Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu

zadaci, rjesenja

through

FAQ

[^/[Print]\]
Idite na Prethodno 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Sljedeće :| |:
Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2

#101: Autor/ica: Shaman,

Postano: 18:13 sub, 31. 3. 2012
—

marsupial (napisa):

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1011-kol1.pdf

Zadatak.1., pod b), druga grupa, help!

provjeris da li je f-ja f derivabilna u tockama (pi/2,-pi/2)+2k(pi), ocito je derivabilna u ostalim.
deriviras funkciju i vidis da je ch(x)+cos(x)>0 sto znaci da je f-ja f strogo rastuca na R, a time je i injekcija.
pogledas limese f-je kada x tezi + i - beskonacno. kada tezi u + beskonacno limes je +beskonacno, a kada x tezi u-beskonacno limes je -beskonacno sto znaci da je f-ja surjekcija.
dakle f-ja je bijekcija.
f^(-1) je derivabilna na cijelom R-u jer je f-ja f derivabilna na citavom R-u i derivacija je razlicita od 0 za svaki x iz R.

Added after 2 minutes:

sry shvatio sam da sam rijesio iz krive grupe

#102: Autor/ica: marsupial,

Postano: 18:30 ned, 1. 4. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0910-kol1.pdf

3. zadatak prva i druga grupa.. kako su vam ispali parametri alfa i beta, i globalni ekstremi(ako je netko rješavao.. Rolling Eyes

)

#103: Autor/ica: quark,

Postano: 20:08 ned, 1. 4. 2012
—
Dakle, zadatak 1.75 http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_5.pdf

Imamo:

[dtex]\lim_{x \to 0 } \frac{x^2\sin(x^{-1})}{\sin(x)} \Leftrightarrow \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin(x^{-1})}{x^{-1}}}{\frac{\sin(x)}{x}} = \frac{0}{0}
[/dtex]
Dakle, možemo iskoristiti L'H. Samo, nikako ga ne mogu izračunati; smeta mi [tex]\cos(\frac{1}{x})[/tex].

Ako iskoristim L'H, ispadne mi ovo:

[tex]\lim_{x \to 0 } \frac{2x\sin(x^{-1}) +\cos(x^{-1})}{\cos(x)}
[/tex]

Pokušao sam podijeliti na dva razlomka, kod sinusa iskoristim isti trik, ali

[tex]\lim_{x \to 0 } \frac{\cos(x^{-1})}{\cos(x)}[/tex] ne postoji.

Hvala Smile

#104: Autor/ica: Shaman,

Postano: 20:31 ned, 1. 4. 2012
—

quark (napisa):

Dakle, zadatak 1.75 http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_5.pdf

Imamo:

[dtex]\lim_{x \to 0 } \frac{x^2\sin(x^{-1})}{\sin(x)} \Leftrightarrow \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin(x^{-1})}{x^{-1}}}{\frac{\sin(x)}{x}} = \frac{0}{0}
[/dtex]
Dakle, možemo iskoristiti L'H. Samo, nikako ga ne mogu izračunati; smeta mi [tex]\cos(\frac{1}{x})[/tex].

Ako iskoristim L'H, ispadne mi ovo:

[tex]\lim_{x \to 0 } \frac{2x\sin(x^{-1}) +\cos(x^{-1})}{\cos(x)}
[/tex]

Pokušao sam podijeliti na dva razlomka, kod sinusa iskoristim isti trik, ali

[tex]\lim_{x \to 0 } \frac{\cos(x^{-1})}{\cos(x)}[/tex] ne postoji.

Hvala Smile

limes kada x→0 od sin(x)/x=1 pa ti nije 0/0 nego 0/1=0, dakle limes danog izraza postoji. Kako imas x^2 * nesto sto nije beskonacno kroz sinx, a x tezi u 0 imas izraz tipa (0/0) pa smijes probati primjeniti L'H, ali nakon toga dobijes izraz takav da ne postoji limes kada x→0 pa zakljucis da ipak ne smijes koristiti L'H.

