Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu - DIFRAF- predavanja (skripta)

through

[^/[Print]\]
Idite na 1, 2, 3, 4, 5 Sljedeće :| |:
Forum@DeGiorgi -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli

#1: DIFRAF- predavanja (skripta) Autor/ica: frutabella,

Postano: 19:52 čet, 13. 9. 2012
—
Molila bih objasnjenje kako se je doslo do

||fk||1 = 1, (a i onaj prvi zakljucak mi nije sasvim jasan) Embarassed

na stranici 8.

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o2.pdf

Hvala!

#2: Autor/ica: grizly,

Postano: 21:03 sub, 15. 9. 2012
—
što se tiče max norme, pogledaj što sve može postići funkcija. u nuli ti nestane onaj član s minusom pa funkcija ima najveću vrijednost, kad uvrstiš nulu dobiješ točno 2k.
što se tiče 1-norme, integriraš: zapravo integriraš samo -2k^2*t+2k od 0 do 1/k (jer ostalo je nul-funkcija i nema velikog smisla integrirati) Smile

onda se valjda svi k-ovi pokrate nakon uvrštavanja granica i dobije se 1 (nisam pisala na papir, ali ovako na pogled mi se čini da se tako dobije).

#3: Autor/ica: pedro,

Postano: 16:23 ned, 16. 9. 2012
—
može primjer 3.4 i 3.7 objasniti malo bolje?

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf

#4: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 21:00 ned, 16. 9. 2012
—
Dakle, skup je otvoren ako oko svake točke skupe možeš opisati kuglu takvu da je cijela kugla unutar skupa - to je ono što definicija kaže. Naravno, "kugla" po izgledu ovisi o metrici, ali standardna je, dakle, ona u kojoj je otvorena kugla u [tex]\mathbb{R}[/tex] otvoreni interval, u [tex]\mathbb{R}^2[/tex] krug bez ruba (kružnice), a u [tex]\mathbb{R}^3[/tex] kugla bez ruba (sfere). Jasno? Smile

Sada gledaj primjer 3. 4. i skupove koji su zadani. Za prvi primjer, pošto gledaš je li skup otvoren u [tex]\mathbb{R}[/tex], pokušavaš svakoj točki pripisati određen otvoreni interval takav da je cijeli unutar zadanog intervala. I to je stvarno moguće! Recimo, za proizvoljni [tex]x \in \left< 0,1 \right>[/tex] vrijedi: ako je [tex]x<\frac{2}{3}[/tex], [tex]x \in \left< \frac{x}{2}, \frac{3x}{2} \right> \subset \left< 0,1 \right>[/tex], inače [tex]x \in \left< \frac{3x-1}{2}, \frac{1+x}{2} \right> \subset \left< 0,1 \right>[/tex]. Ako mi ne vjeruješ, provjeri za vježbu. Smile

(Rapišeš, ili ti ovako kažem da sam jedan rub namještao tako da bude "na pola puta" između [tex]x[/tex]-a i ruba intervala, a drugi sam potom izračunao tako da je [tex]x[/tex] u središtu.)
S druge strane, za isti otvoreni interval u [tex]\mathbb{R}^2[/tex] tražiš krugove bez ruba kojima ćeš opisati točku, a da je svejedno unutar intervala. I da budem precizan, zapravo promatramo skup [tex]\left\{ (x,0) : x \in \left< 0,1 \right> \right\}[/tex]. A po drugoj slici već primjećuješ da, kako god nacrtala taj krug oko neke točke, krug će sadržavati točke s različitim vrijednostima druge koordinate, dok zadani skup ima samo jednu - nulu. Zbog toga takav krug nikako ne može biti unutar cijelog skupa, pa tako ni skup nije otvoren.
(Formalnije, moraš za neku točku i proizvoljnu otvorenu okolinu pokazati da sadrži točku koja je unutar kruga, ali ne i skupa. To bi, recimo, za točku [tex](x,0)[/tex] i krug radijusa [tex]R[/tex] bila točka [tex](x,\frac{R}{2})[/tex]. Više o tome u sljedećem primjeru pošto je sličan.)

Za 3. 7. primjećuješ da su oba skupa pruge između osi [tex]x=0[/tex] i [tex]x=1[/tex], s tim da prvi nema nijedan pravac uključen u skup, a drugi ima točno jedan, ovaj drugi. Kada gledaš skicu, vidiš da se ne trebaš opterećivati s vrijednostima druge, [tex]y[/tex] koordinate - bitno je samo da je unutar pruge.
Za bilo koju točku [tex](x,y)[/tex] koja nije na pravcima (naravno, [tex]0<x<1[/tex]) možeš uzeti skup takav da je prva koordinata ograničena slično kao u prethodnom primjeru: za [tex]x<\frac{2}{3}[/tex] to je [tex]\left\{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 : \frac{x}{2} <a< \frac{3x}{2} \right\}[/tex], inače je [tex]\left\{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 : \frac{3x-1}{2} <a< \frac{1+x}{2} \right\}[/tex] - i to je otvorena kugla početne točke koja je unutar prugi (slična "fora" kao i u 3. 6.). Dakle, prvi skup je zaista otvoren.
(Sada slijedi diskusija za drugi skup.)
No, što ako uzmeš točku oblika [tex](1,y)[/tex]? Već smo komentirali kako otvorena kugla u [tex]\mathbb{R}^2[/tex] sadrži točke različitih vrijednosti prve i druge koordinate, naravno u određenoj okolini točke. Slično, pošto radimo krug u okolini te točke, sigurno sadrži točke čija je prva koordinatna vrijednost "jako blizu" [tex]1[/tex]. A ako kugla sadrži točke s prvom koordinatom većom od [tex]1[/tex], nije dobro jer te su točke izvan početnog skupa.
Dakle, da pokažeš da je skup otvoren moraš svakoj točki naći otvorenu kuglu koja je još uvijek unutar skupa. Da pokažeš da skup nije otvoren moraš pokazati da postoji točka čija nijedna otvorena okolina (kugla) nije unutar skupa - negacija. Pa, pošto sam već komentirao za točke oblika [tex](1,y)[/tex], uzmimo za nju proizvoljnu kuglu radijusa [tex]R[/tex]. Da sad ne kompliciram s izrazima preko metrike i korijenja, skiciraj neku ovakvu točku - recimo, [tex](1,0)[/tex], i nacrtaj bilo koji krug oko te točke, neki što manji. Primijeti da taj krug sigurno neće biti unutar pruge jer je "desna polovica" kruga uvijek izvan nje.
Formalno, s točkom [tex](1,0)[/tex] i krugom radijusa [tex]R[/tex] znaš da je točka [tex](1+\frac{R}{2},0)[/tex] također unutar kruga - na pola puta između tražene točke i ruba kruga, kružnice. A ta točka definitivno nije unutar pruge, odnosno početnog skupa pošto je [tex]1+\frac{R}{2}>1[/tex].
Dakle, donekle neformalno, ali da se napisati formalnije, pokazali smo negaciju tvrdnje - za neku konkretnu točku skupa uzeli smo proizvoljnu kuglu i pronašli točku unutar kugle koja nije unutar skupa, pruge. Pošto je negacija tvrdnje istinita, tvrdnja za otvoren skup ne vrijedi. Dakle, drugi skup nije otvoren.

Evo, nadam se da je jasno, ali prije svega i točno - zapetljao sam se tipkajući. Razz

Nemam nijednu skicu, da objašnjavam uživo, crtao bih pa bi bilo jasnije. Nadam se da je i ovako dobro. Smile

Pitaj ako nije jasno u svakom slučaju. Wink

I crtaj (ili zamišljaj u glavi). Very Happy

#5: Autor/ica: pedro,

Postano: 11:54 ned, 23. 9. 2012
—
sve jasnoo, hvalaa

možeš sada dokazati propoziciju 3.5 s iste strane Very Happy

#6: Autor/ica: goranm,

Postano: 13:23 ned, 23. 9. 2012
—

Phoenix (napisa):

Dakle, skup je otvoren ako oko svake točke skupe možeš opisati kuglu takvu da je cijela kugla unutar skupa - to je ono što definicija kaže.

