Shaman (napisa): |
A=<0,1>u<1,2>, definiramo f:A → R f(x)= x ako je x iz <0,1>, 0.5 ako je x iz <1,2>. f je lipschitzova f-ja, f(A) je povezan, A nije povezan. |
pedro (napisa): |
može 2. omeđenost pod a) |
goranm (napisa): | ||
[tex]x^2+y^2\leq z = 1-x-y \Rightarrow x^2+x+y^2+y\leq 1\Rightarrow (x+\frac12)^2+(y+\frac12)^2\leq \frac32[/tex]. Prema tome, skup S je zatvoren disk u [tex]\mathbb{R}^3[/tex] pa je posebno omedjen i zatvoren. Dodatno obrazlozenje zasto je to disk (tj. z=0). Iz [tex]x^2+y^2\leq z[/tex] slijedi da je [tex]z\geq 0[/tex]. Pretpostavimo da je [tex]z>0[/tex]. Tada je [tex]z=1-x-y>0[/tex] za bilo koj (dopusten) izbor x,y. Neka je [tex]x=y=-\frac12+\sqrt{\frac32}[/tex]. Tada je [tex]x+y=-1+2\sqrt{\frac32}>1[/tex]. Ali tada je [tex]1-x-y<0[/tex]. S obzirom da je [tex]S=\{(x,y,0)~|~(x+\frac12)^2+(y+\frac12)^2\leq \frac32\}[/tex], onda je [tex]\pi(S)[/tex] opet skup S, ali s uklonjenom z koordinatom, tj. [tex]\pi(S)=\{(x,y)~|~(x+\frac12)^2+(y+\frac12)^2\leq \frac32\}[/tex], pa je rub tog skupa samo kruznica sa sredistem u (-1/2,-1/2) i radijusom [tex]\sqrt{3/2}[/tex]. |
Phoenix (napisa): |
Mislim da je ovo krivo. Može se pokazati da je, primjerice, [tex](0,0,1) \in S[/tex]. Naime, [tex]0^2+0^2 \leq 1[/tex] te [tex]0+0+1=1[/tex].
U bilo koji dopušten izbor točaka ne spada točka s koordinatama [tex]x=y=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex]... |
Phoenix (napisa): |
Ako znaš da je zadani skup podskup nekog pravokutnika (Kartezijevog produkta od [tex]n[/tex] segmenata, podskup od [tex]\mathbb{R}^n[/tex]), dovoljno je reći da je taj pravokutnik ograničen pa je i zadani skup, kao podskup ograničenog, ograničen. Ako baš želiš tražiti kuglu, za nadskup [tex]\displaystyle \left[ a_1, b_1 \right] \times \left[ a_2, b_2 \right] \times ... \times \left[ a_n, b_n \right] = \prod_{k=1}^{n} \left[ a_k, b_k \right][/tex] dovoljno je uzeti kuglu [tex]K(0,r)[/tex] gdje su [tex]0=(0,0,...,0) \in \mathbb{R}^n[/tex] te [tex]r = \max \left\{ ||(c_1, c_2, ..., c_n)|| : c_i \in \left\{ a_i, b_i \right\}, 1 \leq i \leq n \right\}[/tex]. Dakle, od ograničenja svake koordinate konstruiraš točku takva da joj je norma (udaljenost od ishodišta) najveća. Ako ti ovo izgleda previše naporno, a znaš otprilike vrijednost da su, recimo, rubovi segmenta "negdje od [tex]5[/tex] do [tex]10[/tex]", uvijek možeš zadati sljedeću kuglu: [tex]K(0, 1000000)[/tex]. Naime, ti moraš naći jednu kuglu, ali ne i najmanju moguću koja je nadskup početnog skupa, stoga ne treba gubiti vrijeme na traženje takve kugle. Uostalom, ako treba dokazati raspisivanjem zašto je tražena kugla nadskup, sigurno je lakše s većim radijusom. |
pedro (napisa): |
[1,2] x [-1, 5] je podskup od A, ali A nije pravokutnik. kako onda ovo argumentiram? |
pedro (napisa): |
mogu ta dva segmenta nacrtat u koordinatnom sustavu i onda naći dobar radijus, ali je li to zaista potrebno ili samo argumentiram da je cijeli skup A omeđen jer smo omeđili obje njegove koordinate? |
Phoenix (napisa): | ||
Ne! Nije [tex]\left[ 1,2 \right] \times \left[ -1,5 \right] \subseteq A[/tex] nego je [tex]A \subseteq \left[ 1,2 \right] \times \left[ -1,5 \right][/tex]. |
Phoenix (napisa): |
Točno, to je domena.
(Kolokvij 2011./12., da ne bi bilo zabune.) |
Phoenix (napisa): |
Pa, zadatak svakako vuče na taj oblik i preporučljivo je imati ih na umu. No, kako sam nedavno rješavao taj zadatak, čak mi nije ni trebao taj limes.
Ideja je sljedeća: kada [tex]x[/tex] ili [tex]y[/tex] teži prema kritičnoj točki, argument trigonometrijske funkcije ide u beskonačnost, a znamo da ta funkcija nema limes u beskonačnosti (raste do [tex]1[/tex], pada do [tex]-1[/tex], pa raste do [tex]1[/tex], pa pada do [tex]-1[/tex], ... i tako u beskonačnost). Onda sam samo promatrao teži li možda zagrada ili eventualno druga trigonometrijska funkcija prema nuli jer, kako je trigonometrijska funkcija ograničena, mora cijeli izraz težiti prema nuli. |
output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.