Treća domaća zadaća
Select messages from
 # through # FAQ
[/[Print]\]
Idite na Prethodno  1, 2, 3  Sljedeće  :| |:
Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2
#21: Re: Treća domaća zadaća Autor/ica: anamarie,  PostPostano: 12:52 ned, 18. 12. 2011
    —
malalodacha (napisa):
zanima me 8.c iz zadaće. je li taj zadatak dobro zadan uopće?


da,pa rješenje može biti +∞ (vjerojatno ti je tako ispalo,pa zato pitaš?)

Added after 2 minutes:

Cupcake (napisa):
Evo pokrećem temu treće zadaće gdje možemo raspravljati o našim rješenjima...
Moja rjesenja su 1 - samo se raspise i pokaze da vrijedi
2 - a) padajući
b) padajući
c) od 4.mj je padajući
d) padajući, ali nisam sigurna kako se treba tocno pokazati

2) a) 1/5 i 1
b) neogranicen, ali mozemo gledati parne i neparne n pa onda za parne dobijemo odozgo neogr a odozdo s 4/6, a neparne odozdo neogr a odozgo s -1/5
c) odozdo ogr s 1/2
4) svi idu u plus beskonacno



Mene najviše zbunjuju limesi sa korijenima, pa ako bi netko mogao pomoći, npr 9 zadatak pod d.
http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ma1-zadaca3.pdf


1.zadatak b) jesi riješila?
ja dobijem nešto glupo(zbog korijena..),pa sam odustala..
#22:  Autor/ica: malalodacha,  PostPostano: 13:11 ned, 18. 12. 2011
    —
ajde mi anemarie napiši po koracima kako si došla do toga?? vjerojatno prvo racionalizacija ide, ali s čim onda dijelit, jer kako god dijelim,dobijem nešt bezveze
#23:  Autor/ica: anamarie,  PostPostano: 13:20 ned, 18. 12. 2011
    —
malalodacha (napisa):
ajde mi anemarie napiši po koracima kako si došla do toga?? vjerojatno prvo racionalizacija ide, ali s čim onda dijelit, jer kako god dijelim,dobijem nešt bezveze


podijelim i brojnik i nazivnik sa n^2,pa dobijem lim ((1+1/(n^2))/(1/n+korijen iz(3/n+7/(n^4))),pa je to (1+0)/(0+0)⇒+∞
#24:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 23:09 ned, 18. 12. 2011
    —
Kako riješiti:
Ispitajte monotonost niza:
[dtex]\frac{1}{arctg(-n)}\cdot\frac{3n-2}{n^2+n+10}[/dtex]

Dobio sam da [tex]a_n :=\frac{3n-2}{n^2+n+10}[/tex] izlgeda ovako: [tex]a_1\geq a_2\geq a_3<a_4<a_5<\ldots[/tex]
i da je [tex]b_b :=\frac{1}{arctg(-n)}[/tex] strogo rastući.

Unaprijed hvala!

EDIT:
Usput, kako da dokažem da [tex]a_n :=\frac{n^2}{n+4}[/tex] nije omeđen odozgo?
#25:  Autor/ica: Phoenix,  PostPostano: 10:28 pon, 19. 12. 2011
    —
Nisi li upravo riješio prvi zadatak (ako si to uspio pokazati)? Smile
Doduše, ako uzmemo da je niz monoton ako zadovoljava određenu relaciju za svaka dva susjedna elementa niza, očito tvoj niz nije monoton (ali možda možeš reći da je strogo rastući od [tex]3.[/tex] člana niza).
(Zapravo, možda bih trebao reći da, ako želiš komentirati monotonost niza nastalog umnoškom odgovarajućih elemenata drugih monotonih nizova, promatraj njihove predznake i, ako su stalni, možda možeš doći do korisnog zaključka.)

