Gomilište niza
Select messages from
 # through # FAQ
[/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli
#1: Gomilište niza Autor/ica: inga,  PostPostano: 13:14 pet, 22. 6. 2012
    —
Odredite sva gomilišta niza

[tex] (1+(-1)^n, \frac{n+1}{n} , \cos n\frac{\pi}{4} ) [/tex]

Ako može neko riješiti s što više objašnjenja, jer nisam uopće shvatila.
#2: Re: Gomilište niza Autor/ica: Borgcube, Lokacija: Tu i tamo. PostPostano: 15:04 pet, 22. 6. 2012
    —
inga (napisa):
Odredite sva gomilišta niza

[tex] (1+(-1)^n, \frac{n+1}{n} , \cos n\frac{\pi}{4} ) [/tex]

Ako može neko riješiti s što više objašnjenja, jer nisam uopće shvatila.


Neka je [tex] a_n = (1+(-1)^n, \frac{n+1}{n} , \cos n\frac{\pi}{4} ) [/tex]. Trebamo naći sva gomilišta tog niza. Da bi to našli, moramo naći gomilišta komponentnih nizova.
Neka su redom [tex] a1_n = 1+(-1)^n, a2_n = \frac{n+1}{n}, a3_n = \cos n \frac{\pi}{4}[/tex]. Ovo su naravno komponentni nizovi, da bi našli gomilište našeg niza moramo prvo naći gomilišta svih ovih komponentnih nizova.

Očito je da [tex]a1_n[/tex] poprima isključivo vrijednosti 1 i 2, točnije, za paran n poprima vrijednost 2, a za neparan 1.

Nadalje, [tex] \lim_n \frac{n+1}{n} = 1 [/tex], što se lako vidi (ako treba raspisati, reci, za ovaj zadatak treba poznavanje osnovnih limesa..)

Ostaje dakle samo [tex] a3_n [/tex]. Izraz [tex] n\frac{\pi}{4} [/tex] će se za prirodne n-ove poklopiti sa točno 8 kuteva (u smislu da će svi članovi niza odgovarati jednoj od sljedećih 8 točaka na brojevnoj kružnici) -
[tex]\{ 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4} \}[/tex].
Dakle, [tex]a3_n[/tex] će poprimati vrijednosti:
[tex]\{ 1, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{-1}{\sqrt{2}}, -1, \frac{-1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\} [/tex]
redom za odgovarajuće članove niza.

Preciznije, za parne n-ove [tex] n\frac{\pi}{4}[/tex] će odgovarati kutevima:
[tex]\{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}[/tex],
a [tex]a3_n \}[/tex]:
[tex]\{ 0, 1 \} [/tex],
a za neparne n-ove će [tex] n\frac{\pi}{4}[/tex] odgovarati kutevimai:
[tex]\{ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \}[/tex]
dakle [tex]a3_n[/tex] će biti iz:
[tex]\{ \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}} \}[/tex]

Kad kombiniramo sve, kako znamo gomilišta za [tex]a1_n[/tex] i to za parne i neparne n-ove, a isto tako znamo gomilišta za [tex]a3_n[/tex] za parne i neparne, dok [tex]a2_n[/tex] ima pravi limes, jasno je da su gomilišta upravo:
[tex]\{ (2, 1, 0), (2,1,1), (1,1,\frac{1}{\sqrt{2}}), (1,1,\frac{-1}{\sqrt{2}})[/tex]

Malo sam zbrzao, pomoglo bi da kažeš koji ti je točno korak nejasan.
#3: Re: Gomilište niza Autor/ica: inga,  PostPostano: 17:19 pet, 22. 6. 2012
    —
Borgcube (napisa):
inga (napisa):
Odredite sva gomilišta niza

[tex] (1+(-1)^n, \frac{n+1}{n} , \cos n\frac{\pi}{4} ) [/tex]

Ako može neko riješiti s što više objašnjenja, jer nisam uopće shvatila.


Neka je [tex] a_n = (1+(-1)^n, \frac{n+1}{n} , \cos n\frac{\pi}{4} ) [/tex]. Trebamo naći sva gomilišta tog niza. Da bi to našli, moramo naći gomilišta komponentnih nizova.
Neka su redom [tex] a1_n = 1+(-1)^n, a2_n = \frac{n+1}{n}, a3_n = \cos n \frac{\pi}{4}[/tex]. Ovo su naravno komponentni nizovi, da bi našli gomilište našeg niza moramo prvo naći gomilišta svih ovih komponentnih nizova.

Očito je da [tex]a1_n[/tex] poprima isključivo vrijednosti 1 i 2, točnije, za paran n poprima vrijednost 2, a za neparan 1.

Nadalje, [tex] \lim_n \frac{n+1}{n} = 1 [/tex], što se lako vidi (ako treba raspisati, reci, za ovaj zadatak treba poznavanje osnovnih limesa..)

Ostaje dakle samo [tex] a3_n [/tex]. Izraz [tex] n\frac{\pi}{4} [/tex] će se za prirodne n-ove poklopiti sa točno 8 kuteva (u smislu da će svi članovi niza odgovarati jednoj od sljedećih 8 točaka na brojevnoj kružnici) -
[tex]\{ 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4} \}[/tex].
Dakle, [tex]a3_n[/tex] će poprimati vrijednosti:
[tex]\{ 1, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{-1}{\sqrt{2}}, -1, \frac{-1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\} [/tex]
redom za odgovarajuće članove niza.

Preciznije, za parne n-ove [tex] n\frac{\pi}{4}[/tex] će odgovarati kutevima:
[tex]\{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}[/tex],
a [tex]a3_n \}[/tex]:
[tex]\{ 0, 1 \} [/tex],
a za neparne n-ove će [tex] n\frac{\pi}{4}[/tex] odgovarati kutevimai:
[tex]\{ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \}[/tex]
dakle [tex]a3_n[/tex] će biti iz:
[tex]\{ \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}} \}[/tex]

Kad kombiniramo sve, kako znamo gomilišta za [tex]a1_n[/tex] i to za parne i neparne n-ove, a isto tako znamo gomilišta za [tex]a3_n[/tex] za parne i neparne, dok [tex]a2_n[/tex] ima pravi limes, jasno je da su gomilišta upravo:
[tex]\{ (2, 1, 0), (2,1,1), (1,1,\frac{1}{\sqrt{2}}), (1,1,\frac{-1}{\sqrt{2}})[/tex]

Malo sam zbrzao, pomoglo bi da kažeš koji ti je točno korak nejasan.


Sve jasno hvala puno Smile
#4: Re: Gomilište niza Autor/ica: inga,  PostPostano: 13:02 sub, 23. 6. 2012
    —
Prerađujuć ovo detaljno uvidjeh ti neke lapsuze u računanju...Pa ako sam u krivu molim vas da me ispravite Smile

[tex] a1_n[/tex] poprima isključivo vrijednosti 0 i 2

Dole za parne n-ove fali -1,,....
Ostalo ok..


Jedino što nisam uspjela shvatiti ovo kombiniranje. Možeš li mi molim te raspisati i objasniti..

Hvala ti punooo
#5:  Autor/ica: Borgcube, Lokacija: Tu i tamo. PostPostano: 13:21 sub, 23. 6. 2012
    —
Da, imaš pravo, lapsus, 2 i 0 su gomilišta [tex]a1_n[/tex], dakle treba na prvoj koordinati staviti 0 u gomilištima niza [tex]a_n[/tex].
#6: odg Autor/ica: inga,  PostPostano: 14:05 sub, 23. 6. 2012
    —
kako dobiješ koordinate?
#7: Re: Gomilište niza Autor/ica: Borgcube, Lokacija: Tu i tamo. PostPostano: 14:11 sub, 23. 6. 2012
    —
U smislu da gomilišta nisu [tex]\{ (2, 1, 0), (2,1,1), (1,1,\frac{1}{\sqrt{2}}), (1,1,\frac{-1}{\sqrt{2}})[/tex]
nego
[tex]\{ (2, 1, 0), (2,1,1), (0,1,\frac{1}{\sqrt{2}}), (0,1,\frac{-1}{\sqrt{2}})[/tex]
#8:  Autor/ica: matematika88888,  PostPostano: 14:22 uto, 18. 9. 2012
    —
A što je sa greškom u nizu a3n,treba li se i točka -1 uzeti za parne n-ove??
#9:  Autor/ica: Phoenix,  PostPostano: 8:08 čet, 20. 9. 2012
    —
matematika88888 (napisa):
A što je sa greškom u nizu a3n,treba li se i točka -1 uzeti za parne n-ove??


Da, mislim da nedostaje to da za parne [tex]n[/tex] vrijedi [tex]a3_{n} \in \left\{ -1, 0, 1 \right\}[/tex], pa je još jedno rješenje [tex](2,1,-1)[/tex] (za podniz [tex]a_{8n+4}[/tex]).
#10:  Autor/ica: matematika88888,  PostPostano: 16:11 čet, 20. 9. 2012
    —
hvala Smile
Forum@DeGiorgi -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli


output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.

Powered by phpBB © 2001,2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin