Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu - Teorem:odozgo ograničen rastući niz je konvergentan

Teorem:odozgo ograničen rastući niz je konvergentan

through

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2

#1: Teorem:odozgo ograničen rastući niz je konvergentan Autor/ica: Gost,

Postano: 18:47 ned, 15. 2. 2004
—
Teorem kaže:
Ako je niz rastući i odozgo ograničen onda je i konvergentan.

Dokaz:
A={ a_n:n@IN}
A-odozgo ograničen->postoji po A15 supremum L
Tvrdnja:
L=lima_n
Dokaz da je L limes:
Uzmemo proizvoljni epsilon>0
Po definiciji supremuma->postoji a@A takav da L-epsilon<a
-> postoji n_0@IN takav da a_n_o >= L-epsilon
(nebi li a_n_o po definiciji konvergencije,a bogami i po definiciji supremuma maloprije, trebao biti strogo veći od L-epsilon,jer on i članovi nakon njega moraju biti u ''epsilon okolini'' a ukoliko je a_n_o=L-epsilon,onda on nije u epsilon okolini jer je ''epsilon okolina'' poluotvoreni interval)

uzmemo taj n_o(epsilon):
n>=n_o->a_n_o<=a_n<=L (i ovdje jednakosti nije mjesto,jer a_n teži L člani niza nikada nije jednak L)
->a_n@<L-epsilon,L>

Kako znam da imam beskonačno članova unutar ''epsilon okoline'' ,a konačno njih van ?
Vjerojatno zato što je skup A beskonačan,pa gdje god našao u skupu a_n_o sa gore navedenim svojstvom svi nakon njega su njih konačno mnogo,a nakon njega beskonačno mnogo?

#2: Re: Teorem:odozgo ograničen rastući niz je konvergentan Autor/ica: vsego, Lokacija: /sbin/init

Postano: 19:51 ned, 15. 2. 2004
—

Anonymous (napisa):

Po definiciji supremuma→postoji a@A takav da L-epsilon<a
→ postoji n_0@IN takav da a_n_o >= L-epsilon
(nebi li a_n_o po definiciji konvergencije,a bogami i po definiciji supremuma maloprije, trebao biti strogo veći od L-epsilon,jer on i članovi nakon njega moraju biti u ''epsilon okolini'' a ukoliko je a_n_o=L-epsilon,onda on nije u epsilon okolini jer je ''epsilon okolina'' poluotvoreni interval)
uzmemo taj n_o(epsilon):
n>=n_o→a_n_o⇐a_n⇐L (i ovdje jednakosti nije mjesto,jer a_n teži L člani niza nikada nije jednak L)
→a_n@<L-epsilon,L>

Sto se tice (ne)jednakosti i stroge nejednakosti kod epsilona, baci oko na ovaj topic. Cool

Anonymous (napisa):

Kako znam da imam beskonačno članova unutar ''epsilon okoline'', a konačno njih van?
Vjerojatno zato što je skup A beskonačan,pa gdje god našao u skupu a_n_o sa gore navedenim svojstvom svi nakon njega su njih konačno mnogo,a nakon njega beskonačno mnogo?

Ovo crveno si vjerojatno mislio "prije". Cool

Dakle, niz je rastuc, pa su svi "nakon a_n0" veci ili jednaki a_n0. No, kako je niz ogranicen, onda su i svi manji ili jednaki L. A okolina koju promatramo je skup:

<a_n0, L+epsilon>