Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu - matrični zapis operatora

through

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Linearna algebra 1 & 2 (za inženjerske smjerove)

#1: matrični zapis operatora Autor/ica: pllook,

Postano: 20:16 sub, 26. 4. 2014
—
može pomoć oko ovog zadatka?
Neka je A : P4->R2 lin.op., A(p)=(p(0),p(1)). Nađi mu matricu u kanonskom paru baza, odredi Ker A, Im A, d(A), r(A).

#2: Autor/ica: goranm,

Postano: 20:40 sub, 26. 4. 2014
—
Oko kojeg dijela zadatka ti treba pomoc? Probaj odrediti tocno sto ti nije jasno.

#3: Autor/ica: pllook,

Postano: 20:52 sub, 26. 4. 2014
—

goranm (napisa):

Oko kojeg dijela zadatka ti treba pomoc? Probaj odrediti tocno sto ti nije jasno.

pa ovaj dio sa matričnim zapisom.. inače kužim takve zadatke,ali me muči što su ovdje polinomi pa ne znam odakle krenuti..

#4: Autor/ica: goranm,

Postano: 21:56 sub, 26. 4. 2014
—
Probaj odgovoriti na ova pitanja:
sto je kanonska baza za [tex]\mathcal P_4[/tex]?
Sto je kanonska baza za [tex]\mathbb R^2[/tex]?
Kojih dimenzija mora biti matrica A?
Sto trebas znati kako bi u potpunosti odredio A?

#5: Autor/ica: pllook,

Postano: 7:55 ned, 27. 4. 2014
—

goranm (napisa):

Probaj odgovoriti na ova pitanja:
sto je kanonska baza za [tex]\mathcal P_4[/tex]?
Sto je kanonska baza za [tex]\mathbb R^2[/tex]?
Kojih dimenzija mora biti matrica A?
Sto trebas znati kako bi u potpunosti odredio A?

kanonska baza za P4: {1,t,t^2,t^3,t^4}
kanonska baza za R2: {(1,0),(0,1)}
matrica mora biti dimenzija 2x5..

#6: Autor/ica: markann,

Postano: 10:31 ned, 27. 4. 2014
—
Ha nista, nades gdje se preslikava svaki od elemenata kanonske baze P4 i zapises ih u bazi za R2 (ako se ne varam, t,t^2,t^3,t^4 ce se slikati svi u (0,1), dok ce se 1 slikati u (1,1))
Dakle matricni zapis ti je {{1,0,0,0,0},{1,1,1,1,1}}
KerA i ImA ides po definiciji. KerA su ti svi p-ovi (at^4+bt^3+ct^2+dt+e) td je Ap=0 tj (e,a+b+c+d+e)=(0,0)
Iz ovog ti slijedi da ti je e=0, i a=-b-c-d
Dakle polinom ti je oblika p=(-b-c-d)t^4+bt^3+ct^2+dt tj
p=b(t^3-t^4)+c(t^2-t^4)+d(t-t^4)
Dakle jezgra ti je razapeta tim vektorima, dokazes da su nezavisni(a i ocito je), i to je baza za KerA.. ostalo analogno. nadam se da sam pomogao, ako mi nesto nije tocno molim da me se ispravi jer sam iz glave racunao

#7: Autor/ica: goranm,

Postano: 20:28 ned, 27. 4. 2014
—

pllook (napisa):

goranm (napisa):

kanonska baza za P4: {1,t,t^2,t^3,t^4}
kanonska baza za R2: {(1,0),(0,1)}
matrica mora biti dimenzija 2x5..

