Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu - par pitanja iz usmenog

through

[^/[Print]\]
Idite na 1, 2, 3, 4, 5, 6 Sljedeće :| |:
Forum@DeGiorgi -> (Elementarna) teorija brojeva

#1: par pitanja iz usmenog Autor/ica: Gost,

Postano: 11:05 ned, 2. 4. 2006
—
tm. 2.16 henselova lema
f(a+tp^j) razvijemo Taylorov polinom i sad kaže da se
f(a+tp^j)==f(a)+tp^j*f'(a)(mod p^(j+1)) dobije iz tog razvoja. kak??

tm 7.3 pitagorine trojke
u dokazu-> ... z=a+b, x=a-b zaključujemo da je (a,b)=1 po čemu se to vidi?

möbiusova inverzija :kad se raspisuje dokaz, zašto je zadnja suma jednaka f(n)?

mala pomoć. hvala Smile

#2: Re: par pitanja iz usmenog Autor/ica: duje,

Postano: 11:25 ned, 2. 4. 2006
—

Citat:

tm. 2.16 henselova lema
f(a+tp^j) razvijemo Taylorov polinom i sad kaže da se
f(a+tp^j)==f(a)+tp^j*f'(a)(mod p^(j+1)) dobije iz tog razvoja. kak??

f(a)+tp^j*f'(a) su prva dva clana u razvoju. Ostali clanovi su djeljivi sa
p^(2j), a jer je 2j >= j+1, djeljivi su i sa p^(j+1). Dakle, ti clanovi su
== 0 (mod p^(j+1)).

Citat:

tm 7.3 pitagorine trojke
u dokazu→ ... z=a+b, x=a-b zaključujemo da je (a,b)=1 po čemu se to vidi?

Pretpostavka je da je trojka primitivna, sto znaci da su x i z relativno prosti. Kad bi a i b imali neki zajednicki faktor (> 1), onda bi taj faktor dijelio i njihov zboj (sto je z) i njihovu razliku (sto je x), pa x i z ne bi bili relativno prosti. Zato je (a,b)=1.

Citat:

möbiusova inverzija :kad se raspisuje dokaz, zašto je zadnja suma jednaka f(n)?

Po svojstvu funkcije v (tj. ni) (dokazano prije Primjera 5.1), v(n)=0 za n>1, v(1)=1. Tako da su u toj zadnjoj sumi svi pribrojnici jednaki 0, osim pribrojnika u kojem se javlja v(1). A to je pribrojnik koji se dobije za d'=n, tj. pribrojnik f(n)*v(1)=f(n).

#3: Autor/ica: Gost,

Postano: 12:36 ned, 2. 4. 2006
—
e a kod te mobiusove, one sume:
sum_ mi(d)[po d|n] prelazi u sum_mi(d)[po d| n/d'] ??zašto?
jasno mi je da ona druga suma ka onako prelazi jer ako d'|n/d onda sigurno i d'|n

#4: Autor/ica: duje,

Postano: 14:17 ned, 2. 4. 2006
—

Citat:

e a kod te mobiusove, one sume:
sum_ mi(d)[po d|n] prelazi u sum_mi(d)[po d| n/d'] ??zašto?

Ovako kako pise u pitanju i jest malo cudno.
No, i jednu i drugu sumu treba gledati kao dvostruku sumu, tj. sumu po dva parametra: d i d'. Dakle, u stvari se sumira po svim po svim parovima (d,d') za koje vrijedi da d*d' dijeli n. I sad se ta dvostruka suma prikaze na dva nacina:
1. nacin: fiksira se d (takav da d|n), pa se onda odredi uvjet na d' (a to je da d' | n/d);
2. nacin: fiksira se d' (takav da d'|n), pa se onda odredi uvjet na d (a to je da d | n/d').
Tako se dobije jednakost onih dvaju suma iz pitanja.

