#1: Centar simetricne grupe Sn Autor/ica: denzaa, Postano: 10:42 pon, 19. 1. 2015 — Neka je n>=3. Odredi Z(Sn).
Unaprijed zahvaljujem
#2: Autor/ica: goranm, Postano: 13:30 pon, 19. 1. 2015 — Neka je [tex]1\neq\sigma\in S_n[/tex] te neka su [tex]1\leq i,j \leq n[/tex] takvi da [tex]i\neq j[/tex] te [tex]\sigma(i)=j[/tex].
Kako je [tex]n\geq 3[/tex], postoji [tex]1\leq k \leq n[/tex] takav da [tex]k\neq i,j[/tex] te postoji permutacija [tex]\tau_k=(k\, j)[/tex]. Sada imamo
[dtex]\sigma\tau_k(i)=\sigma(i)=j\\
\tau_k\sigma(i)=\tau_k(j)=k.
[/dtex]
Prema tome, kada bi [tex]1\neq\sigma\in\text Z(S_n)[/tex], tada bi [tex]\sigma[/tex] morala komutirati sa [tex]\tau_k[/tex], za bilo koji izbor [tex]1\leq k\leq n[/tex]. No vidjeli smo da to nije moguce za barem jedan takav [tex]k[/tex]. Dakle, [tex]\text Z(S_n)=\{1\}[/tex].