Kao sto je markann objasnio u komentaru iznad, koeficijenti matrice odredjeni su djelovanjem operatora A na bazu od [tex]\mathcal P_4[/tex]. Ako je [tex]e[/tex] element baze od [tex]\mathcal P_4[/tex], onda je
[dtex]A(e)=\alpha_e (1,0)+\beta_e (0,1),[/dtex]
gdje su [tex]\alpha_e[/tex] i [tex]\beta_e[/tex] realni brojevi. Ta dva broja ciniti ce jedan stupac matrice koja reprezentira A. Kako baza od [tex]\mathcal P_4[/tex] ima pet elemenata, dobiti ces pet parova realnih brojeva [tex]\alpha_{t^j}[/tex] i [tex]\beta_{t^j}[/tex], pri cemu je [tex]j=0,1,\dots,4[/tex]. Svaki par cini jedan stupac pri cemu alfe uvijek idu u isti red.

Sam postupak odredjivanja matrice koja reprezentira A se ne razlikuje od postupka u slucaju kada je A operator iz [tex]\mathbb R^n[/tex] u [tex]\mathbb R^m[/tex]. Jedina razlika je u tome kako se baza za [tex]\mathcal P_4[/tex] zapisuje. Ako razumijes kako se operatoru iz [tex]\mathbb R^n[/tex] u [tex]\mathbb R^m[/tex] pridruzuje matrica, onda razumijes i kako se operatoru iz [tex]\mathcal P_n[/tex] u [tex]\mathbb R^m[/tex] (i obratno) pridruzuje matrica. Ako ti ovo drugo nije jasno, vjerojatno ti niti ovo prvo nije u potpunosti jasno.

#8: Nemar Autor/ica: sionjungle,

Postano: 22:51 ned, 27. 4. 2014
—
Je li mi može samo neko objasniti zašto se t,t^2,t^3,t^4 preslikaju u (1,0), a 1 u (1,1) ?

Added after 8 minutes:

Zanemarite moj gornji post, shvatio sam Very Happy

#9: Autor/ica: pllook,

Postano: 22:56 ned, 27. 4. 2014
—
jedino što mene ovdje muči je kako da znam da je A(1)=(1,1), A(t)=(0,1), A(t^2)=(0,1), itd..

#10: Zadatak Autor/ica: sionjungle,

Postano: 23:06 ned, 27. 4. 2014
—
Ako sam ja dobro shvatio, to bi išlo nekako ovako:
na prvoj koordinati se nalazi p(0), pa ako uzmeš polinom oblika a+bt+ct^2, p(0) ispadne samo slobodan koeficijent. Dakle, da bi ga prikazao/la, trebaš samo 1 iz baze.
Za p(1) dobije se da je sve jedan pa onda trebaš sve članove baze da bi prikazao taj polinom.
Neka me neko tko bolje zna ispravi ukoliko sam eventualno u zabludi.

Added after 3 minutes:

Mene bi sada zanimalo kako se to odredi na kompliciranijim zadacima, recimo iz prošlogodišnjeg kolokvija drugi zadatak, kako operator B zapisati u kanonskom paru baza. Svaka pomoć dobrodošla

#11: Re: Odgovor Autor/ica: markann,

Postano: 23:07 ned, 27. 4. 2014
—

sionjungle (napisa):

Ako sam ja dobro shvatio, to bi išlo nekako ovako:
na prvoj koordinati se nalazi p(0), pa ako uzmeš polinom oblika a+bt+ct^2, p(0) ispadne samo slobodan koeficijent. Dakle, da bi ga prikazao/la, trebaš samo 1 iz baze.
Za p(1) dobije se da je sve jedan pa onda trebaš sve članove baze da bi prikazao taj polinom.
Neka me neko tko bolje zna ispravi ukoliko sam eventualno u zabludi.