#105: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 20:40 ned, 1. 4. 2012
—

quark (napisa):

[dtex]\lim_{x \to 0 } \frac{x^2\sin(x^{-1})}{\sin(x)} \Leftrightarrow \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin(x^{-1})}{x^{-1}}}{\frac{\sin(x)}{x}} = \frac{0}{0}
[/dtex]

Ovo ti nije točno:
[dtex]\lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin(x^{-1})}{x^{-1}}}{\frac{\sin(x)}{x}} = \frac{\text{nešto}}{1}[/dtex] u nekom slučaju, s tim da ni to ne valja jer limes kad x ide u 0 od [tex]x^{-1}=\frac 1x[/tex] ne postoji.
Sad, kako to riješiti, iskreno, ne da mi se Razz

Možeš se riješiti tog sinusa iz brojnika po teoremu o sendviču, onda i brojnik i nazivnik idu u nulu, pa možeš L'Hopitala, ali onda moraš računati za svaku stranu posebno i ako ne dobiješ isti broj i s lijeve i s desne strane onda opet ne možeš reći da traženi limes ne postoji. Tako da ne znam, snađi se. Možda ti bude lakše sada kada znaš da si već u startu pogriješio.

EDIT: Riješi kako ti je Shaman rekao, s tim da i on krivo tvrdi da [tex]\displaystyle \frac{\sin(x^{-1})}{x^{-1}}[/tex] ide u nulu direkno, ali ne ide, to isto moraš pokazati. E to je sad već lagano preko teorema o sendviču.

Zadnja promjena: Zenon; 20:43 ned, 1. 4. 2012; ukupno mijenjano 3 put/a.

#106: Autor/ica: quark,

Postano: 20:40 ned, 1. 4. 2012
—

Shaman (napisa):

Da da, sve pet, hvala Very Happy

@zenon: hvala također, riješih sada Very Happy

#107: Autor/ica: Shaman,

Postano: 21:21 ned, 1. 4. 2012
—
@Zenon, nisam nigdje to tvrdio samo je suvise ocito pa nisam ni raspisao jer se ne znam sluziti latexom pa bi neuredno izgledalo.

#108: Autor/ica: rom,

Postano: 10:27 sri, 4. 4. 2012
—
kako bi se zapocelo pronalazenje n-te derivacije f-je x^2/sqrt(1-x^2) hvala

#109: Autor/ica: vjekovac,

Postano: 14:16 sri, 4. 4. 2012
—

rom (napisa):

kako bi se zapocelo pronalazenje n-te derivacije f-je x^2/sqrt(1-x^2) hvala

n-te derivacije u bilo kojoj tocki → jaaaako tesko
n-te derivacije u 0 → rekurzijom uz sljedeci mali trik

Zanima nas [tex]f^{(n)}(0)[/tex] za [tex]f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}[/tex].
Zapisimo [tex]f(x)=x^2 g(x)[/tex]. Deriviranjem n puta iz Leibnizove formule slijedi:
[tex]f^{(n)}(x) = x^2 g^{(n)}(0) + 2nx g^{(n-1)}(x) + n(n-1) g^{(n-2)}(x)[/tex]
a uvrstavanje x=0 daje
[tex]f^{(n)}(x) = n(n-1) g^{(n-2)}(0)[/tex]
Dakle, zapravo samo trebamo naci [tex]g^{(n-2)}(0)[/tex] za jednostavniju funkciju [tex]g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex].
Tu posljednju funkciju smo vec imali na vjezbama. Standardno se izvede diferencijalna jednadzba, primjeni Leibnizova formula, izvede rekurzija i rijesi.

#110: Autor/ica: rom,

Postano: 21:04 sri, 4. 4. 2012
—
ja sam nasao u vjezbama samo f-ju [tex]g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/tex] pa ne mogu provjeriti jesam dobio dobru rekurziju, tj. rjesenje..ugl. ja sam dobio [tex]g^{(n-2)}(0)=(n-3)g^{(n-4)}(0)[/tex] jel to ok?

#111: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 11:39 čet, 5. 4. 2012
—

vjekovac (napisa):

Dakle, zapravo samo trebamo naci [tex]g^{(n-2)}(0)[/tex] za jednostavniju funkciju [tex]g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex].
Tu posljednju funkciju smo vec imali na vjezbama. Standardno se izvede diferencijalna jednadzba, primjeni Leibnizova formula, izvede rekurzija i rijesi.