Definicija kaze da ta kugla mora biti otvorena. Wink

#7: Autor/ica: pedro,

Postano: 18:23 ned, 23. 9. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf

prop 3.29 i primjer 3.31 sa strane 5 Very Happy

#8: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 21:59 ned, 23. 9. 2012
—
pedro, gdje zapinje s [tex]3.5[/tex]? Smile

Dat ću ti samo hintove pa, ako nešto i dalje nije jasno, objasni točno što shvaćaš, a što ne.

[tex]1[/tex]° Za oba skupa primijeni definiciju. Ne moraš je niti raspisati, samo se uvjeri da je definicija zadovoljena za oba skupa.
(A ako te muči [tex]( \forall x \in \emptyset )[/tex], shvati to ovako. Za svaki [tex]x[/tex] koji se nalazi u skupu, provjeri vrijedi li to svojstvo. Samo ako si našao neki za koji ne vrijedi, otpada. Inače - super! (Pa makar i ne našao nijednog - evo ti veliki hint! Razz

))
[tex]2[/tex]° Odaberi neku točku [tex]x[/tex] iz proizvoljne unije (napomena - može biti i (prebrojivo) beskonačna). Ako se [tex]x[/tex] nalazi u uniji, znaš li u kojem se točno skupu nalazi? A što vrijedi za točno taj skup unutar kojeg je [tex]x[/tex]?
[tex]3[/tex]° Slično kao gore - što znači da je neka točka element presjeka? Što vrijedi za sve te skupove? Kako iz promatranih kugli pronaći onu koja se nalazi unutar svih presjeka?

Nadam se da je nakon ovoga ipak jasno. Smile

Posljednji post i upit, iskreno, ne razumijem. Ne znam je li to konstruirano kao pitanje pošto nema znaka upitnika na kraju posta ili ikakvog glagola koji bi naglasio da imaš kakvu dvojbu, kao ni imaš li dvojbu uopće pošto su i za propoziciju i za primjer dokazi napisani. Ali ne vidim čemu takav post ako to nije nikakav upit. Razz

Možeš li idući put samo jasnije napisati što te muči, što si pokazala ili shvatila, a što ne, i tako? Koliko god se trudim usput pisati što detaljnija i preglednija rješenja, bitnije mi je da ti pomognem ako te nešto muči, a ne mogu to ako mi tvoje pitanje nije dorečeno. Nema smisla da pišem sve ako ti i ne treba sve, uostalom (makar bi to lijepo izgledalo za forum, ali bi se onda pretvorio u zbirku rješenja zadataka po uzoru na skriptu s predavanja).

Dogovoreno? Smile

#9: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 22:30 ned, 23. 9. 2012
—
Točke 1 i 2 navedene propozicije su maksimalno trivijalne pa ti raspišem samo za točku 3.

Neka je [tex]k\in\mathbb N[/tex] i neka su [tex]A_1,\ldots ,A_k[/tex] otvoreni skupovi u [tex]\mathbb R^n[/tex].
Neka je [tex]a\in\underset{i=1}{\stackrel{k}{\bigcap}} A_i[/tex] proizvoljan.

[tex]a\in A_1[/tex] i [tex]A_1[/tex] otvoren [tex]\Longrightarrow (\exists r_1>0) \ K(a,r_1)\subseteq A_1[/tex]
[tex]a\in A_2[/tex] i [tex]A_2[/tex] otvoren [tex]\Longrightarrow (\exists r_2>0) \ K(a,r_2)\subseteq A_2[/tex]
[tex]\qquad\vdots[/tex]
[tex]a\in A_k[/tex] i [tex]A_k[/tex] otvoren [tex]\Longrightarrow (\exists r_k>0) \ K(a,r_k)\subseteq A_k[/tex]