Neznam sta tocno mislis, al ovako

Znaci, gledas kako tvoj operator djeluje.. Uzme bilo koji polinom stupnja manjeg ili jednakog 4, i u prvu kordinatu upise taj polinom izracunat u 0, tj p(0), a u drugu koordinatu upise polinom izracunat u 1, tj p(1)
Primjer: Za polinom p(t)=2t^3+4t-1
je (Bp)(t)=(-1,5) jer je p(0)=-1, a p(1)=5
Dobro, sad kad to znas, lupis operator po kanonskoj bazi i izracunas to sve, i probas zapisat te vektore, sta god da oni bili, u kanonskoj bazi za kodomenu, u ovom slucaju je to R2
Neznam kako objasnit na bolji nacin, a i uzasan sam u obnjasnjavanju stvari, pa nek proba goran il netko Sad

Ali stvarno nije tesko, jednom kad skuzis, zagarantirano ti je 70%++ na kolokviju. Linearna nije teska jednom kad shvatis.

#12: Hvala Autor/ica: sionjungle,

Postano: 23:19 ned, 27. 4. 2014
—

Citat:

Ok hvala ovo mi je stvarno pomoglo. Je li bi imao mozda toliko vremena pa mi pokusao to objasniti na primjeru proslogodisnjeg kolokvija, tocnije drugi zadatak, ono kad ide iz P2 u P2?

#13: Re: Hvala Autor/ica: markann,

Postano: 23:38 ned, 27. 4. 2014
—

sionjungle (napisa):

Ok hvala ovo mi je stvarno pomoglo. Je li bi imao mozda toliko vremena pa mi pokusao to objasniti na primjeru proslogodisnjeg kolokvija, tocnije drugi zadatak, ono kad ide iz P2 u P2?

Aha, znaci imas matricni zapis operatora u paru baza e'' i e', sta god da one bile. Matrica je ovakva: B(e'',e')=[dtex]\begin{bmatrix}-1/2&0&0\\-1/2&0&1/2\\1&-1/2&1/2\end{bmatrix}[/dtex]

Što znaci, (ako znas definiciju matricnog zapisa, sve direktno iz definicije slijedi), da je Be1'=-1/2e1''-1/2e2''+1*e3''
itd..
Uocis da je Be2'=0*e1''+0*e2''-1/2e3''=-1/2e3''
I sad samo izracunas Be2'
Gledas kako B djeluje, uzme bilo koji polinom i preslika ga u polinom p(-t)+p(0)t
Primjer: za p(t)=t^2+t-1 je (Bp)(t)=p(-t)+p(0)*t=t^2-t-1+(0+0-1)*t=t^2-2t-1
Imas zadano: e2'=t
sto znaci Be2'=-t+0*t=-t. Slijedi -t=-1/2e3'' slijedi e3''=2t
Evo ga, nasao si jedan vektor od baze e'', analogno nades ostala e1'' i e2''

#14: Re: Hvala Autor/ica: sionjungle,

Postano: 23:45 ned, 27. 4. 2014
—

markann (napisa):

sionjungle (napisa):

Ok hvala ovo mi je stvarno pomoglo. Je li bi imao mozda toliko vremena pa mi pokusao to objasniti na primjeru proslogodisnjeg kolokvija, tocnije drugi zadatak, ono kad ide iz P2 u P2?

Ok, kužim sad ovo puno hvala, stvarno lijepo objašnjavate. Još samo mala zamolba da provjerite dal sam dobro skužio taj matrični prikaz, da li je matricni prikaz operatora u tom zadatku B(e)={1,0,0),(1,-1,0),(0,0,)}?

#15: Re: Hvala Autor/ica: markann,

Postano: 23:55 ned, 27. 4. 2014
—

sionjungle (napisa):

Ako je e kanonska baza, onda je B(e)=
[dtex]\begin{bmatrix}1&0&0\\1&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}[/dtex]

#16: Re: Hvala Autor/ica: sionjungle,

Postano: 0:00 pon, 28. 4. 2014
—

markann (napisa):

sionjungle (napisa):

Ako je e kanonska baza, onda je B(e)=
[dtex]\begin{bmatrix}1&0&0\\1&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}[/dtex]

Hvala ti markann, hvala na trudu. Sad bez straha mogu danas na kolokvij Smile

#17: Re: Zadatak Autor/ica: goranm,

Postano: 1:14 pon, 28. 4. 2014
—

pllook (napisa):

jedino što mene ovdje muči je kako da znam da je A(1)=(1,1), A(t)=(0,1), A(t^2)=(0,1), itd..