Može li se to riješiti i ovako ( [tex]\displaystyle g(x)=(1-x^2)^{-\frac 12}[/tex] ):
[dtex]g^{(n)}(x)=\left(-\frac 12\right)\left(-\frac 32\right)\cdots \left(-\frac{2n-1}{2}\right)(-2)^n(1-x^2)^{-\frac 12 -n}=\cdots =\frac{(2n-1)!}{\sqrt{(1-x^2)^{2n+1}}},[/dtex]
pa bi onda bilo [tex]\displaystyle g^{(n-2)}(0)=\frac{(2(n-2)-1)!}{\sqrt{(1-0^2)^{2(n-2)+1}}}=(2n-5)![/tex].

?
Unaprijed hvala!

EDIT:
Može pomoć i oko ovoga:
[tex]f(x)=x\cdot e^{\arctan x}[/tex]
[dtex]f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}x^{(k)}(e^{\arctan x})^{(n-k)}=x(e^{\arctan x})^{(n)}+n(e^{\arctan x})^{(n-1)}[/dtex]

[tex]y(x):=e^{\arctan x}[/tex]
[tex]\displaystyle y'(x)=e^{\arctan x}\cdot\frac{1}{1+x^2}=y(x)\cdot\frac{1}{1+x^2} \Longrightarrow (1+x^2)y'(x)-y(x)=0[/tex]
Sada to deriviram [tex]n-1[/tex] puta i na kraju dobijem:
[dtex]y^{n}(0)=y^{n-1}(0)-(n-1)(n-2)y^{n-2}(0).[/dtex]
Što sad? Razz

#112: Autor/ica: vjekovac,

Postano: 18:25 čet, 5. 4. 2012
—

rom (napisa):

ja sam nasao u vjezbama samo f-ju [tex]g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/tex] pa ne mogu provjeriti jesam dobio dobru rekurziju, tj. rjesenje..ugl. ja sam dobio [tex]g^{(n-2)}(0)=(n-3)g^{(n-4)}(0)[/tex] jel to ok?

To nazalost nije dobro.
Oznacimo [tex]y=g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]. Deriviranjem i mnozenjem slijedi diferencijalna jednadzba:
[tex](1-x^2)y' = xy[/tex].
Deriviranjem n puta i koristenjem Leibnizove formule dobijemo rekurziju:
[tex]g^{(n+1)}(0) = n^2 g^{(n-1)}(0)[/tex],
cije rjesavanje daje
[tex]g^{(2k)}(0) = \Big((2k-1)!!\Big)^2[/tex]
[tex]g^{(2k+1)}(0) = 0[/tex]

Zenon (napisa):

vjekovac (napisa):

Nazalost taj postupak je pogresan. Ne postoji jednostavno pravilo za n-tu derivaciju kompozicije. Drugim rijecima, ne mozemo najprije n puta derivirati [tex]\frac{1}{\sqrt{x}}[/tex] pa onda dokomponirati s [tex]1-x^2[/tex]. Lancano pravilo vrijedi samo za prvu derivaciju kompozicije a ne za n-tu. To je razlog sto nam je tablica n-tih derivacija malena, tj jako malo funkcija znamo eksplicitno n puta derivirati.
Cisto da se uvjerite da gornji postupak nije dobar, primijetite da ste na ovom primjeru dobili pogresno rjesenje. Ako hocete radikalniji primjer, komponirajte [tex]g\circ f[/tex], pri cemu je f proizvoljna, a g(x)=x. Ispalo bi da je derivacija reda [tex]n\geq 2[/tex] svake funkcije jednaka konstanti 0.

Zenon (napisa):

Može pomoć i oko ovoga:
[tex]f(x)=x\cdot e^{\arctan x}[/tex]
[dtex]f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}x^{(k)}(e^{\arctan x})^{(n-k)}=x(e^{\arctan x})^{(n)}+n(e^{\arctan x})^{(n-1)}[/dtex]

[tex]y(x):=e^{\arctan x}[/tex]
[tex]\displaystyle y'(x)=e^{\arctan x}\cdot\frac{1}{1+x^2}=y(x)\cdot\frac{1}{1+x^2} \Longrightarrow (1+x^2)y'(x)-y(x)=0[/tex]
Sada to deriviram [tex]n-1[/tex] puta i na kraju dobijem:
[dtex]y^{n}(0)=y^{n-1}(0)-(n-1)(n-2)y^{n-2}(0).[/dtex]
Što sad? Razz

I sad vise nista. Smile

Sada bi trebalo rijesiti ovu rekurziju sto nije bas lako, ako se uopce i moze eksplicitno. Pretpostavljam da se taj zadatak greskom nasao medju zadacima za vjezbu jer netko nije provjerio da se dobije rekurzija koja se ne moze rijesiti kao ostale.

