Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu

through

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2

#1: Infimum i supremum Autor/ica: krilo,

Postano: 13:40 uto, 24. 1. 2017
—
Pozdrav forumaši Smile

Trebam pronaći infimum i supremum sljedećeg skupa: [tex]S = \{\frac{2mn + 3n + 4m + 2}{2m - mn + 2 - n}\: m, n \in N\}[/tex]

Znala bih ga riješiti da ga mogu faktorizirati na 2 razlomka koji imaju posebno [tex]m[/tex] i posebno [tex]n[/tex] u sebi, ali se na ovom to ne da učiniti u brojniku. U nazivniku se može dobiti [tex](2-n)(m+1)[/tex]. Čitala sam na drugim topicima da se nešto treba dokazivati s indukcijom po m i n, ali ne znam kako, ni zašto uvrštavamo [tex]m = 1, n = 1[/tex] i slično. Postoji li neka metoda za faktorizaciju? Kako tumačiti činjenicu da kad uvrstimo [tex]n = 2[/tex] u razlomku dobijemo nulu? Hvala unaprijed.

#2: Autor/ica: goranm,

Postano: 17:45 uto, 24. 1. 2017
—
Razlomak mozes zapisati kao [tex]1+\frac{2m+3mn+4n}{(2-n)(m+1)}[/tex]. Za supremum, ako postoji, znas da je veci od 1 (uvrstis npr. m=n=1). Kako je razlomak pozitivan jedino kada je n=1, onda iz toga mozes zakljuciti koji je supremum (ako postoji), jer za n>1 citav izraz je manji od 1.

Ako je [tex]n\geq 3[/tex], onda promatras izraz [tex]1-\frac{2m+3mn+4n}{(n-2)(m+1)}[/tex]. Fiksiraj prvo n=3 pa n=4 pa n=5 da dobijes ideju sto se dogadja kada n raste, a m ide u beskonacnost.

#3: Autor/ica: krilo,

Postano: 20:38 uto, 24. 1. 2017
—
Ok, ovo za supremum shvaćam. Ako fiksiram n na 3, 4, 5, dobivam izraze [tex]-10 + \frac{1}{m +1}, -13 + \frac{2}{m + 1}, -16 + \frac{3}{m + 1}[/tex]. Znači li to da infimum ne postoji? Recimo i da je to meni intuitivno jasno, kako da ja to ispravljaču na kolokviju objasnim po "matematički"?

#4: Autor/ica: goranm,

Postano: 23:23 uto, 24. 1. 2017
—
Recimo da si u takvoj situaciji i da zelis pokazati da skup [tex]S=\{-10 + \frac{1}{m +1}, -13 + \frac{2}{m + 1}, -16 + \frac{3}{m + 1}, \dots\}[/tex], gdje m ide od 1 do beskonacno, nema infimum.

Infimum niza [tex](-10 + \frac{1}{m +1})_m[/tex] je ocito -10. Onda, infimum niza [tex](-13 + \frac{2}{m +1})_m[/tex] je ocito -13 itd. Dakle, trebas pokazati da infimumi tih nizova cite strogo padajuci niz. Kada bi S imao infimum I, onda bi on trebao biti jednak nekome od ili manji od svih tih infimuma. Ali s obzirom da oni strogo padaju, uvijek mozes naci neki broj u tom nizu infimuma koji je manji od I.

ali

ti nisi u toj situaciji. Za n=3 izraz koji bi trebala dobiti je [tex]-10-\frac{1}{m+1}[/tex]. Za n=4 to je [tex]-6-\frac{1}{m+1}[/tex]. Za n=5 to je [tex]-\frac{14}{3}-\frac{1}{m+1}[/tex] itd. Najmanja vrijednost koja se ovdje moze postici je -10.5, a s obzirom da izgleda kao da cemo za n>5 dobivati sve manje i manje brojeve, onda eksplicitno dokazes da [tex]\frac{2mn + 3n + 4m + 2}{2m - mn + 2 - n}[/tex] ne moze biti manji od -10.5 niti za jedan m i n (pretpostavis da je manji za neke m i n, i onda nakon tehniciranja zakljucis da to ne moze biti slucaj).