#5: Autor/ica: e_caduc,

Postano: 13:02 pon, 3. 4. 2006
—
Jos par pitanja, pa ako se nekom da... Smile

- primitivni korijeni modulo p; sto tocno znaci da svaki od brojeva 1, 2, ..., p-1 pripada modulo p nekom eksponentu od d, koji je djelitelj od p-1=fi(p)?

- teorem 3.1.; kako znamo da je svaki kvadratni ostarak modulo p kongruentan kvadratu nekog od brojeva -(p-1)/2, ..., -1, 1, ..., (p-1)/2?

- u dokazu teorema o cetiri kvadrata, zasto je n==0(mod l)?

- korolar 6.2; pise da 'teorem 6.1 ocito vrijedi ako zahtijevamo da su p i q relativno prosti'. kako znamo da postoje takvi relativno prosti p i q?

hvala puno!

#6: Autor/ica: duje,

Postano: 13:46 pon, 3. 4. 2006
—

e_caduc (napisa):

- primitivni korijeni modulo p; sto tocno znaci da svaki od brojeva 1, 2, ..., p-1 pripada modulo p nekom eksponentu od d, koji je djelitelj od p-1=fi(p)?

Po Propoziciji 2.8 red d dijeli fi(p).

e_caduc (napisa):

- teorem 3.1.; kako znamo da je svaki kvadratni ostarak modulo p kongruentan kvadratu nekog od brojeva -(p-1)/2, ..., -1, 1, ..., (p-1)/2?

Po definiciji je kvadratni ostatak kongruentan kvadratu nekog broja relativno prostog s p, pa je kongruentan kvadratu nekog broja iz (bilo kojeg) reduciranog sustava ostataka modulo p. A ono gore je jedan takav sustav.

e_caduc (napisa):

- u dokazu teorema o cetiri kvadrata, zasto je n==0(mod l)?

Imamo: x==x' (mod l), y==y' (mod l), z==z' (mod l), w==w' (mod l),
pa je n==x^2+y^2+z^2+w^2 = lp == 0 (mod l).

e_caduc (napisa):

- korolar 6.2; pise da 'teorem 6.1 ocito vrijedi ako zahtijevamo da su p i q relativno prosti'. kako znamo da postoje takvi relativno prosti p i q?

Znamo da postoje nekakvi p i q sa svojstvom iz Teorema 6.1. Ako ti p i q nisu relativno prosti, onda ih podijelimo s njihovim najvecim zajednicjim djeliteljem. Tako cemo dobiti brojeve p' i q' koji jesu relativno prosti i koji imaju svojstvo iz Teorema 6.1 (ovo zadnje se (nadam se) lako vidi).

#7: Autor/ica: e_caduc,

Postano: 19:27 pon, 3. 4. 2006
—
Hvala jos jednom! Smile

I ako moze jos jedno pitanje.. Smile

U kineskom teoremu o ostacima, ako je x rjesenje sustava, zasto je svako drugo rjesenje y, x==y(mod m)?

#8: Autor/ica: duje,

Postano: 19:38 pon, 3. 4. 2006
—

e_caduc (napisa):

U kineskom teoremu o ostacima, ako je x rjesenje sustava, zasto je svako drugo rjesenje y, x==y(mod m)?

Vrijedi x == y (mod m_i) za i=1,2,..,r. To znaci da je y-x djeljivo sa m_1,m_2,...,m_r, pa je djeljivo i sa njihovim najmanjim zajednickim visekratnikom. No, brojevi m_1,m_2,...,m_r su u parovima relativno prosti, pa im je NZV jednak m_1*m_2*...*m_r = m. Dakle, y-x je djeljivo sa m, a to znaci da je x == y (mod m).

#9: Autor/ica: e_caduc,

Postano: 19:40 pon, 3. 4. 2006
—
Naljepse hvala! Smile

#10: Autor/ica: Gost,

Postano: 18:33 sri, 3. 5. 2006
—
Moze li netko objasnit nesto kod dokaza Kineskog tm?
Radi se o ovome:
Definirali smo m=m1*....mr te nj=m/mj
Tada je (mj,nj)=1 to je jasno e zasto sad ovo::postoji cijeli broj xj td. nj*xj==aj(mod mj)??
Jel tu koristimo tm.2.6 koji govori o potpunom sustavu ostataka modulo m,koji mi isto tako malo klimav Sad

Hvala!!