Evo dva načina za drugi:
1) [tex]a_n = \frac{n^2}{n+4} = \frac{n^2+4n-4n-16+16}{n+4} = n-4+\frac{16}{n+4} \geq n-4 \Rightarrow a_n \geq n-4, \forall n \in \mathbb{N}[/tex]
2) Pretpostavimo suprotno, tj. [tex]\exists M \in \mathbb{R}[/tex] takav da je [tex]a_n<M, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{n^2}{n+4}<M, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow n^2-Mn-4M<0, \forall n \in \mathbb{N}[/tex]. Kontradikcija!
#26:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 12:07 pon, 19. 12. 2011
    —
Phoenix (napisa):
Nisi li upravo riješio prvi zadatak (ako si to uspio pokazati)? Smile
Doduše, ako uzmemo da je niz monoton ako zadovoljava određenu relaciju za svaka dva susjedna elementa niza, očito tvoj niz nije monoton (ali možda možeš reći da je strogo rastući od [tex]3.[/tex] člana niza).
(Zapravo, možda bih trebao reći da, ako želiš komentirati monotonost niza nastalog umnoškom odgovarajućih elemenata drugih monotonih nizova, promatraj njihove predznake i, ako su stalni, možda možeš doći do korisnog zaključka.)

Evo dva načina za drugi:
1) [tex]a_n = \frac{n^2}{n+4} = \frac{n^2+4n-4n-16+16}{n+4} = n-4+\frac{16}{n+4} \geq n-4 \Rightarrow a_n \geq n-4, \forall n \in \mathbb{N}[/tex]
2) Pretpostavimo suprotno, tj. [tex]\exists M \in \mathbb{R}[/tex] takav da je [tex]a_n<M, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{n^2}{n+4}<M, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow n^2-Mn-4M<0, \forall n \in \mathbb{N}[/tex]. Kontradikcija!


Hvala kolega!!! Jeeeeeeeeee Very Happy
Ali to me zbunjuje kod prvoga. To, što si i sam rekao, da umnožak strogo rastućih nizova ne mora biti strogo rastući niz. Tako da mi se ta argumentacija ne sviđa, tj. znam da kada bih rekao da je ovaj niz od trećeg mjesta strogo rastući kao umnožak strogo rastućih nizova, opet bih to trebao dokazati, tj. da to u ovom slučaju vrijedi, jer ne vrijedi uvijek. Postoji li neki drugi način?
Jeeeeeeeeeeeeeee Phoenix mi te volimo, Phoenix mi te volimo!!! Dabar
#27:  Autor/ica: Tomislav,  PostPostano: 12:30 pon, 19. 12. 2011
    —
Zenon (napisa):

Dobio sam da [tex]a_n :=\frac{3n-2}{n^2+n+10}[/tex] izlgeda ovako: [tex]a_1\geq a_2\geq a_3<a_4<a_5<\ldots[/tex]


Nakon 3. clana ovaj niz je strogo padajuc, a ne rastuc.

Da postoji neka standardna metoda kojom bis pokazao je li umnozak rastuce i padajuce funkcije rastuca/padajuca, eventualno derivacija (ako uopce mozes derivirati).
Takva funkcija niti ne treba biti nuzno rastuca/padajuca.
#28:  Autor/ica: Phoenix,  PostPostano: 12:30 pon, 19. 12. 2011
    —
Zenon (napisa):

Ali to me zbunjuje kod prvoga. To, što si i sam rekao, da umnožak strogo rastućih nizova ne mora biti strogo rastući niz. Tako da mi se ta argumentacija ne sviđa, tj. znam da kada bih rekao da je ovaj niz od trećeg mjesta strogo rastući kao umnožak strogo rastućih nizova, opet bih to trebao dokazati, tj. da to u ovom slučaju vrijedi, jer ne vrijedi uvijek. Postoji li neki drugi način?