#5: Autor/ica: krilo,

Postano: 10:31 sri, 25. 1. 2017
—
Zahvaljujem na pomoći... sad mi je sve napokon jasno. Very Happy

#6: Zadatak iz popravnog Autor/ica: krilo,

Postano: 12:55 pon, 6. 2. 2017
—
Da ne otvaram novi post, nadovezat ću se...
2015. 2. zadatak: Niz je zadan rekurzivno: [tex]a_n=\frac{a_n+a_{n-1}}{2},\ a_0=0,\ a_1=1.[/tex]
a) Traži se dokaz da je omeđen odozgo i odozdo. (Dokazah, s 0 i 1.)
b) Dokažite da niz nije monoton, čak ni od nekog člana nadalje. Think

(Ne znam šablonu indukcije za to.)
c) Dokažite da je niz konvergentan, unatoč činjenici da nije monoton, te mu odredite limes. (Uputa: Da biste odredili limes, najprije dokažite da je izraz [tex]2a_n + a_{n−1}[/tex] konstanta koja ne ovisi o n.)
(Da je izraz konstanta, to znam dokazat, ali konvergenciju ne. Pretpostavljam da ima veze s Cauchyjem?)

Hvala unaprijed.

#7: Re: Zadatak iz popravnog Autor/ica: mdoko, Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

Postano: 16:34 pon, 6. 2. 2017
—

krilo (napisa):

Niz je zadan rekurzivno: [tex]a_n=\frac{a_n+a_{n-1}}{2},\ a_0=0,\ a_1=1.[/tex]

Nešto nije u redu s ovom formulom... Confused

#8: Re: Zadatak iz popravnog Autor/ica: krilo,

Postano: 17:13 pon, 6. 2. 2017
—

mdoko (napisa):

krilo (napisa):

Niz je zadan rekurzivno: [tex]a_n=\frac{a_n+a_{n-1}}{2},\ a_0=0,\ a_1=1.[/tex]

Nešto nije u redu s ovom formulom... Confused

Imaš pravo... ma toliko se isfrustrirah nad tim popravnima da zaboravljam normalno pisati...

Uglavnom, [tex]a_{n+1}=\frac{a_n+a_{n-1}}{2},\ a_0=0,\ a_1=1.[/tex]

I već kad pišem, pitat ću i za ovu zbunjolu:
Popravni 2014., 4. zadatak: Znamo [dtex]lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+sinx}-\sqrt{1-sinx}}{f(x)}=1[/dtex] gdje [tex]f(x)[/tex] ide sa R\{0} u R.
Kako bi mi to točno trebalo pomoći da izračunam [dtex]\lim_{x \to 0}\frac{e^{e^{f(x)}-1}-1}{x}?[/dtex] (Ovaj put dobro prepisano.)

#9: Drugi kolokvij 2017. Autor/ica: krilo,

Postano: 11:46 pet, 10. 2. 2017
—
Zamolit ću neku anonimnu dobru dušu da mi provjeri zadatke iz ovogodišnjeg kolokvija (izgleda da ih znam riješiti, u to sam bila i uvjerena na kolokviju, pa opet idem na popravni Very sad

)...

[tex]\underline{Zadatak \ 4}[/tex]: Izračunajte limes:

[dtex]\lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{1-cos^2 \frac{1}{x}}(3^{1/x}-5^{-1/x}) }{log_2(1+x^{-2}+x^{-3})} [/dtex] (supstituiram (1/x) sa t, u drugoj zagradi dodajem +1-1, rastavljam razlomke: ) [dtex]
=\lim_{t \to 0}\sqrt{1-cos^2 t} \ (3^t-5^{-t}) \frac{1}{log_2(1+t^2+t^3)}
= \lim_{t \to 0}\frac {\sqrt{1-cos^2 t}}{\sqrt{t^2}}\ \cdot t \cdot \ ( \frac{3^t-1}{t} \cdot t + (-t)\frac{-5^{-t}+1}{-t} ) \cdot \frac{1}{log_2(1+t^2+t^3)} =[/dtex]
(izlučim t iz zagrade, te [tex]t^2[/tex] pomaknem u razlomak s logaritmom, pa ga okrenem na minus prvu; razdvojim limese i prva dva izračunam: )[dtex]
= \frac{1}{2} \ (ln3+ln5) \ \{ \lim_{t \to 0} \ \{ log_2(1+t^2+t^3) \}^{\frac{1}{t^2}} \ \} ^{-1}= \frac{1}{2}\ (ln3+ln5)\ \{ e^{ \lim_{t \to 0}\ (t^2+t^3)\frac{1}{t^2} } \} ^{-1} = \frac{1}{2e} \cdot (ln3+ln5)[/dtex]