#11: Autor/ica: duje,

Postano: 21:14 sri, 3. 5. 2006
—

Citat:

Tada je (mj,nj)=1 to je jasno e zasto sad ovo::postoji cijeli broj xj td. nj*xj==aj(mod mj)??

Po Teoremu 2.6, kongruencija nj*x==aj (mod mj) ima jedinstveno rjesenje. I to je taj xj. (Ili se moze pozvati na Tm. 2.5. i dobiti isti zakljucak.)

#12: Autor/ica: menschen,

Postano: 1:09 sri, 14. 2. 2007
—
Imam i ja par nejasnoća ako može... Smile

Kad dokazujemo da je fi multiplikativna funkcija, kako iz tvrdnje da an+bm prolaze reduciranim sustavom ostataka modulo mn slijedi da je fi(m)*fi(n)=fi(mn)?

U dokazu Wilsonovog Teorema smo grupirali brojeve {2,3,...,p-2} u parove (i,j) takve da je i*j==1 (mod p). Zašto to možemo?

Kad dokazujemo da za prosti broj p postoji fi(p) primitivnoh korjena modulo p, označili smo sa psi(d) broj brojeva u nizu 1,2,...,p-1 koji pripadaju nekom eksponentu d, i suma po djeliteljima d od p-1, od psi(d) je jednaka p-1. Kak to i zašto, i zašto točno iz psi(d)=fi(d) slijedi da postoji fi(p-1) primitivnih korjena? Nekak mi nije baš uopće jasan taj dokaz... Embarassed

#13: Autor/ica: duje,

Postano: 7:33 sri, 14. 2. 2007
—

menschen (napisa):

Kad dokazujemo da je fi multiplikativna funkcija, kako iz tvrdnje da an+bm prolaze reduciranim sustavom ostataka modulo mn
slijedi da je fi(m)*fi(n)=fi(mn)?

Brojeva oblika an+bm ima koliko i uređenih parova (a,b), a to je fi(m)*fi(n).
S druge strane, u reduciranom sustavu ostataka modulo mn ima fi(mn) brojeva.

menschen (napisa):

U dokazu Wilsonovog Teorema smo grupirali brojeve {2,3,...,p-2} u parove (i,j) takve da je i*j==1 (mod p). Zašto to možemo?

Broj i je relativno prost s modulom p, pa kongruncija i*j==1 (mod p)
(u kojoj j shvatimo kao nepoznanicu) ima tocno jedno rjesenje.

menschen (napisa):

Kad dokazujemo da za prosti broj p postoji fi(p-1) primitivnoh korjena modulo p,
označili smo sa psi(d) broj brojeva u nizu 1,2,...,p-1 koji pripadaju nekom eksponentu d,
i suma po djeliteljima d od p-1, od psi(d) je jednaka p-1.
Kak to i zašto, i zašto točno iz psi(d)=fi(d) slijedi da postoji fi(p-1) primitivnih korjena?

Svaki broj u nizu 1,2,...,p-1 pripada tocno jednom eksponentu d, i pokazali smo ranije da d|p-1.
Zato je suma po djeliteljima d od p-1, od psi(d) jednaka broju elemenata skupa {1,2,...,p-1},
a to je p-1.
Ako pokazemo da psi(d)=fi(d) za svaki d, onda je posebno i
psi(p-1)=fi(p-1), a psi(p-1) je upravo broj primitivnih korijena,
jer su po definiciji primitivni korijeni upravo oni brojevi koji
pripadaju eksponentu p-1.

#14: Autor/ica: menschen,

Postano: 11:37 čet, 15. 2. 2007
—
Hvala Wink

#15: Autor/ica: Gost,

Postano: 18:38 čet, 15. 2. 2007
—
a zašto je psi(d) različito od nule i kako iz toga slijedi da je psi(d)=fi(d)?

