Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu - zadatak iz zadace (spektar)

through

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Vektorski prostori

#1: zadatak iz zadace (spektar) Autor/ica: Gost,

Postano: 15:11 čet, 10. 1. 2013
—
zadatak ide ovako:

Neka je [tex]A \in L(V)[/tex] takav da je [tex]1 \in \sigma(A^2-3A+3I)[/tex]. Pokažite da je tada [tex]1 \in \sigma( (A-2I)^{100} + (A-I)^{50} ) [/tex].

pretpostavljam da treba koristiti Teorem o preslikavanju spektra, koji kaže da je [tex]f ( \sigma (A)) = \sigma (f(A)) [/tex], odnosno ako je [tex]\lambda \in \sigma(A) [/tex], onda je [tex]f(\lambda) \in \sigma(f(A)) [/tex].

ali nikako ne uspijevam namjestiti funkcije u zadatku, pa vas molim za pomoć Smile

hvala!

#2: Autor/ica: vsego, Lokacija: /sbin/init

Postano: 15:45 čet, 10. 1. 2013
—
Znamo da je [tex]1 \in \sigma(A^2 - 3A + 3I)[/tex]. Koristenjem teorema koji si naveo, za funkciju [tex]f(x) = x^2 - 3x + 3[/tex], zakljucujemo da za neku svojstvenu vrijednost [tex]\lambda[/tex] vrijedi da je
[tex]\lambda^2 - 3\lambda + 3 = f(\lambda) = 1 \in \sigma(A^2 - 3A + 3) = \sigma(f(A))[/tex],
tj.
[tex]\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 2)(\lambda - 1) = 0[/tex].
To znaci da je [tex]\lambda \in\{1,2\}[/tex]. Vjerujem da je dalje ocito; ako nije, vrisni.

#3: Autor/ica: Gost,

Postano: 20:37 čet, 10. 1. 2013
—

vsego (napisa):

Znamo da je [tex]1 \in \sigma(A^2 - 3A + 3I)[/tex]. Koristenjem teorema koji si naveo, za funkciju [tex]f(x) = x^2 - 3x + 3[/tex], zakljucujemo da za neku svojstvenu vrijednost [tex]\lambda[/tex] vrijedi da je
[tex]\lambda^2 - 3\lambda + 3 = f(\lambda) = 1 \in \sigma(A^2 - 3A + 3) = \sigma(f(A))[/tex],
tj.
[tex]\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 2)(\lambda - 1) = 0[/tex].
To znaci da je [tex]\lambda \in\{1,2\}[/tex].

vsego, ovo mi je puno pomoglo! možeš li reći je li ovako dobro:

definiramo funkciju [tex]f(\lambda) := \lambda ^2 -3 \lambda +3[/tex].
kao što smo rekli, ako je [tex]f(\lambda) \in \sigma (f(A))[/tex], onda je [tex]\lambda \in \sigma (A)[/tex] (i obratno).
znamo [tex]1 \in \sigma (f(A))[/tex], pa za neki [tex]\lambda \in \sigma (A)[/tex] (dakle iz spektra od [tex]A[/tex]!!) vrijedi [tex]f(\lambda) = 1[/tex].
[tex]\lambda^2 - 3\lambda + 3 = 1[/tex]
[tex]\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0[/tex]
[tex](\lambda -1)(\lambda-2) = 0[/tex]
ovo je istina ako je [tex]\lambda \in \{1,2\}[/tex]

e sad ovo nisam siguran:
od gore imamo [tex]\lambda \in \sigma (A)[/tex],
pa možemo li zaključiti da je [tex]\{1,2\} \subseteq \sigma(A) [/tex]??

dalje sam probao ovako:
definiramo funkciju [tex]g(\lambda) := (\lambda - 2)^{100} + (\lambda -1)^{50}[/tex].
tada je [tex]g(A) = (A - 2I)^{100} + (A -I)^{50}[/tex].
opet vrijedi [tex]\sigma(g(A)) = g(\sigma(A))[/tex].
pitamo se kakav mora biti [tex]\lambda \in \sigma (g (A))[/tex]...
[tex]\lambda \in \sigma (g (A)) \Rightarrow[/tex]
[tex]\lambda \in g (\sigma(A))[/tex]

i što sad? mi ne znamo koliko je točno velik [tex]\sigma(A)[/tex], jer [tex]\{1,2\}[/tex] može biti samo jedan njegov mali podskup... možemo li napraviti takav "skok" i pretpostaviti da je [tex]\lambda[/tex] baš iz slike tog podskupa?