Neka je sada [tex]r:=\min\{r_1,\ldots ,r_k\}[/tex]. Tada vrijedi [dtex](\forall i\in\{1,\ldots ,k\}) \ K(a,r)\subseteq A_i[/dtex]
pa imamo [dtex] K(a,r)\subseteq \underset{i=1}{\stackrel{k}{\bigcap}} A_i\Longrightarrow \underset{i=1}{\stackrel{k}{\bigcap}} A_i\text{ je otvoren skup.}[/dtex]

#10: Autor/ica: goranm,

Postano: 17:41 uto, 25. 9. 2012
—
Primijetih da mi je netko ujeo sarmu na ovom topicu, pretpostavljam zbog prethodnog posta koji se mozda cini cjepidlackim. Sarma je nebitna, ali je cjepidlacenje bitno. Objasniti cu i zasto: reci da "postoji kugla" ne znaci puno kada pricamo o otvorenim skupovima.

Kugla je (pod)skup (od [tex]\mathbb{R^n}[/tex]), isto kao sto je i pravac skup, a kao skup bez nekih drugih svojstava pridruzenih njemu ne moze utjecati na to da li je neki drugi skup otvoren. Otvorena kugla je element tzv. standardne topologije na [tex]\mathbb{R^n}[/tex] (ali kugla nije!), odnosno element familije svih podskupova od [tex]\mathbb{R^n}[/tex] koji zadovoljavaju odredjena tri aksioma (koji su za sad nebitni).

Upravo elemente te familije zovemo otvorenim skupovima i moze se pokazati da je u slucaju n-dimenzionalnog realnog prostora umjesto svih mogucih otvorenih skupova dovoljno promatrati ne kugle, nego otvorene kugle.

#11: Autor/ica: pedro,

Postano: 19:28 sri, 26. 9. 2012
—

Phoenix (napisa):

pedro, gdje zapinje s [tex]3.5[/tex]? Smile

ma trenutno mi je to sve toliko zbunjujuće tako da i najradije bi da se ovo pretvori u zbirku zadataka dok ne pohvatam sve te pojmove Razz

#12: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 23:29 sri, 26. 9. 2012
—
Rado bih čuo tvoje razmišljanje i ideje oko zadatka, ali očito te ne mogu na forumu forsirati ili ti davati "hitove". Razz

A ovo za zbirku zadataka... Pa, ovisi. Very Happy

Samo ću reći da takvu izjavu nema pravo svatko dati. Wink

A evo i rješenja, pošto moje natuknice iz prošlog posta nisu pomogle:

[tex]1[/tex]° Po definiciji otvorenog skupa trebamo pokazati:
[tex]( \forall x \in \emptyset ) ( \exists r > 0 ) ( K(x,r) \subseteq \emptyset )[/tex]
Tvrdnja zaista vrijedi za svaki element praznog skupa pošto prazan skup nema elemenata. Točnije, ovo "za svaki" možeš shvatiti kao "za svaki element skupa, ako postoji takav element". Tako da ova tvrdnja vrijedi.
Treba pokazati i:
[tex]( \forall x \in \mathbb{R}^n ) ( \exists r > 0 ) ( K(x,r) \subseteq \mathbb{R}^n )[/tex]
Dakle, za svaku točku treba pronaći neku otvorenu kuglu sa središtem u toj točki takva da cijela spada unutar prostora [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. A ovo zaista vrijedi, pošto jedino i promatramo točke unutar [tex]\mathbb{R}^n[/tex].
[tex]2[/tex]° Neka je [tex]\displaystyle x \in \bigcup_{i \in I}A_i[/tex] element (konačne ili beskonačne) familije skupova, [tex]I[/tex] je skup indeksa. Po definiciji unije [tex](\exists k \in I) (x \in A_k)[/tex]. [tex]A_k[/tex] je otvoren skup, stoga [tex](\exists r>0)(K(x,r) \subseteq A_k)[/tex]. No, očito, [tex]\displaystyle A_k \subseteq \bigcup_{i \in I}A_i[/tex], stoga je i [tex]K(x,r) \subseteq \bigcup_{i \in I}A_i[/tex].
Dakle, za proizvoljan [tex]x[/tex] iz proizvoljne familije otvorenih skupova pronašli smo otvorenu kuglu takvu da je ona cijela sadržana unutar iste familije. Time je tvrdnja dokazana.

