#1: Zadaci s 2 kolokvija iz 2016./2017. Autor/ica: Juraj Siftar, Postano: 14:44 sri, 7. 2. 2018 — U svrhu pripreme za kolokvij (12. veljače) evo
lanjskih zadataka.
Napominjem da bi prva tri zadatka bila sasvim
prikladna i za ovaj predstojeći kolokvij, a
4. zadatak ne bi bio sad uključen, s obzirom
da ta tema nije bila detaljnije obrađena na
predavanjima (prameni konika).
Rješenja i komentare za ovaj (lanjski) kolokvij
možete lako naći na forumu (veljača 2017.)
Najkasnije u petak objavit ću i jedan
"probni kolokvij", također kao dodatak za pripremu
za ponedjeljak.
2. KOLOKVIJ
1. (a) Pretpostavimo da projektivitet φ na realnom projektivnom
pravcu neke tri točke A, B, C preslikava redom u B, C, A.
Odredite tip φ s obzirom na fiksne točke (eliptički, parabolički, hiperbolički).
Vrijedi li za bilo koju točku X pravca,
ako X nije fiksna za φ, da je φ^3(X) = X?
(b) Postoji li projektivitet ω realnog projektivnog pravca i točke
A, B, C, D tako da ω preslikava A, B, C, D redom u B, C, D, A?
2. Dokažite teorem (poznat s predavanja): Svaka centralna
kolineacija (bilo koje) projektivne ravnine ujedno je i
osna kolineacija.
3. U proširenoj euklidskoj ravnini zadano je pet točaka A1,…,A5,
pri čemu su prve četiri vrhovi kvadrata, a A5 se nalazi na
simetrali stranice A1A2 i to udaljena od te stranice trostruko
više nego od suprotne stranice A3A4 .
(a) Konstruirajte (samo pomoću ravnala) tangente na
koniku određenu zadanim točkama, u točki A1 i u točki A5 .
Obrazložite konstrukcije.
(b) Odredite jednadžbu konike zadane točkama A1,…,A5
(u po volji odabranom projektivnom koordinatnom sustavu).
Interpretirajte u afinoj geometriji.
4. Sljedeća tvrdnja poznata je u euklidskoj planimetriji kao
“Teorem o leptiru”:
Neka su dužine AB, CD i PQ tri tetive kružnice, takve da se
AB i CD sijeku u polovištu M tetive PQ. Nadalje, neka su S i T
sjecišta dužina AD i BC s tetivom PQ.
Tada je točka M polovište dužine ST.
Iskažite tvrdnju projektivne geometrije koja je poopćenje
(što je općenitije moguće) ovog teorema.
Dokažite tu tvrdnju.
(Uputa: Bitna je formulacija poopćenja, a onda se uoči prikladni
pramen konika i primijeni Desarguesov teorem o involuciji.
Dokaz analitičkom metodom posve je izvediv, dakako,
ali vjerojatno neprikladan za raspoloživo vrijeme pisanja).