To znas zbog nacina na koji je zadan operator A. Taj operator preslikava polinom [tex]p[/tex] u uredjen par [tex](p(0),p(1))[/tex].

Prvi element baze je konstantan polinom 1, odnosno funkcija [tex]1\colon\mathbb R\to\mathbb R[/tex] td. je [tex]1(t)=1[/tex], za svaki [tex]t\in\mathbb R[/tex]. Tu moras imati na umu da u prostoru polinoma simboli 1, 2, -4.714, itd. oznacavaju konstantne funkcije, a ne realne brojeve.

Dakle, [tex]A(1)=(1(0),1(1))=(1,1)[/tex]. Slicno, [tex]A(t^k)=(t^k(0),t^k(1))=(0^k,1^k)=(0,1)[/tex], za [tex]k=1,\dots,4[/tex].

Added after 40 minutes:

sionjungle (napisa):

Ovdje treba biti malo pazljiviji. Koeficijent [tex]a=p(0)[/tex] u polinomu [tex]p(t)=a+bt+ct^2+dt^3+et^4[/tex] nije element prostora [tex]\mathcal P_4[/tex] (to je vrijednost polinoma [tex]p[/tex] u nuli, odnosno, to je realan broj) pa nema smisla govoriti o prikazivanju slobodnog koeficijenta u bazi za [tex]\mathcal P_4[/tex].

Naravno, postoji konstantan polinom [tex]a[/tex], a razlika izmedju konstantnog polinoma [tex]a[/tex] i vrijednosti polinoma [tex]p[/tex] u nuli ja ta sto prvo je funkcija, a drugo je realan broj.

Citat:

Za p(1) dobije se da je sve jedan pa onda trebaš sve članove baze da bi prikazao taj polinom.

Slicno za [tex]p(1)[/tex]. To je isto realan broj, dok je polinom [tex]a+b+c+d+e[/tex] funkcija koja za neke fiksne a, b, c, d i e preslikava sve realne brojeve u broj a+b+c+d+e. Za taj polinom potrebni su svi clanovi kanonske baze da bi se prikazao, dok broj [tex]p(1)[/tex] uopce nije element prostora [tex]\mathcal P_4[/tex].

____________________________________

No ono sto tebe zanima je kako u kanonskoj bazi za [tex]\mathbb R^2[/tex] prikazati sliku elementa kanonske baze za [tex]\mathcal P_4[/tex]. Jer je kodomena operatora A prostor [tex]\mathbb R^2[/tex], onda ce slika bilo kojeg polinoma biti oblika
[dtex]A(p)=\alpha(1,0)+\beta(0,1),[/dtex]
gdje su [tex]\alpha[/tex] i [tex]\beta[/tex] neki realni brojevi. Taj prikaz je zapravo u potpunosti neovisan i o domeni operatora A i o tome kako djeluje, ovisi samo o kodomeni. No ako zelimo saznati sto su [tex]\alpha[/tex] i [tex]\beta[/tex], onda je bitno znati kako A djeluje. Jer je
[dtex]A(p)=(p(0),p(1))=p(0)\cdot(1,0)+p(1)\cdot(0,1)[/dtex]
onda mora biti [tex]\alpha=p(0)[/tex] i [tex]\beta=p(1)[/tex]. Ono sto nas sada zanima je p(0) i p(1) kada je p element kanonske baze za [tex]\mathcal P_4[/tex] jer to je sve sto nam je potrebno da bismo odredili matricu pridruzenu operatoru A.

#18: Autor/ica: pllook,

Postano: 5:28 pon, 28. 4. 2014
—
hvala na trudu,sad mi je puno jasnije Smile

Forum@DeGiorgi -> Linearna algebra 1 & 2 (za inženjerske smjerove)

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.