Eto! Nadam se da je sada jasno, premda ne osjećam da sam išta više napisao nego u posljednjem postu. Smile

Nisam ništa raspisao osim što sam se pozvao na definicije, točnije svojstva otvorenog skupa i unije skupova. Razz

Ili možda treba još nešto dodatno raspisati, ali ja to ne vidim u ovom trenutku? U tom slučaju citiraj nejasni dio dokaza i viči. Wink

#13: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 7:15 čet, 27. 9. 2012
—

Phoenix (napisa):

[tex]1[/tex]° Po definiciji otvorenog skupa trebamo pokazati:
[tex]( \forall x \in \emptyset ) ( \exists r > 0 ) ( K(x,r) \subseteq \emptyset )[/tex]
Tvrdnja zaista vrijedi za svaki element praznog skupa pošto prazan skup nema elemenata. Točnije, ovo "za svaki" možeš shvatiti kao "za svaki element skupa, ako postoji takav element".

Prof. Pandžić je rekao da možemo tako argumentirati da je prazan skup otvoren, ali da možemo i reći da je otvoren po definiciji (bez argumentacije) i da mu je to čak i draže.

#14: Autor/ica: pedro,

Postano: 10:23 čet, 27. 9. 2012
—

Phoenix (napisa):

Rado bih čuo tvoje razmišljanje i ideje oko zadatka, ali očito te ne mogu na forumu forsirati ili ti davati "hitove". Razz

A ovo za zbirku zadataka... Pa, ovisi. Very Happy

Samo ću reći da takvu izjavu nema pravo svatko dati. Wink

Eto! Nadam se da je sada jasno, premda ne osjećam da sam išta više napisao nego u posljednjem postu. Smile

Nisam ništa raspisao osim što sam se pozvao na definicije, točnije svojstva otvorenog skupa i unije skupova. Razz

Ili možda treba još nešto dodatno raspisati, ali ja to ne vidim u ovom trenutku? U tom slučaju citiraj nejasni dio dokaza i viči. Wink

hehe, onda ću se potrudit sljedeći put napisati što sam točno skužila a gdje trebam tvoju pomoć Very Happy

i hvala ti na ovom objašnjenju al skužila sam ga i prvi put kad si ga napisao, možda sam to trebala dodatno napomenut, al nema veze, možda nekome zatreba ^^

#15: Autor/ica: rom,

Postano: 20:03 čet, 27. 9. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf

propozicija 3.9.
Može li mi netko objasniti zašto je napisan ovaj korak u prvom smjeru dokaza: "Buduci da je [tex]x\in U[/tex] i [tex] U [/tex] otvoren postoji [tex]r > 0[/tex] t.d. je [tex] K(x,r) \subseteq U \subseteq A[/tex]." Naime, meni ta i rečenica prije te: "Ako je [tex]x \in Int A[/tex] onda postoji njegova otvorena okolina [tex]U[/tex] t.d je [tex] x \in U \subseteq A [/tex]" govore isto. -.-

#16: Autor/ica: goranm,

Postano: 23:51 čet, 27. 9. 2012
—

rom (napisa):

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf

propozicija 3.9.
Može li mi netko objasniti zašto je napisan ovaj korak u prvom smjeru dokaza: "Buduci da je [tex]x\in U[/tex] i [tex] U [/tex] otvoren postoji [tex]r > 0[/tex] t.d. je [tex] K(x,r) \subseteq U \subseteq A[/tex]." Naime, meni ta i rečenica prije te: "Ako je [tex]x \in Int A[/tex] onda postoji njegova otvorena okolina [tex]U[/tex] t.d je [tex] x \in U \subseteq A [/tex]" govore isto. -.-

Taj korak je tu jer se pokazuje da je [tex]\displaystyle\textrm{Int}A=\{x\in\mathbb{R}^n\colon\exists r>0, K(x,r)\subseteq A\}[/tex]. Dakle, ne pokazuje se da je skup iz definicije od Int A jednak uniji svih otvorenih skupova u A nego se pokazuje da te U-ove mozemo zamijeniti otvorenim kuglama.