[tex]\underline{Zadatak \ 3}[/tex]: Izračunati infimum i supremum skupa [dtex]S=\{ 3lnn-ln(m^2+2m+4n^3), \ m,n \in N \}.[/dtex]
(Trojku ispred prvog logaritma prebacim u eksponent, sve stavim u jedan logaritam, okrenem razlomak na minus prvu i taj minus stavim ispred logaritma: )[dtex]
S=-ln\ (\ \frac{1}{n}( \frac{m}{n} )^2+\frac{2}{n^2}( \frac{m}{n} )+4 ) [/dtex]
Sad promatram kvadratnu jednadžbu gdje je [tex]x=\frac{m}{n}.[/tex] Uzmem [tex](x_0,y_0)[/tex] za koordinate tjemena te parabole. Tada je [tex] y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}= ... =4-\frac{1}{n^3}, [/tex] a postiže se za [tex]x_0=\frac{-b}{2a}=...=\frac{-1}{n}.[/tex] Najmanja vrijednost [tex]y_0[/tex] je 3, za [tex]n=1,[/tex] a najveća limes tog izraza, tj. 4. S time da je [tex]-ln[/tex] padajuća funkcija, onda [tex]supS=-ln("inf(y_0)")=-ln3, [/tex] što se postiže za [tex]n=1[/tex]. Nisam sigurna je li i analogno tome [tex]infS=-ln("sup(y_0)")=-ln4.[/tex]

Molila bih, ako netko zna, da kaže postoji li na netu neka stranica koja bi provjeravala inf i sup ovakvih izraza s m i n. Unaprijed hvala Very Happy

#10: Autor/ica: coucou,

Postano: 22:31 sub, 11. 2. 2017
—
Vjerojatno ti to puno ne znaci, ali meni ovaj treci izgleda tocno. Nadam se da ce ti jos netko iskusniji odgovoriti do ponedjeljka. Very Happy

#11: Autor/ica: PilotGrip,

Postano: 14:48 ned, 12. 2. 2017
—
Također me zanimaju odgovori kao i @Krilo!
Smile

#12: Autor/ica: krilo,

Postano: 15:14 ned, 12. 2. 2017
—
Što se tiče ovog s unaprijed određenim limesom, kolega mi je objasnio da se izraz pod limesom racionalizacijom, uvrštavanjem nule i množenjem s x/x može dovesti do [tex]\lim_{x \to 0}\frac{x}{f(x)}=1, [/tex] pa se pomoću toga riješi zadnji podzadatak, ali za ovaj pod b fakat neam pojma Nuts

#13: Autor/ica: PilotGrip,

Postano: 19:56 ned, 12. 2. 2017
—
Za ovaj 4. Zadatak ovogodisnji, mislim da inf ne bi trebalo biti jer ispadne ln0... a tad nije definiran... tako su mi kolege govorile.

#14: Popravni 2017 Autor/ica: krilo,

Postano: 14:49 pon, 13. 2. 2017
—
Ekipa, kako vam je prošao popravni? Ja ću se pozvat na staru latinsku: dođoh, vidjeh, zbrljah Danas nije moj dan

Ne znam kome se da o tome, ali me živo zanima rješenje onog limesa. (Riješih ga ponovo:) [dtex]
\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{cos2x} \cdot e^{2x^2}-1}{ln(1+2x) \cdot ln(1+arcsinx)} [/dtex]
(racionalizacija brojnika, raspis jedinice u oblik [tex]cos^2x+sin^2x[/tex], izlučivanje, malo prčkanja po nazivniku: )[dtex]
= \lim_{x \to 0}\frac{cos^2x(e^{4x^2}-1)-sin^2x(e^{4x^2}+1)}{2x \cdot \frac{ln(1+2x)}{2x} \cdot \frac{ln(1+2arcsinx)}{2arcsinx} \cdot 2arcsinx \cdot (\sqrt{cos2x} \cdot e^{2x^2}+1) }
[/dtex] (supstituiram [tex]t=arcsinx, \ t \to 0[/tex], da se riješim arkus sinusa, a [tex]sint[/tex] koji trebam dodati dolje u nazivnik prvog razlomka pretvorim u x i prebacim u nazivnik drugoga: )[dtex]
= \lim_{x \to 0}\frac{1}{\frac{t}{sint}}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{cos^2x (e^{4x^2}-1)-sin^2x(e^{4x^2}+1)}{2x^2 (\sqrt{cos2x} \cdot e^{2x^2}+1)}
= \lim_{x \to 0} cos^2x \cdot 2 \cdot \frac{(e^{4x^2}-1)}{4x^2} \cdot \frac{1}{(\sqrt{cos2x} \cdot e^{2x^2}+1)} - (\frac{sinx}{x})^2 \cdot \frac{e^{4x^2}+1}{2} \cdot \frac{1}{(\sqrt{cos2x} \cdot e^{2x^2}+1)} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
[/dtex]

Ostalo je više-manje brljanje bilo; jel riješio možda neko onaj niz s n-tim korijenom iz onog produkta?