#16: Autor/ica: duje,

Postano: 19:19 čet, 15. 2. 2007
—

Citat:

a zašto je psi(d) različito od nule i kako iz toga slijedi da je psi(d)=fi(d)?

Naprije se dokaze ovo drugo: da psi(d) <> 0 povlaci psi(d)=fi(d).
To je u kripti druga polovica dokaza Teorema 2.19:
promatra je kongruencija x^d == 1 (mod p) ...
(ne znam objasniti puno bolje nego sto sam tamo napisao Embarassed

).

Sada kad to znamo, mozemo dokazati da mora vrijediti
da je psi(d) razlicito od nule.
Znamo da je suma_{d|p-1} phi(d) = suma_{d|p-1} fi(d).
U prvoj sumi imamo dvije vrste pribrojnika:
1) phi(d) koji su razliciti od 0.
Za njih vrijedi phi(d)=fi(d).
2) phi(d) koji su jednaki 0.
Za njih ocito vrijedi phi(d) < fi(d),
jer su fi(d) prirodni brojevi.
Sada je ocito da ako bi postojali pribrojnici druge vrste,
onda bi suma_d phi(d) bila stogo manja od suma_d fi(d).
Zato pribrojnici druge vrste ne postoje, a to znaci
da je psi(d) razlicito od 0 za svaki d.

#17: Autor/ica: Gost,

Postano: 17:27 pet, 16. 2. 2007
—
Imam još 2 pitanja:
1. Eulerov kriterij: kako dobijemo u 3.slučaju iz ij==a(mod p)
a exp{p-1/2}==(p-1)!==-1 (mod p)?
2. jel se pod svojstva i karakterizacije ndz misli na tm i propozicije ispod def.?

#18: Autor/ica: duje,

Postano: 19:51 pet, 16. 2. 2007
—

Citat:

1. Eulerov kriterij: kako dobijemo u 3.slučaju iz ij==a(mod p)
a exp{p-1/2}==(p-1)!==-1 (mod p)?

Izmnoze se sve kongruncije oblika ij==a(mod p).
Produkt lijevih strana je produkt svih brojeva od 1 do p-1, tj. (p-1)!.
Produkt desnih strana je a*a*...*a=a^{(p-1)/2}.
Na kraju se primijeni Wilsonov teorem: (p-1)!==-1 (mod p).

Citat:

2. jel se pod svojstva i karakterizacije ndz misli na tm i propozicije ispod def.?

Misli se na Teorem 1.2 i Propoziciju 1.3 iz skripte.

#19: Autor/ica: Braslav,

Postano: 23:07 pet, 16. 2. 2007
—
Jedno pitanje u vezi Teorema 4.5

Uzmimo da je nasa forma oblika f(x,y)=2x*x+108y*y tada je ocito reducirana pozitivno definitna kvadratna forma.

U teoremu se tvrdi da su najmanje vrijednosti koje svaka reducirana pa i ova forma moze primiti a=2, c=108, a-abs(b)+c=110 i to u tom redoslijedu, ali ocito je da su najmanje vrijednoti koje ova forma prima 2,8,18 i to za (1,0), (2,0), (3,0) Misim da se teorem mora nekako drugacije dokazati... Kako?

#20: Autor/ica: Braslav,

Postano: 23:21 pet, 16. 2. 2007
—
Propozicija 2.17.

4. red dokaza na strani 23.

pokaze se da je f'(xi) nekongruentno 0 (mod p na j)
ali za primjenu henselove leme nam treba da je nekongruentno 0 modulo p, a ne p na j. Mislim ako neki broj ne dijeli p na j to ne znaci da ga ne dijeli p. Kako se pokaze ta nama potrebna nekongruencija?

Forum@DeGiorgi -> (Elementarna) teorija brojeva

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Idite na 1, 2, 3, 4, 5, 6 Sljedeće :| |: Stranica 1 / 6.