Ma da, znam da sam to rekao. Ali nisam rekao da produkt dva strogo rastuća niza nikada ne može biti strogo rastući niz. Recimo, [tex]a_n=b_n=n[/tex], pa je i [tex]c_n=a_n \cdot b_n[/tex] također strogo rastući niz.
Koliko mi se čini, mislim da ti je dovoljno da još uz to iskoristiš da tvoj niz [tex]a_n[/tex] sadrži samo pozitivne brojeve, a [tex]b_n[/tex] negativne. Samo pravilno izmnoži i to je to. Smile
(Premda ovo napamet govorim, ako ti ne ide, reci pa ću raspisati. Samo još pripazi jer si u svom postu obrnuo oznake nejednakosti, jer je [tex]a_1 \leq a_2 \leq a_3 > a_4 > a_5 > ...[/tex].)
#29:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 10:51 uto, 20. 12. 2011
    —
Hvala kolege, da, obrnio sam znakove nejednakosti, ali sam mislio tako kao što vi kažete. Znam da mora biti padajuća jer će kvadrat u nazivniku puno brže rasti od pravca u brojniku Very Happy
Sanjao sam da asistentica Lubura riješava taj zadatak s arctg(-n) na ploči, eto koliko mi je onda zadatak u podsvijesti Razz
I, što je žalosno, ne sjećam se "što je radila" ... Razz
#30:  Autor/ica: malalodacha,  PostPostano: 17:49 uto, 20. 12. 2011
    —
zenone, mislim da je ipak najžalosnije od svega to što ti sanjaš uopće takve stvari i dijeliš to s nama Wink
#31:  Autor/ica: gflegar,  PostPostano: 18:35 uto, 20. 12. 2011
    —
meni se cini da je njemu na pameti asistentica, a ne zadatak Chuckle
#32:  Autor/ica: Tomislav,  PostPostano: 20:29 uto, 20. 12. 2011
    —
malalodacha (napisa):
zenone, mislim da je ipak najžalosnije od svega to što ti sanjaš uopće takve stvari i dijeliš to s nama Wink


A se mozes zapitati koliko je zalosno sto ti uopce ovakvi komentari padaju napamet? A da bi stvar bila gora, jos i ides na forum i dijelis ih s nama... Wink
#33:  Autor/ica: Jurinho,  PostPostano: 22:37 uto, 20. 12. 2011
    —
Zenon mi te volimo,,hahahahahahahahahahahahahahahahahaha samo ti dijeli to s nama,odmah smo i mi radosni Rolling on the floor laughing Tulum banana Jako veliki zagrljaj
#34:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 3:28 sub, 31. 12. 2011
    —
Hopa, cupa, hello!
Molim provjeru svoga rješenja.

Izračunaj ( u ovisnosti o [tex]x\in\mathbb R[/tex] ):
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}}[/dtex].
Eksponent je uvijek paran.
Za x=1 i x=-1:
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}}=\frac{1}{1+1}=\frac12[/dtex]
Za [tex]x\in\left←1,1\right>[/tex]:
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}}=\frac{0}{0+1}=0[/dtex]
Za [tex]x\in\mathbb R\backslash\left[-1,1\right][/tex]
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{\frac{1}{x^{2n}}+1}}=1[/dtex]

Unaprijed hvala!
#35:  Autor/ica: satja,  PostPostano: 10:00 sub, 31. 12. 2011
    —
Dobro ti je to Zenone Smile
#36:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 2:26 ned, 1. 1. 2012
    —
Hvala satja!
Molim provjeru za još neka rješenja Very Happy
Zadatak:

Izračunaj limes a niza [tex](a_n)[/tex] i za zadani [tex]\epsilon >0[/tex] odredite [tex]n_0\in\mathbb N[/tex] takav da vrijedi [tex]|a_n-a|<\epsilon[/tex] za [tex]n\geq n_0[/tex]

(a) [dtex]a_n=0.\underbrace{33\ldots 3}_{n},\quad \epsilon=10^{-7}[/dtex]
Dobio sam da je [tex]n_0=7[/tex]

(b) [dtex]a_n=\frac 1n \cos{\frac{n\pi}{2}},\quad \epsilon=0.001[/dtex]
Dobio sam da je [tex]n_0=1000[/tex]

(c) [dtex]a_n=\frac{5n^2+1}{7n^2-3},\quad \epsilon=0.005[/dtex]
Dobio sam [tex]n_0=\lfloor \frac{\sqrt{4421}}{7}\rfloor +1[/tex]

Unaprijed hvala na trudu. Limesi su očiti, pa njih nisam pisao...
#37:  Autor/ica: satja,  PostPostano: 13:39 ned, 1. 1. 2012
    —
1. i 3. su ti dobri, a u 2. za 1000 imaš jednakost (a treba biti stroga nejednakost) tako da je tu rješenje 1002.
#38:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 16:03 ned, 1. 1. 2012
    —
satja (napisa):
1. i 3. su ti dobri, a u 2. za 1000 imaš jednakost (a treba biti stroga nejednakost) tako da je tu rješenje 1002.

