Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu

through

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2

#1: limesi Autor/ica: Gost,

Postano: 18:15 ned, 22. 2. 2004
—
Veli profa,dokažite sami ekvivalenciju:f ima limes u c akko f ima limes u c zdesna i limes u c slijeva.Kako to dokazati,tu očitost,ima li smisla ovako:
''->'' :
Pretpostavka:vrijedi definicija limesa L u točki c,moram dokazati da to povlači limes L u točki c slijeva i zdesna:
Definicija limesa:
Funkcija f ima limes L u točki c ako vrijedi:
(i) postoji otvoreni interval oko točke c u domeni
(ii) (postoji L@IR)takav da( {x_n} niz u <c-d,c+d>\{c} za koji vrijedi limx_n=c -> limf(x_n)=L
iz prvog svojstva definicije slijedi da imamo otvoreni slijeva od točke c
i sad neznam kako da dokažem da imamo niz u intervalu slijeva?Mislim,smijem li reći da onda sigurno imam podniz slijeva od c koji teži c jer ako imam članove niza koji s obje strane teže točki c onda sigurno točke s lijeve strane(članice niza) teže c baš kao i zdesne!

#2: Re: limesi Autor/ica: vsego, Lokacija: /sbin/init

Postano: 19:06 ned, 22. 2. 2004
—

Anonymous (napisa):

Veli profa,dokažite sami ekvivalenciju:f ima limes u c akko f ima limes u c zdesna i limes u c slijeva.

Cini mi se i da bi ti limesi trebali biti jednaki. Tipican protuprimjer je funkcija sgn (signum) i limes u nuli. Smile

Anonymous (napisa):

Kako to dokazati,tu očitost,ima li smisla ovako:
''→'' :
Pretpostavka:vrijedi definicija limesa L u točki c,moram dokazati da to povlači limes L u točki c slijeva i zdesna:
Definicija limesa:
Funkcija f ima limes L u točki c ako vrijedi:
(i) postoji otvoreni interval oko točke c u domeni
(ii) (postoji L@IR)takav da( {x_n} niz u <c-d,c+d>\{c} za koji vrijedi limx_n=c → limf(x_n)=L
iz prvog svojstva definicije slijedi da imamo otvoreni slijeva od točke c
i sad neznam kako da dokažem da imamo niz u intervalu slijeva?Mislim,smijem li reći da onda sigurno imam podniz slijeva od c koji teži c jer ako imam članove niza koji s obje strane teže točki c onda sigurno točke s lijeve strane(članice niza) teže c baš kao i zdesne!

Malo naopako gledas na stvari... Confused

Definicija ne tvrdi da ti imas ikakve nizove, neko kaze za sve takve-i-takve nizove vrijedi nesto Exclamation

Sto to znaci? Ako imas niz x_n koji se nalazi u tom intervalu i tezi prema tocki c, onda i niz f(x_n) tezi prema L. Cool

Kako dokazati za limes slijeva (sdesna)? Simple. Kazes: neka je x_n proizvoljni niz u <c-d,c] koji tezi prema c. Posto je f neprekidna u c i <c-d,c] podskup od <c-d, c+d> onda imamo da f(x_n) tezi prema L

dokazano za limes s lijeva. Analogno za limes s desna. Cool

Obrat bi bio nesto tezi.

Pretpostavljamo da fja ima limese u c slijeva i sdesna i da su oba L.

Neka je x_n niz u <c-d, c+d> takav da tezi prema c. Imas 3 mogucnosti:

postoji n0 t.d. x_n ⇐ c za sve n>n0; onda stvar direktno slijedi iz limesa slijeva.
postoji n0 t.d. x_n >= c za sve n>n0; onda stvar direktno slijedi iz limesa sdesna.
za svaki n0 postoje m,n>n0 t.d. je x_n⇐c⇐x_m. Tada lako nadjes podnize (x_{m_i}) i (x_{n_j}) takve da je x_{m_i} ⇐ c ⇐ x_{n_j}. Jednostavno ides po redu i x-eve manje od c trpas u prvi podnis, a vece u drugi (one koji su jednaki c stavis gdjegod). Oznaci te podnizove s (l_k) i (d_k) (lijevi i desni).
Podnizovi imaju isti limes kao i cijeli niz, tj. oba teze u c.
Po pretpostavci (limesi s lijeva i s desna) imas da i f(l_k) i f(d_k) teze prema L. No, kako l_k i d_k sadrze sve clanove pocetnog niza x_n, onda i f(x_n) tezi prema L.

Skomplicirah ovo Surprised

vjerojatno se moze i jednostavnije, ali nadam se da je bar ponesto jasnije... Smile

#3: limesicici Autor/ica: vjekovac,

Postano: 19:40 ned, 22. 2. 2004
—
Ta tvdnja nije istinita. Exclamation

Trebala bi glasiti:
f ima limes u c akko f ima limes u c zdesna i limes u c slijeva te su oni jednaki.
Npr. funkcija signum ima u 0 limes slijeva =-1, limes zdesna =1, a nema (obostrani) limes u 0.

Tvrdnja ima trivijalni dokaz uz neke druge definicije limesa, ali pomocu nizova bi islo ovako:

Da bi imalo smisla govoriti o limesu od f u c funkcija f treba biti definirana na nekom intervalu oko tocke c, a da bi imalo smisla govoriti o lijevom i desnom limesu od f u c funkcija f mora biti definirana na nekom intervalu lijevo od c, <c-delta,c>, i na nekom intervalu desno od c, <c,c+epsilon>, sto je opet isto: <c-delta,c+epsilon>\{c}.

