#1: 2. test - rješenje 2. zadatka Autor/ica: Juraj Siftar, Postano: 2:52 sri, 26. 12. 2018 — 2. zadatak
Linearni operator B: M2(R) → M2(R) zadan je u obliku
B(X) = a X + b X^t , pri čemu su
a i b neki određeni skalari, npr. a = 2, b= -3/2.
Ovaj zadatak sličan je zadatku 5.(a) iz 7. zadaće, a također je povezan sa
zadatkom 1.(c) iz 6. zadaće.
Za simetričnu matricu X onda vrijedi B(X) = (a+b)X,
a za antisimetričnu X vrijedi B(X) = (a-b)X.
a i b u svim varijantama zadani su tako da su a+b i a-b oba različiti od 0
pa B djeluje na simetrične matrice tako da ih pomnoži
skalarom različitim od 0 čime se potprostor simetričnih
matrica bijektivno preslikava sam na sebe
(i analogno za potprostor antisimetričnih matrica).
U navedenom primjeru B(X) = ½ X za simetrične,
a B(X) = 7/2 X za antisimetrične matrice.
Praslike tih potprostora su opet ti isti potprostori. U nekim varijantama
pitalo se za sliku ili prasliku potprostora dijagonalnih matrica,
a to je posebni tip simetričnih matrica. One čine 2-dim. potprostor
pa ih množenje skalarom (različitim od 0 ) također preslikava same u sebe.
Kako je M2(R) jednak direktnoj sumi potprostora simetričnih (dim. 3) i antisimetričnih (dim. 1)
matrica, očito B bijektivno preslikava M2(R) → M2(R).
Rang B je 4, defekt je 0.
Naravno, sve se ovo moglo izvesti i raspisivanjem matrica pomoću pojedinih koeficijenata i
prikazom u bazi (što su svi radili i korektno je samo po sebi),
ali je lakše odmah uvrstiti X = X^t , odnosno X = - X^t .
Čak nije ni potrebno služiti se bazama, ako se pozove na
poznate činjenice o navedenim tipovima matrica.
Kao jedan od neočekivanih problema u rješavanju pokazalo se to da su
mnogi zaboravili (?) što je to antisimetrična matrica i što je dijagonalna matrica.
Takve stvari morale bi se znati iz LA 1.
U računanju i zaključivanju bilo je puno suvišnih komplikacija, a gotovo
nitko nije prepoznao da se simetrične, antisimetrične i dijagonalne
matrice jednostavno preslikavaju, redom, u (sve) simetrične, antisimetrične i dijagonalne matrice.
Uz nešto predznanja osnovnih pojmova iz LA 1 i malo razumijevanja,
rješenje zadatka je jako kratko, a računanje minimalno.