Ne znam stvarno što mi bi Razz
Zašto onda ne krećemo od 1001 kad za 1001 imamo [tex]\frac{1}{1001}\cdot \cos{\left(500\pi +\frac{\pi}{2}\right)}=0[/tex] pa je onda i razlika [tex]|a_{1001}-a|=|0-0|=0<\epsilon[/tex] ?

Hvala i usput sretna ti Nova godina Tuluuuuum!!! Tuluuuuum!!! Tuluuuuum!!!
#39:  Autor/ica: satja,  PostPostano: 21:39 ned, 1. 1. 2012
    —
Da, 1001 je.

Hvala, sretna nova godina i tebi! Puno bodova na kolokvijima ti želim! Smile
#40:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 2:22 pon, 2. 1. 2012
    —
Hvala, možda bude u drugom semestru Razz

Ok.
Sada dva ne znam riješiti, a za nekoliko njih trebam provjeru.
Opet molim pomoć silly + roll
Provjera:
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left(1+\frac 11\right)^1\cdot\left(1+\frac 12\right)^2\cdot\left(1+\frac 13\right)^3\cdots\left(1+\frac 1n\right)^n}}=e[/dtex]

33. Dokažite da za niz [tex](a_n)[/tex] takav da je [tex]\lim_{n\to\infty}{(a_{n+1}-a_n)}=a[/tex] vrijedi [tex]\lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=a[/tex].
Nije li to čisti Stolzov teorem, ako napišemo [tex](a_{n+1}-a_n)=\frac{(a_{n+1}-a_n)}{(n+1)-n}[/tex] i iz toga direktno slijedi?

34. Neka je [tex]\lim_{n\to\infty}{a_n}=a[/tex]. Izračunaj
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{\sqrt n}\left(a_1+\frac{a_2}{\sqrt2}+\ldots +\frac{a_n}{\sqrt n}\right)}=\lim_{n\to\infty}{\frac{a_1+\frac{a_2}{\sqrt2}+\ldots +\frac{a_n}{\sqrt n}}{\sqrt n}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{\frac{a_{n+1}}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt n}\cdot\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}}=\lim_{n\to\infty}{\left[a_{n+1}\left(1+\sqrt{\frac{n}{n+1}}\right)\right]}=2a[/dtex]

37. (a)
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{1+\frac12+\ldots +\frac 1n}{\ln n}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{\frac{1}{n+1}}{\ln{\left(\frac{n+1}{n}\right)}}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{(n+1)\ln{\left(1+\frac 1n\right)}}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{\ln{\left(1+\frac 1n\right)^n}+\ln{\left(1+\frac 1n\right)}}}=\frac{1}{\ln e +0}=1[/dtex]

Ne znam riješiti:

Koristeći Cesaro-Stolzov teorem izračunajte:
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{1^p+2^p+\ldots +n^p}{n^{p+1}}},\quad p>1[/dtex]
Želim samo na glasiti da jedini uvijet na p je taj da je p>1, tj. [tex]p>1,p\in\mathbb R[/tex]. Pokušao sam svašta ali stalno dobijam ili 0-0, [tex]\frac 00[/tex], [tex]\infty -\infty[/tex] ili [tex]0\cdot\infty[/tex]... Sad

36. Neka su [tex]a,b\in\mathbb R[/tex] i neka je [tex](a_n)[/tex] definiran rekurzivno
[dtex]a_1=a,\quad a_2=b,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2n}a_n+\frac{2n-1}{2n}a_{n-1},\quad n\geq 2[/dtex].
Izračunaj limes od [tex](a_n)[/tex].
Tu nisam imao neke pretjerane ideje pa sam brljavio, nisam nigdje stigao doli do postanja zadatka na forum Razz

Koristeći logičke simbole zapiši sljedeću tvrdnju:
c) Broj a je limes niza
d) Limes niza je [tex]+\infty[/tex]
e) Broj a je gomilište niza

Unaprijed ( puno, puno, puno ) hvala.
Znam da ima jako puno, ali, ako je problem, mogu se ja nekako i odužiti. Štoviše, vrlo rado bih to učinio kad već "kamarim" pitanja Smile
Ne znam čime, to ostavljam vama koji mi pomažete Razz
Još jednom hvala!
Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2


output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Idite na Prethodno  1, 2, 3  Sljedeće  :| |:
Stranica 2 / 3.

Powered by phpBB © 2001,2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin