Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu - Minimizacija (generalizirane) kvadratne funkcije

Minimizacija (generalizirane) kvadratne funkcije

through

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Numerička matematika

#1: Minimizacija (generalizirane) kvadratne funkcije Autor/ica: kosani,

Postano: 19:00 pon, 2. 7. 2012
—
Upravo sam odgovarao na usmenom i trebao sam naći minimum [tex] \| Ax-b \| _{2} ^{2} [/tex] ali bez korištenja derivacija. Znači analogno nalaženju tjemena parabole za jednodimenzionalni slučaj gdje raspisom dobijemo [tex]a(x+ \frac{b}{2a})^2+ \frac{4ac-b^2}{4a} [/tex] gdje dobivamo da je tjeme u [tex] x_{0}=- \frac{b}{2a}[/tex] ali samo u višedimenzionalnom slučaju

Raspisivanjem dobijem izraz: [tex]...=x^{T} A^{T}Ax-2x^{T} A^{T}b+b^{T}b=x^{T} (A^{T}Ax-2A^{T}b)+b^{T}b [/tex] što je i bilo dobro. Nakon 5 minuta šutnje mi je profesor izveo do kraja sve u 15 sekundi i dolaskom doma to više ne znam izvest.

Profesor se koristio ovim: [tex]A^{T}A x_{0}= A^{T} b[/tex] da bi na kraju dokazao da je: [tex]x_{0}= (A^{T}A ) ^{-1} A^{T} b[/tex] uistinu točka minimuma. Kako?

#2: Autor/ica: kosani,

Postano: 19:55 uto, 3. 7. 2012
—
Ipak sam uspio dobiti rješenje:

Koristeći: [tex] A^{T} b= A^{T} A x_{0} [/tex] iz izraza [tex]x^{T} A^{T}Ax-2x^{T} A^{T}b+b^{T}b[/tex] dobivamo [tex]x^{T} A^{T}Ax-2x^{T} A^{T} A x_{0}+b^{T}b[/tex]

dodajmo [tex]0=x_{0}^T A^T Ax_{0} + x_{0}^T A^T Ax_{0} - 2 x_{0}^T A^T Ax_{0}= x_{0}^T A^T Ax_{0} + x_{0}^T A^T Ax_{0} - 2 x_{0}^T A^T b [/tex]
pa dobijemo [tex]x^{T} A^{T}Ax-2x^{T} A^{T} A x_{0}+ x_{0}^T A^T Ax_{0}+ x_{0}^T A^T Ax_{0} - 2 x_{0}^T A^T b+b^{T}b [/tex]

prva tri izraza čine: [tex] \| A(x-x_{0})\|_2^2 [/tex], a druga tri [tex] \| Ax_{0}-b \|_2^2 [/tex]. To je minimalno samo kada je [tex]x=x_0[/tex] jer je drugi izraz konstantan.

#3: Autor/ica: pedro,

Postano: 10:49 sub, 7. 7. 2012
—

kosani (napisa):

dodajmo [tex]0=x_{0}^T A^T Ax_{0} + x_{0}^T A^T Ax_{0} - 2 x_{0}^T A^T Ax_{0}= x_{0}^T A^T Ax_{0} + x_{0}^T A^T Ax_{0} - 2 x_{0}^T A^T b [/tex]
pa dobijemo [tex]x^{T} A^{T}Ax-2x^{T} A^{T} A x_{0}+ x_{0}^T A^T Ax_{0}+ x_{0}^T A^T Ax_{0} - 2 x_{0}^T A^T b+b^{T}b [/tex]

prva tri izraza čine: [tex] \| A(x-x_{0})\|_2^2 [/tex], a druga tri [tex] \| Ax_{0}-b \|_2^2 [/tex]. To je minimalno samo kada je [tex]x=x_0[/tex] jer je drugi izraz konstantan.

možeš iovo malo detaljnije objasniti. zašto se to tak napravi?

Forum@DeGiorgi -> Numerička matematika

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.