoda.
No, truly, ta tvrdnja je prilično teška za egzaktno dokazati, i možda se zato ide zaobilazno...

idemo probati i tako. Dakle, naš svijet su sad racionalni brojevi, realni kao da i ne postoje. Neka je M racionalan broj takav da je M^2<2 . Želim dobiti prirodni n takav da je (M+1/n)^2 još uvijek manje od 2 . Kad to raspišem, vidim da je to M^2+2M/n+1/n^2=M^2+(2M+1/n)/n⇐M^2+(2M+1)/n . To manje od 2 znači da mora biti n*(2-M^2)>2M+1 , a takav n postoji po Arhimedovom aksiomu (koji u |Q isto vrijedi). Sad dalje kao i prije... za taj n , M+1/n>M a i dalje je u skupu, pa M nije gornja međa.

Drugo, neka je sad M^2>2 & M>0 (Sad ću se praviti malo pametniji: ). Po Arhimedu imam n takav da vrijedi n*(M^2-2)>2M . To znači M^2-2M/n>2 , pa je sigurno i M^2-2M/n+1/n^2>2 (jer je 1/n^2 pozitivan), a to je upravo (M-1/n)^2>2 . Dalje također isto... M-1/n je manji od M , a također je gornja međa za S , jer svaki x iz S ima kvadrat manji od 2 , a M-1/n ima kvadrat veći od 2 (a kvadriranje je rastuća funkcija na pozitivnim brojevima). So, M-1/n je manja gornja međa za S , pa M nije najmanja. U svakom slučaju, nema supremuma od S .

Eto. Nije ni to toliko strašno, zar ne? Samo treba malo namještati epsilone... Wink

#5: Autor/ica: kristina,

Postano: 20:05 pon, 9. 2. 2004
—
Nije tak strašno. Ma nije to težak dokaz nego mi u bilješkama nema nikakvog reda pa je malo teže povezati.
Zahvaljujem na odgovoru! Very Happy

I još nešto. Kad smo radili dokaz da je eksp.fja neprekidna, prof. Šikić je rekao: "Mislio sam da nećemo ni raditi taj dokaz ali imamo vremena pa ćemo ga ipak napraviti". Crying or Very sad

Znači li to da postoji mogućnost da ga neće pitati na usmenom? Smile

#6: Autor/ica: veky, Lokacija: negdje daleko...

Postano: 21:01 pon, 9. 2. 2004
—

kristina (napisa):

Nije tak strašno. Ma nije to težak dokaz nego mi u bilješkama nema nikakvog reda pa je malo teže povezati.
Zahvaljujem na odgovoru! Very Happy

I još nešto. Kad smo radili dokaz da je eksp.fja neprekidna, prof. Šikić je rekao: "Mislio sam da nećemo ni raditi taj dokaz ali imamo vremena pa ćemo ga ipak napraviti". Crying or Very sad

Znači li to da postoji mogućnost da ga neće pitati na usmenom? Smile

Uvijek postoji mogućnost da te nešto _neće_ pitati. Smile

No mislim da tebe zanima mogućnost _hoće_ li te pitati nešto... Smile

I definitivno ne kužim zašto plačeš nad tim što ste napravili neki dokaz... trebat će ti, prije ili kasnije.

Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.