jer tada [tex]\Rightarrow \lambda \in g(\{1,2\})[/tex]
a zbog
[tex]g(1) = 1+0= 1[/tex]
[tex]g(2) = 0+1 = 1[/tex]
slijedi
[tex]\lambda \in \{1\}[/tex]
[tex]\Rightarrow 1 \in g(\sigma(A)) = \sigma( (A - 2I)^{100} + (A -I)^{50})[/tex].

može ovako? Confused

#4: Autor/ica: vsego, Lokacija: /sbin/init

Postano: 23:00 čet, 10. 1. 2013
—
Ne moze. Ovo zavrsno zakljucivanje je navlacenje koje bas i ne drzi vodu. Stvar je puno jednostavnija.

Definiramo drugu funkciju: [tex]g(x) = (x-2)^{100} + (x-1)^{50}[/tex] (to si napravio, ali ja radije definiram preko [tex]x[/tex], pa uvrstim [tex]\lambda[/tex], da izbjegnem konfuziju).

Mi ne znamo niti jednu svojstveno vrijednost, ali znamo da za jednu od njih – oznacenu s [tex]\lambda[/tex] – vrijedi da je [tex]\lambda \in \{1,2\}[/tex]. Prevedeno na hrvatski, to znaci da je
[tex]\lambda = 1[/tex] ili [tex]\lambda = 2[/tex].

No, ako uvrstimo takve [tex]\lambda[/tex] u funkciju [tex]g[/tex], imamo da je
[tex]g(1) = (1-2)^{100} + (x-1)^{50} = (-1)^{100} = 1[/tex] i
[tex]g(2) = (2-2)^{100} + (2-1)^{50} = 1^{50} = 1[/tex].
Dakle, neovisno o vrijednosti te jedne sv. vrijednosti [tex]\lambda[/tex], znamo da je
[tex]f(\lambda) = 1[/tex].

Posto je
[tex]\lambda \in \sigma(A)[/tex],
to je
[tex]1 = g(\lambda) \in \sigma(g(A))[/tex].

#5: Autor/ica: Gost,

Postano: 23:14 čet, 10. 1. 2013
—
sad je jasnije.

PUNO hvala! Very Happy

#6: Autor/ica: pedro,

Postano: 12:23 pet, 11. 1. 2013
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/zad2_12_13.pdf

može hint za 3. Ne vidim da smo ikakav sličan zad radili na vježbama pa mi treba pomoć Hvala Very Happy

#7: Autor/ica: lost_soul,

Postano: 13:55 pet, 11. 1. 2013
—
Koristiš teorem o najboljoj aproksimaciji pa je ta aproksimacija zapravo ortogonalna projekcija..
Prvo ortonormiraš bazu {1,t,t^2} i onda primjeniš teorem. Bio je sličan zadatak s matricama

#8: Autor/ica: pedro,

Postano: 14:53 pet, 11. 1. 2013
—
hvalaa Very Happy

#9: Autor/ica: pedro,

Postano: 23:13 pet, 11. 1. 2013
—

lost_soul (napisa):

Koristiš teorem o najboljoj aproksimaciji pa je ta aproksimacija zapravo ortogonalna projekcija..
Prvo ortonormiraš bazu {1,t,t^2} i onda primjeniš teorem. Bio je sličan zadatak s matricama

jel taj tm o naj aproksimaciji dao asistent na papiru? ja nisam bila taj sat. ima netko da skenira taj papir i pošalje mi?

Added after 37 minutes:

dobila sam:

jel to ok?

#10: Autor/ica: pcukec,

Postano: 12:44 ned, 13. 1. 2013
—

pedro (napisa):

dobila sam:

jel to ok?

dobila isto Smile

Forum@DeGiorgi -> Vektorski prostori

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.