Pretpostavimo da f ima limes L u tocki c i da je definirana na <c-d,c+d>.
Tada za svaki niz (x_n) koji konv. prema c vrijedi da (f(x_n)) konv. prema L.
Uzmimo bilo koji niz (y_n) u <c-d,c> koji konvergira prema c. Specijalno prema prethodnom mora niz (f(y_n)) konvergirati prema L. Time je (po definiciji) pokazano da je L limes slijeva of f u c. Analogno za desni limes.

Obratno, pretpostavimo da je f definirana na <c-d,c+d> i da ima u tocki c limese slijeva i zdesna i oba su jednaki L.
To znaci da za svaki niz (x_n) u <c-d,c> koji konvergira prema c mora (f(x_n)) konvegrirati prema L, a isto mora vrijediti i za niz (x_n) u <c,c+d>.
Sada uzmimo niz (y_n) u <c-d,c+d> koji konvergira prema c.
Ako npr. lijevo od c ima samo konacno clanova niza, onda niz (y_n) mozemo redefinirati na prvih konacno clanova tako da dobijemo niz u <c,c+d> pa po pretpostavci (f(y_n)) konvergira prema L.
Ako i lijevo i desno od c ima beskonacno mnogo clanova niza onda oni formiraju podniz (u_n)=(y_p(n)) od (y_n) (samo izbacimo y-e koji su desno od c) i taj podniz opet mora konvergirati prema c, a clanovi desno od c formiraju podniz (v_n)=(y_q(n)) od (y_n) koji takodjer konvergira prema c.
Po pretpostavci nizovi (f(u_n)) i (f(v_n)) konvergiraju prema L. Uzmimo neki epsilon>0. Postoji n1 takav da za n>=n1 vrijedi |f(u_n)-L|<epsilon te postoji n2 takav da za n>=n2 vrijedi |f(v_n)-L|<epsilon.
Po konstrukciji se svaki prirodni broj pojavljuje tocno jednom od nizova (p(n)), (q(n)) i to tocno jednom.
Neka je n0 takav da su p(1),...,p(n1-1),q(1),...,q(n2-1) sadrzani u 1,...,n0-1.
Tada za m>=n0 vrijedi |f(y_m)-L|<epsilon, svejedno da li se m nalazi u nizu (p(n)) ili u nizu (q(n)).

Sve u svemu, ovo je trivic do na mahanje rukama i crtanje po ploci Trudim Se Objasniti...

, ali je chupavo #Silly

za napisati.

#4: Autor/ica: vjekovac,

Postano: 19:42 ned, 22. 2. 2004
—
Ups, nisam skuzio da je vsego vec obrazlozio.
A eto, sad imas dva dokaza iste bedastoce. Wink

#5: Autor/ica: Gost,

Postano: 21:11 ned, 22. 2. 2004
—
Možete još samo potvrditi(ili ubiti) moju misao:

U definiciji limesa…mora postojati interval domene <c-d,c+d> i niz u njemu…

zaključak:
-moram imati niz čiji članovi s obje strane od točke c teže točki c!!!
-to povlači da imam niz(podniz niza koji slijeva ide prema c) koji ide slijeva prema c,a imam i niz(podniz niza koji s obje strane ide prema c) koji ide zdesna prema c Question

#6: Autor/ica: vsego, Lokacija: /sbin/init

Postano: 21:41 ned, 22. 2. 2004
—

Anonymous (napisa):

U definiciji limesa…mora postojati interval domene <c-d,c+d> i niz u njemu…

Mora. Recimo da ti je domena: ←oo, -1> U {0} U <1,+oo>. Ne mozemo reci da funkcija ima limes u nuli, zar ne? Wink

Anonymous (napisa):

-moram imati niz čiji članovi s obje strane od točke c teže točki c!!!

Zapravo, takav niz bi imao i bez intervala. Uvijek mozes uzeti x_n=c. Cool

Poanta je da tvrdnja vrijedi za svaki niz koji ti netko uvali (a da mu je slika podskup danog intervala i da tezi prema c). Smile

Anonymous (napisa):

-to povlači da imam niz(podniz niza koji slijeva ide prema c) koji ide slijeva prema c,a imam i niz(podniz niza koji s obje strane ide prema c) koji ide zdesna prema c Question

Pa, da... Nije nikakav problem pokazati postojanje kojeg god niza hoces.

Slijeva: x_n = c - d/2n
Sdesna: x_n = c + d/2n
S obje strane: x_2n = c-d/2n, x_{2n+1} = c+d/2n

(2n je zato da za n=1 ne zakacim rubove intervala; dakle cista formalnost)

Nemoj trazitii takve nizove, nego osiguraj da za bilo koji (takav) niz tvrdnja vrijedi! Cool

Nizove bi trebao traziti kad bi htio reci da neka tvrdnja ne vrijedi. Confused

Tada ti ne treba dokaz "za sve", nego samo jedan protuprimjer...

#7: Autor/ica: Gost,

Postano: 22:10 ned, 22. 2. 2004
—
Hvala...sutra je strijeljanje(čitaj-usmeni),imam čet'ri pancirke i Frodo mi je posudio vilenjački oklop koji ga je spasio od pećinskog trola...šta mi vrijedi kad Šikić ima VBR(višecjevni bacaš raketa) Crying or Very sad

Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.