Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu - Zadatak iz zbirke

through

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Teorija skupova

#1: Zadatak iz zbirke - pseudorešetka Autor/ica: Burberry,

Postano: 14:29 sub, 10. 6. 2017
—
Molim pomoć oko 135. i 136. zadatka iz zbirke (str. 43.)

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxtYXRobmFzdGF2YXxneDo3M2I1NGQ1MzQyOTBhNmY1

Puno hvala!

#2: Autor/ica: mdoko, Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

Postano: 17:23 sub, 10. 6. 2017
—
Možda da kažeš što ti nije jasno? Što si pokušao/la, pa nije išlo?

#3: Autor/ica: Burberry,

Postano: 17:06 ned, 11. 6. 2017
—
Nisam sigurna koje točno dvočlane podskupove mogu uzimati, tj. recimo u 135. a) mogu li gledati samo dvočlane podskupove u kojima x dijeli y ili bilo koje dvočlane podskupove. Poprilično mi je ovo zbunjujuće pa bih bila zahvalna na pomoći Smile

#4: Autor/ica: mdoko, Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

Postano: 23:48 ned, 11. 6. 2017
—

Burberry (napisa):

Nisam sigurna koje točno dvočlane podskupove mogu uzimati, tj. recimo u 135. a) mogu li gledati samo dvočlane podskupove u kojima x dijeli y ili bilo koje dvočlane podskupove.

Baci pogled na definiciju:

Definicija pseudorešetke (napisa):

Za parcijalno uredeni skup (X, <) kažemo da je pseudorešetka ako svaki dvočlani podskup od X ima supremum i infimum.

Prema tome, da bi dokazala da je neki parcijalno uređeni skup pseudorešetka, trebaš (kao što piše u definiciji), provjeriti da svaki dvočlani podskup ima supremum i infimum.

U terminima kako si ti postavila pitanje:

1. Da bi dokazala da nešto jeste rešetka, moraš (ne "možeš", nego moraš!) uzeti u obzir apsolutno sve dvočlane podskupove.

U konkretnom primjeru koji si navela, nije dovoljno promotriti samo podskupove u kojima x dijeli y.

2. Da bi dokazala da nešto nije rešetka, dovoljno je pronaći jedan primjer dvočlanog podskupa koji nema infimum ili nema supremum. U tu svrhu možeš iskoristiti bilo koji dvočlani podskup.

Da se ponovno vratimo na tvoj primjer, da, ovdje bi bilo dovljno naći jedan primjer u kojem x dijeli y, a skup {x,y} nema infimum ili nema supremum, no to je poprilično loša strategija. Naime, time sama sebi sužavaš prostor u kojem tražiš kontraprimjere.

Nadam se da je sad jasnije. Ako nije, reci šta nije jasno.

#5: Autor/ica: Burberry,

Postano: 11:20 pon, 12. 6. 2017
—
Hvala na uputama. Je li ovo točno? 135. a) pseudorešetka jer je sup dvočlanog skupa najmanji zajednički višekratnik, a inf je najveći zajednički djelitelj
b) ne znam
c) pseudorešetka jer je sup A, a inf prazan skup

136. pseudorešetka koja nije rešetka: poz. cijeli brojevi s uređajem < (jer je min=1, a max ne postoji)
konačna rešetka: djelitelji broja 60 (jer je min=1, a max=60)
Ne mogu se sjetiti nekog primjera beskonačne rešetke.

#6: Autor/ica: mdoko, Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

Postano: 16:54 pon, 12. 6. 2017
—

Burberry (napisa):

135. a) pseudorešetka jer je sup dvočlanog skupa najmanji zajednički višekratnik, a inf je najveći zajednički djelitelj

Točno.

Citat:

b) ne znam

Pogledaj npr. skup {(1,2), (3,4)}. Što bi morao zadovoljavati par (a, b) kad bi bio supremum tog skupa?

Citat:

c) pseudorešetka jer je sup A, a inf prazan skup

Ti tvrdiš da je za svaki dvočlani skup {X, Y} (pri čemu su X i Y podskupovi od A), supremum tog dvočlanog skupa (s obzirom na relaciju "biti podskup") jednak A, a infimum je prazan skup?

Šta ti se ne čini to mrvicu sumnjivo?

Evo npr., neka je [tex]A=\mathbb{N}[/tex]. Promotrimo ovaj dvočlani podskup od [tex]\mathcal{P}(\mathbb{N})[/tex]: [tex]S := \{\{2, 4, 6\}, \{2,4,8\}\}[/tex].

