Svaka konveksna funkcija je neprekidna
Select messages from
 # through # FAQ
[/[Print]\]
Idite na 1, 2  Sljedeće  :| |:
Forum@DeGiorgi -> Metrički prostori
#1: Svaka konveksna funkcija je neprekidna Autor/ica: Void,  PostPostano: 17:42 pet, 22. 10. 2004
    —
Imam problema s jednim zadatkom, molio bih za pomoc, cijenim bilo kakvu natuknicu ili smjernice, te ideju dokaza...

f je konveksna funkcija ako vrijedi:


Tvrdnja: Svaka konveksna funkcija je neprekidna

Moja ideja je bila ovakva:
Fiksiram proizvoljne a, b iz R, te c iz <a, b>. Promatram neprekidnost u c.
Za x iz <a,b> gledam slucajeve:
1) x < c
2) x > c
3) x = c

Slucaj 3) je trivijalan... dovoljno je dokazati slucaj 1), slucaj 2) je analogan.

Slucaj 1):
Za x postoji jedinstveni t.d. je

Lako se pokaze da ako vrijedi tada je i

Sada slijedi da je:



Ako je tada je
Sada se lako namjesti delta tako da ovdje dobijemo epsilon...

Imam problema s drugim slucajem, kada je . Ne mogu dobiti ovako jednostavnu nejednakost iz koje mogu lako dokazati neprekidnost fje f.

Moze se i BSO pretpostaviti da je fja rastuca na <a,c> jer ako konveksna fja ima lokalni minimum u nekoj tocki, ona u toj tocki ima globalni minimum.

Ima li netko nekakvu ideju?
#2: Re: Svaka konveksna funkcija je neprekidna Autor/ica: veky, Lokacija: negdje daleko... PostPostano: 12:21 sub, 23. 10. 2004
    —
Void (napisa):
Imam problema s jednim zadatkom, molio bih za pomoc, cijenim bilo kakvu natuknicu ili smjernice, te ideju dokaza...

f je konveksna funkcija ako vrijedi:


Tvrdnja: Svaka konveksna funkcija je neprekidna.


Evo ti ideja:
Uzmi proizvoljnu točku c i dokazuj neprekidnost u c .
Sa svake strane od c moguce je da se dogode dvije stvari:
1) postoji poluokolina (s te strane) od c , takva da je na cijeloj toj poluokolini <c-delta,c> ili <c,c+delta> , f uvijek veca ili jednaka f(c) .
2) postoji niz tocaka koji tezi prema c (s te strane), takav da je u svim tim tockama f manji od f(c) .

Prvo, dokazi da su to sve alternative.
Drugo, to znaci da imas 4 slucaja: slijeva i zdesna mogu biti 11,12,21,22 .
Trece, dokazi da s one strane s koje imas svojstvo 1 , s te strane je funkcija neprekidna u c (slicno ovom sto si ti napravio, za lijevu stranu. Za desnu uvedi supstituciju mi:=1-lambda ). Time je pokriven slucaj 11 , i po polovica slucajeva 12 i 21 . Za drugu polovicu tih slucajeva se trebas malo potruditi (hint: iskoristi neprekidnost s one druge strane), a slucaj 22 je trivijalno kontradiktoran s konveksnoscu (hint: dovoljna ti je samo jedna tocka sa svake strane za kontradikciju).

Ako negdje zapne, javi.
Ako raspises dokaz do kraja, postaj ga ovdje. Mozes ti to... ako si FUI uspio raspisati... ;- ))
#3:  Autor/ica: Void,  PostPostano: 14:37 sub, 23. 10. 2004
    —
Puno hvala, Veky... bacam se na posao.
Kad raspisem sve, postat cu dokaz ovdje.
#4:  Autor/ica: vjekovac,  PostPostano: 17:48 sub, 23. 10. 2004
    —
Void (napisa):
Svaka konveksna funkcija je neprekidna.


To vrijedi uz pretpostavku da je konveksna funkcija definirana na otvorenom konveksnom podskupu od R^n (u jednoj dimenziji to znači na otvorenom intervalu).
Naime, funkcija
f:[0,1]→R, f(0)=f(1)=1, f(x)=0 za sve x iz <0,1>
je također konveksna, ali nije neprekidna. Shocked

Inače, za konveksne funkcije na otvorenom intervalu (dakle u jednoj dimenziji) neprekidnost slijedi iz teorema (Kurepina knjiga, MA2) koji kaže da konveksna funkcija na otvorenom intervalu čak ima lijevu i desnu derivaciju u svakoj točki. Specijalno je neprekidna (i slijeva i zdesna) u svakoj točki intervala.