Recenica ""Ako je [tex]x \in Int A[/tex] onda postoji njegova otvorena okolina [tex]U[/tex](...)" je tu jer to je jedino sto znamo o nutrini (jer tako smo ju definirali) i to je jedini nacin da se dokopamo nekog otvorenog skupa. Onda koristimo definiciju otvorenog skupa da bi pokazali da U-ove mozemo zamijeniti otvorenim kuglama.

#17: Autor/ica: rom,

Postano: 7:19 pet, 28. 9. 2012
—
Puno hvala Very Happy

#18: Autor/ica: pedro,

Postano: 14:47 pet, 28. 9. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o3.pdf

PROP 3.29

jasno mi je sve i jasno mi je zašto moramo pokazati da je B zatvoren, i onda dalje mi je sve nekako zbunjujuće. može pomoć?

#19: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 18:09 pet, 28. 9. 2012
—
Može! Very Happy

Teorem [tex]3.22[/tex] kaže da je neki skup zatvoren akko taj isti skup sadrži sva svoja gomilišta. Konkretno, željeli bi dokazati da je opisani skup [tex]B[/tex] zatvoren, a ekvivalentno je pokazati da je gomilište skupa [tex]y \in B'[/tex] također element tog skupa, odnosno [tex]y \in B[/tex].
Pa, neka je [tex]y \in B'[/tex] gomilište skupa [tex]B[/tex]. Iz definicije gomilišta skupa, [tex]3.18[/tex] slijedi da [tex]( \forall r > 0)(\exists z \in K(y, r))( z \in B \wedge z \neq y)[/tex]. Odnosno, kao što piše u skripti, svaka otvorena kugla sa središtem u tom gomilištu sadrži element početnog skupa različit od samog gomilišta.
Stoga neka je [tex]r>0[/tex] proizvoljan. Dakle, postoji neka točka [tex]z \in K(y, r)[/tex] takva da je [tex]z \in B[/tex] i [tex]z \neq y[/tex].
Sada znamo, pošto je [tex]B=A \cup A'[/tex] i [tex]z \in B[/tex], da vrijedi [tex]z \in A[/tex] ili [tex]z \in A'[/tex].
Iz ovoga će slijediti dva slučaja po kojima ćemo nastaviti dokaz. U svakom slučaju, ideja je da za kuglu oko [tex]y[/tex] od koje smo započeli pokažemo da sigurno sadrži neki element iz samog skupa [tex]A[/tex]. Pošto smo krenuli od proizvoljne kugle, slijedit će da svaka otvorena kugla oko [tex]y[/tex] sadrži element iz skupa [tex]A[/tex], a po samoj definiciji to znači da je [tex]y \in A'[/tex], tj. [tex]y[/tex] je gomilište skupa [tex]A[/tex]. A to je odlično pošto je [tex]A' \subseteq A \cup A' = B[/tex], pa bi slijedilo da je [tex]y \in B[/tex]. A to je ono što pokušavamo pokazati - proizvoljno (tj. ono od kojeg smo započeli) gomilište skupa [tex]B[/tex] je i sam element skupa [tex]B[/tex], pa je onda [tex]B[/tex] zatvoren!
Nastavimo s dokazom.
Dakle, imamo dva slučaja:
[tex]1[/tex]° [tex]z \in A[/tex]
To znači da kugla oko [tex]y[/tex] od koje smo krenuli sadrži element iz skupa [tex]A[/tex] - to je [tex]z[/tex]. I s ovim slučajem smo gotovi.
[tex]2[/tex]° [tex]z \in A'[/tex]