#113: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 20:31 čet, 5. 4. 2012
—
Puno hvala na odgovoru! Thank you

#114: Autor/ica: rom,

Postano: 8:56 pet, 6. 4. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0809-kol1.pdf
moze pomoc, 3. zadatak druga grupa..ja sam dobio različite različite bete i game za x=1, x=-1 sad ako je dobro da su bete i game različite kako dalje?
moze mi biti neprekidna, odnosno derivabilna samo za jednu točku koju uzmem pa sam zbunjen

i jos jedno pitanje..kako da odredim limes zdesna kada teži u 3 od arctg(1/(x-3)) a bez da vidim kako f-ja izgleda u wolframalphi?

hvala Very Happy

#115: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 9:35 pet, 6. 4. 2012
—
1. Ja sam za uvjet neprekidnosti u tim točkama dobio dobar rezultat za betu i gamu. Dapače, dvije jednadžbe s dvije nepoznanice koje imaju jedinstveno rješenje. Smile

Kada dobiješ da je funkcija neprekidna, trebaš odrediti diferencijabilnost. Ali zašto biti zbunjen ako nije diferencijabilna u svim točkama? Očekuješ da u kolokviju sve bude klase [tex]C^1(\mathbb{R})[/tex]? Razz

(Zapravo i razumijem, često znaju tako namjestiti zadatke. Ali tebi kao matematičaru to ne daje pravo da to smatraš rješenjem - sve treba provjeriti!)
Ako nije diferencijabilna, nikom ništa. To ti samo daje više kandidata za globalne ekstreme u nastavku zadatka. Very Happy

2. Primijeti da je argument funkcije cijelo vrijeme pozitivan te da sve više i više raste (kako nazivnik teži u nulu). Sada se sjeti (ili baci pogled na šalabahter) kako izgleda graf funkcije [tex]arctg[/tex] i provjeri što se događa s funkcijom kada [tex]x[/tex] ide u [tex]+\infty[/tex]. Smile

#116: Autor/ica: rom,

Postano: 11:14 pet, 6. 4. 2012
—
Hvala Phoenix Very Happy

#117: Autor/ica: Ryssa,

Postano: 20:01 sub, 7. 4. 2012
—
Molim ako je netko riješio zadatak 1.93 iz neprekidnosti da napiše što je točno radio...meni je nekako čudan i kad idem dokazivat da je klase C1 mislim da mi trebaju dva podniza ali nisam sigurna da li može drugačije...i zanima na koji način se biraju ti podnizovi?

#118: Autor/ica: 5_ra,

Postano: 16:51 uto, 10. 4. 2012
—
moze rjesenje 1. zadatka prve grupe ako je netko rijesio??

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0809-kol1.pdf

#119: Autor/ica: Alia3,

Postano: 19:06 uto, 10. 4. 2012
—
Kako bi se preko leibniza deriviralo na (n-1) [tex](1+x^2)(x+2)y'[/tex]
Ispricavam se ako je vec postojalo pitanje ali preko mobitela sam pa mi je ograniceno pretrazivanje. Unaprijed hvala Smile

#120: Autor/ica: Optimum, Lokacija: Zagreb

Postano: 21:18 uto, 10. 4. 2012
—

Alia3 (napisa):

Kako bi se preko leibniza deriviralo na (n-1) [tex](1+x^2)(x+2)y'[/tex]
Ispricavam se ako je vec postojalo pitanje ali preko mobitela sam pa mi je ograniceno pretrazivanje. Unaprijed hvala Smile

pretpostavljam da je [tex](1+x^2)(x+2)y'[/tex] =0
e pa kad razmnožiš ove dvije zagrade dobit ćeš polinom 3. stupnja...
sada primjenit Leibniza i n-tu derivaciju ostaviš s lijeve strane, ostalih 3 prebaciš na desnu stranu i dobio si rekurziju...
i pretpostavljam da se tražila neka derivacija u nuli, pa kad uvrstiš nulu dobit ćeš n-ta derivacija u nuli jednaka n-3-ćoj derivaciji u nuli uz neke skalare...

Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Idite na Prethodno 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Sljedeće :| |: Stranica 6 / 9.