(Hvala alenandu na ispravku.)

Zadnja promjena: krilo; 17:47 pon, 13. 2. 2017; ukupno mijenjano 1 put.

#15: Autor/ica: alenand,

Postano: 16:59 pon, 13. 2. 2017
—
Bok, mislim da sam bio s vama, u trojci možda? Izgledala mi jako izgubljeno ekipa s analize Sad

Uglavnom, vidim da kužiš ideju kad imaš limes kad x→0.
Čini mi se kao da bi znala riješiti do kraja, samo što si eto, od nikuda makla onaj korijen!? iz brojnika. (Čini mi se kao da si pomnožila i brojnik i nazivnik s istim, ali gdje je to u nazivniku?). Uglavnom rješenje je 1/2 (potvrdio wolfram just in case).

Dopusti da malo komentiram općenito za inače - čim vidiš stvari kao [tex]\log(1+x),\sin(x), \arcsin(x), e^x-1[/tex] misliš o njima kao [tex]x[/tex]. Tako da odmah u nazivniku "vidiš" ln(1+2x)"="2x, ln(1+arcsin x)"="ln(1+x)"="x.
Da ne shvatiš krivo, TREBA provesti postupak točno tako kako jesi, ali ovo može olakšati uvelike. (Ustvari zašto to funkcionira je zato što uzmeš prvi član taylorovog reda oko 0.) Ima antiprimjera ofc npr [tex]\lim\limits_{x\to 0} \frac{sin(x)-x}{x^3}[/tex], gdje ti aproksimacija s prvim članom taylorovog reda nije dosta (treba uzeti [tex]x-\frac{x^3}{6}[/tex]), no to je rijeđe, a i skužiš. (Takvi su za L'Hospitala uglavnom pa se neće pojaviti.)

Dakle, onako "od oka", ja bih odmah rekao taj limes je
[dtex]\frac{\sqrt{\cos 2x}(1+2x^2+...)-1}{2x^2}=\frac{\sqrt{\cos 2x}-1+\sqrt{\cos 2x}(2x^2+...)}{2x^2}[/dtex]
(dakle, uzmeš članova razvoja koliko treba)

Gornji limes možes rastaviti na dva od kojih je jedan -1/2, a drugi 1.
Tako bi nekako to trebalo ispasti potpuna šablona. Samo da još napišem formalno ako nije sjelo, dakle nastavljajući od ovog tvog:
[dtex]\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{\cos 2x}\cdot e^{2x^2}-1}{2x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{\cos 2x}\cdot e^{2x^2}-\sqrt{\cos 2x}+\sqrt{\cos 2x}-1}{2x^2}=\lim_{x\to 0}\sqrt{cos 2x}\frac{e^{2x^2}-1}{2x^2}+\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{cos 2x}-1}{2x^2}=1+\lim_{x\to 0}\frac{cos 2x-1}{2x^2\cdot(\sqrt{cos 2x}+1)}=1/2[/dtex]

Dakle sva ideja je bila namjestiti da bude načisto "e^x-1", tj. ovdje u obliku [tex]e^{2x^2}-1[/tex]

#16: Autor/ica: krilo,

Postano: 17:37 pon, 13. 2. 2017
—
Eeee da hvala, tolko sam se okupirala ovim ostalim da sam zaboravila prepisati cijeli dio racionalizacije u nazivniku Embarassed

Prepravit ću to što prije. Lijepo ti to objasniš brucošu koji nema pojma što je Taylorov red (pa ni l'Hopital, a očito će saznati tek za godinu dana Shmrc...

), ali nema zamjerki. Smile

Analiza k'o analiza, šta može čovjek bit nego izgubljen. (Bijah u 001, pola se ljudi nije ni pojavilo, pa je zbunjenost bila na nešto nižem nivou Very Happy

)

Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.