1. (a) Na pravcu su zadane točke A, B, C i D. Konstruirajte točku
pridruženu točki D u projektivitetu koji A, B i C preslikava
redom u A, C, B.
Ispitajte ima li taj projektivitet još jednu fiksnu točku osim A.
Ako ima, konstruirajte tu točku.
(b) Postoji li kolineacija (projektivna transformacija) ravnine
PG (2, R) koja na svim pravcima jednog pramena inducira
projektivitete tipa zadanog u (a)?
Ako postoji, zadajte takvu kolineaciju koordinatno.
2. Zadajte po volji koordinatno točke X, Y, Z na jednom pravcu i
X', Y', Z' na drugom pravcu (sve različite od sjecišta pravaca, točke S),
pri čemu spojnice XX', YY' i ZZ' nisu konkurentni pravci.
Neka je ω projektivitet koji X, Y, Z preslikava redom u X', Y', Z' .
Odredite koordinate točaka ω(S) i ω^-1(S).
3. Zadan je trostran abc, točka A na pravcu a koja nije vrh
i točka B na pravcu b koja nije vrh trostrana. Trostran je opisan
jednoj konici, a A i B su dirališta.
Konstruirajte diralište pravca c s konikom. Konstruirajte još neku
točku ili neku tangentu te konike, različitu od prethodnih.
4. Zadan je polaritet φ realne projektivne ravnine. Neka su P, Q i R
tri nekolinearne točke koje nisu incidentne sa svojim polarama
(tj. trovrh PQR nije autopolaran za φ). Dokažite da su tada
trovrh PQR i trovrh određen polarama točaka P, Q, R perspektivni.
5. Ako konika C prolazi vrhovima P, Q, R i S četverovrha (po 3 nisu
kolinearna), neka je C’ njezina slika pod djelovanjem projektivne
transformacije ravnine zadane tako da se P, Q, R i S redom (ciklički)
preslikavaju u Q, R, S i P. Može li se neka takva nesingularna konika
C podudarati sa C’ ?
