#1: zadatak s popravnog Autor/ica: kovi, Postano: 20:50 pon, 13. 2. 2017 — moze li mi netko objasniti ovaj zadatak s popravnog od prosle godine
(b) Neka je Pc = {(x, y) ∈ RxR: y = x + c}. Dokažite da je skup P = {Pc : c ∈R}particija skupa RxR. Uputa: Provjerite po definiciji particije svojstva skupa P.
(c) Da li postoji relacija ρ na RxR takva da vrijedi R2/ρ = P? Ako da, precizno opišite relaciju ρ matematičkim simbolima.
#2: Autor/ica: goranm, Postano: 23:00 pon, 13. 2. 2017 — (b) Prvo moras pokazati da se svaki (x,y) iz RxR nalazi u nekome Pc. To je gotovo pa ocito: ako je [tex](x_0,y_0)[/tex] iz RxR, onda definiraj [tex]c_0=y_0-x_0[/tex]. Tada je [tex](x_0,y_0)[/tex] u [tex]Pc_0[/tex].
Zatim moras pokazati da ako je (x,y) u [tex]Pc_1[/tex], onda ne postoji [tex]c_2\neq c_1[/tex] td. je (x,y) u[tex] Pc_2[/tex]. Kada bi takav [tex]c_2[/tex] postojao, onda bi vrijedilo
[dtex]x+c_1 = y = x+c_2,[/dtex]
odnosno [tex]c_1=c_2[/tex], a sto je kontradikcija s pretpostavkom da je [tex]c_2\neq c_1[/tex].
(c) Pc je skup svih tocaka na pravcu y=x+c. Prema tome, definiraj relaciju [tex]\rho[/tex] na RxR td. je
[dtex](x_1,y_1) ~ \rho ~ (x_2,y_2) \iff y_1-x_1 = y_2-x_2.[/dtex]
Drugim rijecima, [tex](x_1,y_1) ~ \rho ~ (x_2,y_2)[/tex] ako, i samo ako se te dvije tocke nalaze na istom pravcu y=x+c, odnosno ako, i samo ako se te dvie tocke nalaze u istom skupu Pc, za neki [tex]c\in\mathbb R[/tex].
Da je [tex]\mathbb R^2/\rho = P[/tex] smo u principu vec dokazali. Neka je C neki element u [tex]\mathbb R^2/\rho[/tex]. Predstavnici te klase su svi parovi (x,y) td. je y-x=konstanta, koju mozemo nazvati c. Drugim rijecima, predstavnici klase C su svi parovi (x,y) koji su ujedno i tocke na pravcu y=x+c. Prema tome C je isto sto i Pc.
Kako za svaki [tex]c\in\mathbb R[/tex] mozemo naci (x,y) td. je y-x=c, onda za bilo koji Pc iz P postoji jedinstvena klasa C u [tex]\mathbb R^2/\rho[/tex] ciji su predstavnici sve tocke na pravcu y=x+c. Prethodna recenica ne znaci nista drugo nego da imamo bijekciju [tex]\mathbb R^2/\rho \to P[/tex], odnosno [tex]\mathbb R^2/\rho = P[/tex].
