Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu

through

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli

#1: povezanost putevima Autor/ica: Loo,

Postano: 20:32 sri, 31. 10. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2007-08/DRFVVkol_1.pdf

može li netko pokazati 8.?
zapela sam pred kraj dokaza.
krenula sam ovako:
budući da je presjek neprazan, znamo da postoji neki [tex]c[/tex] u tom presjeku i taj [tex]c[/tex] je u svakom [tex]Ai[/tex]. za proizvoljne [tex]x, y[/tex] iz unije znamo da postoje [tex]i,j\in I[/tex] t.d je [tex]x\in Ai, y\in Aj[/tex]. ako je [tex]i=j[/tex], onda sigurno postoji put između [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] jer je [tex]Ai[/tex] povezan putevima. sad gledam za [tex]i\neq j[/tex].
budući da je [tex]c\in Ai, c\in Aj[/tex], a oni su povezani putevima sigurno postoji put, odnosno neprekidno preslikavanje [tex]\alpha:[a, b]\rightarrow R^n[/tex] t.d. [tex]\alpha(a)=x, \alpha(b)=c[/tex]. i isto tako postoji i drugo neprekidno preslikavanje [tex]\beta[/tex] u [tex]Aj[/tex] za [tex]c[/tex] i [tex]y[/tex]. mene muči kako ta dva puta povezati u jedan? ili je ovo dovoljna argumentacija?

#2: Autor/ica: goranm,

Postano: 21:25 sri, 31. 10. 2012
—
Nije dovoljno jer jos trebas argumentirati zasto bi spoj puteva [tex]\alpha[/tex] i [tex]\beta[/tex] bio put, tj. zasto je taj spoj uopce dobro definirana funkcija i zasto je neprekidna. Ako je [tex]\beta\colon[b,d]\to A_j[/tex] td. [tex]\beta(b)=c[/tex] i [tex]\beta(d)=y[/tex], onda definiraj [tex]\gamma\colon [a,d]\to A_i\cup A_j[/tex] td. je

[tex]\gamma(t)=\left\{\begin{array}{rl}
\alpha(t), & t\in [a,b],\\
\beta(t), & t\in [b,d].
\end{array}\right.[/tex]

To je dobro definirana funkcija jer je [tex]\alpha(b)=\beta(b)[/tex], a neprekidna je jer su [tex]\alpha[/tex] i [tex]\beta[/tex] neprekidne i podudaraju se na presjeku njihovih domena. Prema tome, to je put u [tex]\cup_{i\in I}A_i[/tex] od x do y.

#3: Autor/ica: Loo,

Postano: 21:36 sri, 31. 10. 2012
—
i mislila sam da treba, ali nisam bila sigurna smijem li staviti da [tex]\beta[/tex] preslikava baš segment koji počinje sa [tex]b[/tex], budući da [tex]\alpha [/tex] i [tex]\beta[/tex] mogu biti skroz drugačija preslikavanja.

hvala! Smile

#4: Autor/ica: goranm,

Postano: 21:37 sri, 31. 10. 2012
—
Btw. ako su skupovi [tex]A_i[/tex] povezani putevima u [tex]\mathbb{R}^n[/tex], onda [tex]\alpha \colon [a,b] \to \mathbb{R}^n[/tex] td. je [tex]\alpha(a)=x[/tex], [tex]\alpha(b)=c[/tex] nije nuzno put u [tex]A_i[/tex]. S obzirom da si za kodomenu stavila [tex]\mathbb{R}^n[/tex], to znaci da (bes)konacno mnogo tocaka tog puta moze ispasti izvan citave unije [tex]\cup A_i[/tex]. Prema tome, za tako definiranu funkciju [tex]\alpha[/tex], prethodna argumentacija da je unija [tex]\cup A_i[/tex] povezana putevima ne bi bila dobra.

To se lagano ispravi tako da za kodomenu funkcije [tex]\alpha[/tex] uzmes [tex]A_i[/tex].

