#1: Zadaci s 2. kolokvija, 13.2.2023. Autor/ica: Juraj Siftar, Postano: 20:41 pon, 17. 7. 2023 — Zadaci s 2. kolokvija, 13. veljače 2023.
1. Na stranicama trovrha ABC zadane su točke D na BC, E na CA i F na AB,
različite od vrhova.
Za varijabilnu točku P1 pravca BC definirane su redom točke
P2 = P1 F x CA, P3 = P2 D x AB, P4 = P3 E x BC, P5 = P4 F x CA,
P6 = P5 D x AB i P7 = P6 E x BC. Dokažite da je P7 = P1.
2. Neka su u involutornom projektivitetu na pravcu međusobno pridruženi parovi
točaka A i A', B i B', C i C', pri čemu je to 6 različitih točaka. Dokažite da je za bilo
koju točku T tog pravca, različitu od navedenih šest, umnožak dvoomjera
R(BC, A'T) R (CA, B'T) R(AB, C'T) konstantan, tj. ne ovisi o izboru točke T
ni o konkretnom izboru involucije.
Vrijedi li slična tvrdnja za umnožak R(AA', C'B') R(BB', A'C') R(CC', B'A') ?
3. Zadano je 5 točaka u projektivnoj ravnini, A, B, C, D i E, tako da po tri nisu kolinearne.
Je li moguće konstruirati šestu točku F tako da svih šest točaka pripadaju jednoj konici
(krivulji 2. reda) i da pritom trovrsi ABC i DEF budu perspektivni, u navedenom redoslijedu točaka?
Konstruirajte efektivno, ako je moguće.
4. Napišite jednadžbu konike koja dodiruje (tangira) pravac
x1 – x2 = 0 u točki (5,2,2) te prolazi točkama (0,1,0), (1,2,1) i (-2,5,3).
Ako se pravac x0 = 0 uzme kao pravac čijim se uklanjanjem dobiva
afina ravnina, kakvog je afinog tipa ta konika (elipsa, parabola, hiperbola) ?
5. Zadana je konika i točka P koja ne pripada toj konici te pravac točkom P
koji siječe koniku u različitim točkama S1 i S2.
Neka je Q točka tog pravca koja pripada polari točke P s obzirom
na koniku. Dokažite da vrijedi: H(PQ, S1 S2).