Pošto je [tex]z[/tex] gomilište skupa [tex]A[/tex], slijedi da svaka otvorena kugla oko te točke sadrži neki element skupa [tex]A[/tex]. Pošto je ovo ipak moguće za svaku otvorenu kuglu oko [tex]z[/tex], a znamo već da je [tex]z \in K(y,r)[/tex], oko [tex]z[/tex] ćemo napraviti dovoljno malu otvorenu kuglu takvu da je cijela sadržana unutar gore navedene kugle - to je moguće jer je ta kugla otvoren skup!
Također želimo da ta kugla ne sadržava [tex]y[/tex] tako da, za točku koju znamo da je unutar nove kugle, a element je skupa [tex]A[/tex], znamo da je različita od [tex]y[/tex].
Dakle, da rezimiram: za neku otvorenu kuglu [tex]K(z,r')[/tex] želimo sljedeće:
- da je [tex]K(z,r') \subseteq K(y,r)[/tex], a to bi značilo: [tex]d(y,z)+r' \leq r[/tex], odnosno [tex]r' \leq r-d(y,z)[/tex]
- da je [tex]y[/tex] izvan te nove kugle, a to bi značilo [tex]d(y,z) > r'[/tex]
A oba svojstva su zadovoljena ako odaberemo [tex]r' := min \left\{ r-d(y,z), \frac{d(y,z)}{2} \right\}[/tex]. Naime, jasno je:
[tex]r' \leq r-d(y,z)[/tex], pa je zadovoljena prva crtica,
[tex]r' \leq \frac{d(y,z)}{2} < d(y,z)[/tex], pa je zadovoljena druga crtica.
Dakle, postoji [tex]z' \in K(z,r')[/tex] takav da je [tex]z' \in A[/tex] (jer je [tex]z[/tex] gomilište od [tex]A[/tex]) i da je [tex]z' \neq y[/tex] (zbog činjenice da je [tex]r' < d(y,z)[/tex]).
A zbog činjenice da je [tex]r' \leq r-d(y,z)[/tex], slijedi da je [tex]K(z,r') \subseteq K(y,r)[/tex], pa je [tex]z' \in K(y,r)[/tex]. Dakle, [tex]K(y,r)[/tex] i u ovom slučaju sadrži neku točku iz [tex]A[/tex].
Konačno, zaključili smo (prema gore opisanoj ideji) da svaka otvorena kugla [tex]K(y,r)[/tex] sadrži neki element iz [tex]A[/tex] različit od [tex]y[/tex]. To upravo znači da je [tex]y[/tex] gomilište skupa [tex]A[/tex], pa je [tex]y \in B[/tex]. A pošto smo odabrali proizvoljno gomilište skupa [tex]B[/tex] i pokazali da je ono element istog skupa, slijedi da [tex]B[/tex] sadrži sva svoja gomilišta. Prema teoremu [tex]3.22[/tex], [tex]B[/tex] je zatvoren skup.

Nadam se da su sada stvari barem malo jasnije. Smile

Nešto sam namjerno ponavljao više puta, baš da nekako bude upadljivo i da bolje shvatiš sveukupno. Reci ako je što nejasno!
A ovo što mi radijus kugle nije isti kao i u skripti (tamo je [tex]r' = r-d(y,z)[/tex]), isprike ako se moglo lakše objasniti preko tog radijusa. Meni se ovako činilo malo jasnije i lakše, dapače, u ovom trenutku mi i nije jasno kako iz tog radijusa slijedi to svojstvo. Nadam se da ti je OK ovako. Very Happy

#20: Autor/ica: angelika,

Postano: 13:12 sub, 29. 9. 2012
—
jel mi može netko malo pojasniti dokaz tm4.15 (B-W tm za nizove)? Zapravo me jako muči pojam koordinatnog podniza, pa mi nije jasan sam početak dokaza...

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o4.pdf

Forum@DeGiorgi -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Idite na 1, 2, 3, 4, 5 Sljedeće :| |: Stranica 1 / 5.