#5: Autor/ica: Loo,

Postano: 21:43 sri, 31. 10. 2012
—
aha, istina, zaboravila sam spomenuti [tex]\alpha([a,b])\subset Ai[/tex]

#6: Autor/ica: goranm,

Postano: 21:44 sri, 31. 10. 2012
—

Loo (napisa):

i mislila sam da treba, ali nisam bila sigurna smijem li staviti da [tex]\beta[/tex] preslikava baš segment koji počinje sa [tex]b[/tex], budući da [tex]\alpha [/tex] i [tex]\beta[/tex] mogu biti skroz drugačija preslikavanja.

hvala! Smile

Za [tex]\alpha[/tex] i [tex]\beta[/tex] mozes uzeti bilo koji segment jer uvijek put mozes reparametrizirati. Intuitivno to znaci da ako za [tex]\alpha[/tex] i [tex]\beta[/tex] odaberes npr. [0,1] kao domenu, onda mozes pronaci puteve [tex]\alpha'[/tex] i [tex]\beta'[/tex] koji imaju isti trag kao [tex]\alpha[/tex] i [tex]\beta[/tex], redom, ali koji su definirani na [0,1/2]. To znaci da tocke [tex]\alpha'(t)[/tex] i [tex]\beta'(t)[/tex] putuju dvostruko "brze" od tocaka [tex]\alpha(t)[/tex] i [tex]\beta(t)[/tex] po pripadnim tragovima. Kasnije onda ponovo reparametriziras [tex]\beta'[/tex] u [tex]\beta''[/tex] tako da ima isti trag kao i [tex]\beta'[/tex], ali s domenom [1/2,1]. I onda samo spojis [tex]\alpha'[/tex] i [tex]\beta''[/tex] u put s domenom [0,1].

#7: Autor/ica: Loo,

Postano: 15:24 čet, 1. 11. 2012
—
aha, a sad shvaćam! iako mi je bilo intuitivno jasno što je put, nisam znala da imamo toliku slobodu pri odabiru intervala. puno hvala, ovo bi moglo biti korisno Smile

#8: Autor/ica: nuclear,

Postano: 19:55 čet, 1. 11. 2012
—
Je li točno da ukoliko je funkcija

neprekidna da preslikava svaka dva disjunktna skupa B i C iz

u opet disjunktna skupa iz A? Nisam sigurna da mi je najjasnija ta povezanost putevima.

#9: Autor/ica: Loo,

Postano: 20:14 čet, 1. 11. 2012
—
hoćeš reći da su praslike po [tex]f[/tex] dvaju disjunktnih skupova iz [tex]Rk[/tex], disjunktne u [tex]A[/tex]? pa to je osnovno funkcijsko pravilo, kada bi neki [tex]x[/tex] bio u presjeku te dvije praslike, to bi značilo da je [tex]f(x)\in B[/tex] i [tex]f(x)\in C[/tex], a budući da su [tex]B[/tex] i [tex]C[/tex] disjunktni ispalo bi da [tex]f[/tex] šalje [tex]x[/tex] u dvije različite vrijednosti.

#10: Autor/ica: nuclear,

Postano: 20:36 čet, 1. 11. 2012
—
Zašto bi vrijedila "ako i samo ako" za tvrdnju: Otvoren skup u

je povezan akko je povezan putevima; ? Ako znamo da ako je skup povezan putevima onda je intuitivno i povezan. Vrijedi li ista relacija i za zatvoren skup? Ehm?

#11: Autor/ica: kikzmyster,

Postano: 21:04 čet, 1. 11. 2012
—
Evo, pogledaj ovo: http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=17275

#12: Autor/ica: goranm,

Postano: 21:44 čet, 1. 11. 2012
—

nuclear (napisa):

Zašto bi vrijedila "ako i samo ako" za tvrdnju: Otvoren skup u

je povezan akko je povezan putevima; ? Ako znamo da ako je skup povezan putevima onda je intuitivno i povezan. Vrijedi li ista relacija i za zatvoren skup? Ehm?

Intuitivan argument (s obzirom da ti je takav dovoljan za jednu stranu) je taj da otvoreni skupovi u [tex]\mathbb{R}^n[/tex] su oni koji su sacinjeni od jednog "komada" - mogu biti izbuseni kao svicarski sir, ali i dalje su jedna cjelina; prototip povezanog skupa u [tex]\mathbb{R}[/tex] je interval [tex]\left\langle a,b\right\rangle[/tex] i tu je jasno da mozemo povuci ravnu liniju izmedju bilo koje dvije tocke; u [tex]\mathbb{R}^2[/tex] nista bitno se ne mijenja, osim sto sada povezani skupovi mogu imati rupe (npr. kruznica ili krug bez sredista) koje lako mozes zaobici. To je, naravno, sve neformalna argumentacija.

Citat:

Vrijedi li ista relacija i za zatvoren skup? Ehm?

Ne. Graf funkcije [tex]f\colon \left\langle0,1\right]\to\mathbb{R}, f(x)=\sin\frac1x[/tex] zajedno s vertikalnim segmentom [tex]\left\{(0,y)~|~y\in[-1,1]\right\}[/tex] je zatvoren, povezan, ali ne i putevima povezan skup.

Forum@DeGiorgi -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.