Ti kažeš da je [tex]\sup S = \mathbb{N}[/tex]. To je pogrešno jer je skup svih parnih brojeva također gornja međa skupa [tex]S[/tex], a radi se o očito manjoj gornjoj međi od [tex]\mathbb{N}[/tex]. (U parcijalno uređnom skupu [tex](\mathcal{P}(\mathbb{N}),\subset)[/tex] skup svih parnih brojeva je "manji" od skupa prirodnih brojeva jer vrijedi [tex]\{2n \mid n \in \mathbb{N}\} \subset \mathbb{N}[/tex].)

Što se tiče infimuma, ti tvrdiš da je [tex]\inf S = \emptyset[/tex], no zar nije očito da je npr. [tex]\{2\}[/tex] također donja međa od [tex]S[/tex] i da se radi o većoj donjoj međi od praznog skupa?

Citat:

136. pseudorešetka koja nije rešetka: poz. cijeli brojevi s uređajem < (jer je min=1, a max ne postoji)

Točno.

Citat:

konačna rešetka: djelitelji broja 60 (jer je min=1, a max=60)

Vjerojatno dobro misliš, ali bilo bi dobro da kažeš na koji uređaj ciljaš.

Citat:

Ne mogu se sjetiti nekog primjera beskonačne rešetke.

Pa, evo, recimo, na primjer [tex]([0,1], <)[/tex] (jedinični segment sa standardnim uređajem na realnim brojevima). U ovom primjeru očito vrijedi:

Svaki dvočlani odskup ima infimum: [tex](\forall x,y\in[0,1])\ \inf\{x,y\} = \min\{x,y\}[/tex]
Svaki dvočlani odskup ima supremum: [tex](\forall x,y\in[0,1])\ \sup\{x,y\} = \max\{x,y\}[/tex]
Postoji najmanji element: [tex]\min [0,1] = 0[/tex]
Postoji najveći element: [tex]\max [0,1] = 1[/tex].

Probaj sama smisliti još koji primjer.

Pitaj dalje ako još negdje zapneš.

#7: Autor/ica: Burberry,

Postano: 18:59 pon, 12. 6. 2017
—
135. b) Tu mi i nastaje problem, ne znam kako bih uopće odredila ni sup ni inf. Trebaju zadovoljavati navedenu relaciju, ali dalje ne znam.

c) Pretpostavljam da je pseudorešetka, no kako to raspisati?

136. Konačna rešetka: djelitelji broja 60; mislila sam na uređaj a<=b ako a dijeli b.

#8: Autor/ica: mdoko, Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

Postano: 22:30 pon, 12. 6. 2017
—

Burberry (napisa):

135. b) Tu mi i nastaje problem, ne znam kako bih uopće odredila ni sup ni inf. Trebaju zadovoljavati navedenu relaciju, ali dalje ne znam.

Ajde, molim te, ovdje u postu, raspiši što točno mora vrijediti da bi neki uređeni par (a, b) bio donja međa skupa {(1,2), (3,4)}.

Namjerno ti ne želim raspisati rješenje, jer je izuzetno bitno da se natjeraš da sama skontaš o čemu se radi.

Citat:

c) Pretpostavljam da je pseudorešetka, no kako to raspisati?

U pravu si. Partitivni skup uređen relacijom biti podskup je uvijek rešetka. Trebaš samo pronaći što su supremum i infimum.

U ovom konkretnom slučaju, za neka dva skupa X i Y tražiš najveći zajednički podskup (to je infimum) i najmanji zajednički nadskup (to je supremum). Hint: probaj s najjednostavnijim operacijama koje ti padnu na pamet. Wink

Citat:

136. Konačna rešetka: djelitelji broja 60; mislila sam na uređaj a⇐b ako a dijeli b.

To je dobro. Primijeti da funkcionira i ako uzmeš standardni uređaj na prirodnim brojevima. Wink

#9: Autor/ica: Burberry,

Postano: 22:57 pon, 12. 6. 2017
—
(a,b) je donja međa navedenog skupa ako vrijedi:

(a,b)R(1,2), tj. a=1 i b<=2
(a,b)R(3,4), tj. a=3 i b<=4

Dobili smo kontradikciju jer ne može biti a=1=3, odnosno našli smo dvočlani skup koji nema infimum, što znači da zadani skup nije pseudorešetka.
Je li ovo dobro?

#10: Autor/ica: mdoko, Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

Postano: 0:39 uto, 13. 6. 2017
—

Burberry (napisa):

(a,b) je donja međa navedenog skupa ako vrijedi:

(a,b)R(1,2), tj. a=1 i b⇐2
(a,b)R(3,4), tj. a=3 i b⇐4

Dobili smo kontradikciju jer ne može biti a=1=3, odnosno našli smo dvočlani skup koji nema infimum, što znači da zadani skup nije pseudorešetka.
Je li ovo dobro?

To je to.

#11: Autor/ica: Burberry,

Postano: 13:53 uto, 13. 6. 2017
—
Puno Vam hvala na pomoći. Very Happy

Forum@DeGiorgi -> Teorija skupova

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.