Istina da tamo (barem u starom izdanju iz 1987.) stoji još i pretpostavka o neprekidnosti, ali je ona u dokazu nepotrebna, tj. ne koristi se. Ne možemo zamjeriti autoru - to je sve iz metodičkih razloga. Very Happy
#5:  Autor/ica: vjekovac,  PostPostano: 17:53 sub, 23. 10. 2004
    —
Ustvari, u knjizi prof. Kurepe se konveksna funkcija drukčije definira - zahtijeva se da vrijedi gornja (=Jensenova) nejednakost samo za , a tek za neprekidne funkcije je njegova definicija ekvivalentna gornjoj (uobičajenoj). Odatle ta "neekonomičnost" u iskazu.
#6:  Autor/ica: veky, Lokacija: negdje daleko... PostPostano: 18:23 sub, 23. 10. 2004
    —
vjekovac (napisa):
Void (napisa):
Svaka konveksna funkcija je neprekidna.


To vrijedi uz pretpostavku da je konveksna funkcija definirana na otvorenom konveksnom podskupu od R^n (u jednoj dimenziji to znači na otvorenom intervalu).
Naime, funkcija
f:[0,1]→R, f(0)=f(1)=1, f(x)=0 za sve x iz <0,1>
je također konveksna, ali nije neprekidna. Shocked


Općenito, da. No iz originalnog posta se vidi da njemu "konveksna funkcija" implicitno znači "definirana na cijelom |R " - pogledaj kvantifikatore. Wink
#7:  Autor/ica: Void,  PostPostano: 19:23 sub, 23. 10. 2004
    —
Istina, malo sam se neprecizno izrazio... naravno, rijec je u funkcijama definiranim na cijelom |R...
#8:  Autor/ica: nenad,  PostPostano: 12:12 ned, 24. 10. 2004
    —
Citat:
... naravno, rijec je u funkcijama definiranim na cijelom |R...

I koje poprimaju vrijednosti u R, a ne u [-\infty,\infty], kako je to uobičajenije u konveksnoj analizi Smile

- Nenad.
#9:  Autor/ica: krcko,  PostPostano: 22:09 ned, 24. 10. 2004
    —
vjekovac (napisa):
Ustvari, u knjizi prof. Kurepe se konveksna funkcija drukčije definira - zahtijeva se da vrijedi gornja (=Jensenova) nejednakost samo za , a tek za neprekidne funkcije je njegova definicija ekvivalentna gornjoj (uobičajenoj). Odatle ta "neekonomičnost" u iskazu.


Zna li netko primjer funkcije koja je midpoint konveksna (), ali nije konveksna (ili ekvivalentno, ima prekid u unutrasnjosti domene)? Nikako ne uspjevam naci primjer, a cini mi se da midpoint konveksnost i konveksnost ipak nisu ekvivalentni pojmovi.
#10:  Autor/ica: veky, Lokacija: negdje daleko... PostPostano: 10:18 pon, 25. 10. 2004
    —
krcko (napisa):

Zna li netko primjer funkcije koja je midpoint konveksna (), ali nije konveksna (ili ekvivalentno, ima prekid u unutrasnjosti domene)? Nikako ne uspjevam naci primjer, a cini mi se da midpoint konveksnost i konveksnost ipak nisu ekvivalentni pojmovi.


Trazis na krivom mjestu. Wink
Takva funkcija nije konstruktibilna. No ako imas Hamelovu bazu, tad je relativno jednostavno. Smile
–SPOILER–
Pogledaj www.math.uu.se/~kiselman/pluri0.ps . Ctrl+F,"Hamel". Cool
#11:  Autor/ica: krcko,  PostPostano: 11:21 pon, 25. 10. 2004
    —
Hvala veky! Dobro da nisam dao zadatak na pismenom "Nadjite primjer..." Wink
#12:  Autor/ica: veky, Lokacija: negdje daleko... PostPostano: 11:56 pon, 25. 10. 2004
    —
krcko (napisa):
Hvala veky! Dobro da nisam dao zadatak na pismenom "Nadjite primjer..." Wink


Pa na tom linku je primjer. Wink Samo sto nije konstruktivan. Smile
#13:  Autor/ica: vjekovac,  PostPostano: 19:35 pon, 25. 10. 2004
    —
veky (napisa):
Trazis na krivom mjestu. Wink

Pa čini se da je ipak bilo pravo mjesto... Laughing

Konveksnih funkcija R→R ima c.
Midpoint-konveksnih funkcija R→R ima 2^c, što je >c.
(Naravno, u dokazu ovog posljednjeg se koristi AC: svi Q-linearni operatori R→R su takvi, a R nad Q ima dimenziju c.)

krcko (napisa):
Zna li netko primjer funkcije koja je midpoint konveksna, ali nije konveksna

veky (napisa):
Takva funkcija nije konstruktibilna.

Da li ti to ovdje znači naprosto: ne može se dokazati egzistencija takve funkcije u ZF\AC (ili ti je konstruktibilnost ipak nešto "finije")?
Meni je to isto nekako "jasno", ali jel' imaš možda dokaz od toga? (Zanimalo bi me... Ne baš sam dokaz, nego da li dokaz postoji.) Wink
#14:  Autor/ica: veky, Lokacija: negdje daleko... PostPostano: 21:39 pon, 25. 10. 2004
    —
vjekovac (napisa):
veky (napisa):
Trazis na krivom mjestu. Wink

Pa čini se da je ipak bilo pravo mjesto... Laughing

Konveksnih funkcija R→R ima c.
Midpoint-konveksnih funkcija R→R ima 2^c, što je >c.
(Naravno, u dokazu ovog posljednjeg se koristi AC: svi Q-linearni operatori R→R su takvi, a R nad Q ima dimenziju c.)


Da, može i to... samo to je najslabiji rezultat - koristi AC, i još ne dade primjer, već samo egzistenciju. Smile

Citat:
krcko (napisa):
Zna li netko primjer funkcije koja je midpoint konveksna, ali nije konveksna

veky (napisa):
Takva funkcija nije konstruktibilna.

Da li ti to ovdje znači naprosto: ne može se dokazati egzistencija takve funkcije u ZF\AC (ili ti je konstruktibilnost ipak nešto "finije")?


Malo je finije. No da, glavna stvar je u tome da se bez AC ne može doći do nje.

Citat:
Meni je to isto nekako "jasno", ali jel' imaš možda dokaz od toga? (Zanimalo bi me... Ne baš sam dokaz, nego da li dokaz postoji.) Wink


Hm. Imam dokaz da za Hamelovu bazu bitno treba AC (sa ZF je konzistentno da nema Hamelove baze). No nemam dokaz da za ovo gore treba Hamelova baza... to mi je "nekako jasno", što bi ti rekao. Smile
#15:  Autor/ica: krcko,  PostPostano: 22:10 pon, 25. 10. 2004
    —
veky (napisa):
krcko (napisa):
Hvala veky! Dobro da nisam dao zadatak na pismenom "Nadjite primjer..." Wink


Pa na tom linku je primjer. Wink Samo sto nije konstruktivan. Smile


I nije bas za dat na pismenom iz KA (to htjedoh rec).

vjekovac (napisa):
Konveksnih funkcija R->R ima c.


Kak se to dokaze? Eh?
#16:  Autor/ica: veky, Lokacija: negdje daleko... PostPostano: 22:24 pon, 25. 10. 2004
    —
krcko (napisa):
vjekovac (napisa):
Konveksnih funkcija R→R ima c.


Kak se to dokaze? Eh?


Sad ti je rekao - neprekidne su. Smile
Neprekidnih ima c .
(Dakle, ima ih ⇐ od c . No ima ih i >=c , jer su sve npr. x|→ax^2 , a@|R^+ , konveksne.)

Zašto neprekidnih ima c ?
–SPOILER–
Neprekidna funkcija na |R je zadana svojim djelovanjem na |Q .

Funkcijâ s |Q u |R ima c^alef0=2^alef0^2=c .
#17:  Autor/ica: krcko,  PostPostano: 22:27 pon, 25. 10. 2004
    —
Silly me silly + roll Ne znam hoces li vjerovat, palo mi je na pamet 2 min nakon postanja, ali nisam htio editirat jer sam pretpostavljao da ces biti brzi Laughing
#18:  Autor/ica: veky, Lokacija: negdje daleko... PostPostano: 15:14 uto, 26. 10. 2004
    —
krcko (napisa):
Silly me silly + roll Ne znam hoces li vjerovat, palo mi je na pamet 2 min nakon postanja, ali nisam htio editirat jer sam pretpostavljao da ces biti brzi Laughing


Ma vjerujem... poznat mi je taj fenomen. (Hi Zeleni!; )
Meni je palo na pamet da je tebi palo na pamet, ali rekoh, nek ostane zbog "bebištrumfova" kao što ih ti voliš zvati. Smile

PS. Pogledaj nam brojeve postova. Wink
#19:  Autor/ica: vsego, Lokacija: /sbin/init PostPostano: 15:25 uto, 26. 10. 2004
    —
Off-topic

veky (napisa):
PS. Pogledaj nam brojeve postova. Wink


@Krcko: tvoj je bio 1110, a Vekyjev 1010. Cool

To mi je dalo ideju, pa sam se malo "poigrao"... Mr. Green
#20: KONVEKSNE FUNKCIJE Autor/ica: kmataija,  PostPostano: 14:34 pet, 7. 10. 2011
    —
JEL MOZE NETKO NAPISAT CIJELI DOKAZ TEOREMA DA JE KONVEKSNA FUNKCIJA NEPREKIDNA???
Forum@DeGiorgi -> Metrički prostori


output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Idite na 1, 2  Sljedeće  :| |:
Stranica 1 / 2.

Powered by phpBB © 2001,2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin