Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu

kolokvij 2012

through

FAQ

[^/[Print]\]
Idite na Prethodno 1, 2, 3, 4 Sljedeće :| |:
Forum@DeGiorgi -> Metode matematičke fizike

#41: Autor/ica: coco88,

Postano: 15:57 pet, 8. 6. 2012
—

spot137 (napisa):

Jel postoji neki uvjet za izlazak na popravni?

mislim da je uvjet 10 bodova ukupno na oba kolokvija

#42: Autor/ica: Gost,

Postano: 21:21 pet, 8. 6. 2012
—
Jel se netko sjeca koji su tocno bili zadaci u drugom kolokviju???

#43: Autor/ica: :/,

Postano: 21:40 pet, 8. 6. 2012
—

Anonymous (napisa):

Jel se netko sjeca koji su tocno bili zadaci u drugom kolokviju???

Imas na stranici od mmfa

#44: Autor/ica: čungalunga, Lokacija: varaždin/zagreb

Postano: 0:29 sub, 9. 6. 2012
—
jel bi netko mogao pliz riješiti 2. i 3. zadatak iz ovogodišnjeg drugog kolokvija?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/mmf/kolokviji/mmf2kol2012.pdf

#45: Autor/ica: Gost,

Postano: 8:07 sub, 9. 6. 2012
—
I mene zanima 3.zadatak iz drugog kolokvija, ako bi netko mogao bar započeti..hvala

#46: Autor/ica: pmli,

Postano: 10:20 sub, 9. 6. 2012
—

čungalunga (napisa):

jel bi netko mogao pliz riješiti 2. i 3. zadatak iz ovogodišnjeg drugog kolokvija?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/mmf/kolokviji/mmf2kol2012.pdf

2. Promatramo zadaću koji znamo riješiti:
[tex]\begin{align}
\tilde{u}_t & = \tilde{u}_{xx} \textrm{ u } \mathbb{R} \times \mathbb{R}^+ \\
\tilde{u}(x, 0) & = \tilde{u}_0(x)
\end{align}[/tex]
Vrijedit će ista PDJ kao za zadaću iz zadatka (jej!), tražimo da vrijedi [tex]\tilde{u}(x, 0) = u(x, 0)[/tex] za [tex]x > 0[/tex], tj. [tex]\tilde{u}_0(x) = u_0(x)[/tex] za [tex]x > 0[/tex], te [tex]\tilde{u}_x(0, t) = 0[/tex]. Ono što nam je nepoznato su vrijednosti [tex]\tilde{u}_0(x)[/tex] za [tex]x < 0[/tex], pa se to nadamo izvući iz [tex]\tilde{u}_x(0, t) = 0[/tex].
To je u biti to. Treba sad raspisati taj rubni uvjet, znači ubaciti Poissonovu formulu, derivirati po [tex]x[/tex], uvrstiti [tex]x = 0[/tex], izjednačiti to s [tex]0[/tex], rastaviti integrale na pozitivni i negativni dio ([tex]\int\limits_{-\infty}^{+\infty} = \int\limits_{-\infty}^{0} + \int\limits_{0}^{+\infty}[/tex]), supstituciju napraviti... Uglavnom, kao na vježbama taj sličan zadatak.
Dobi se da će biti ok ako se parno proširi, tj.

, za [tex]x > 0[/tex].

3. Prvo supstitucija [tex]u(x, t) = v(x, t) + \varphi(x)[/tex] da dobimo homogene uvjete (ispadne [tex]\varphi(x) = x + 1[/tex]). Zatim možemo primijeniti metodu separacije varijable na homogenu jednadžbu za [tex]v[/tex] da dobimo

i [tex]X_k[/tex] ([tex]k \in \mathbb{N}[/tex]). Zatim za cijeli [tex]v[/tex] tražimo rješenje oblika [tex]\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} T_k(t) X_k(x)[/tex]. To uvrstiš u PDJ, dobiš ODJ za [tex]T_k[/tex]...

Ako treba još, reci.

#47: Autor/ica: Genaro, Lokacija: Zagreb

Postano: 14:20 sub, 9. 6. 2012
—
Ako može, malo pomoći oko principa rješavanja 5. zadatka sa tog istog kolokvija?

#48: Autor/ica: pmli,

Postano: 15:35 sub, 9. 6. 2012
—

Genaro (napisa):

Ako može, malo pomoći oko principa rješavanja 5. zadatka sa tog istog kolokvija?

Koristi se Dirichletov teorem i teorem o uniformnoj konvergenciji Fourierovog reda (nismo mu nadjenuli neko ime, ovo je tek tolko da se lakše referiram). U oba se spominju "po dijelovima neprekidne funkcije":
Kažemo da je [tex]f[/tex] po dijelovima neprekidna na [tex][a, b][/tex] ako je:
1) [tex]f[/tex] definirana na [tex][a, b][/tex] osim u konačno mnogo točaka,
2) [tex]f[/tex] neprekidna svuda gdje je definirana, osim u konačno mnogo točaka
3) u točkama prekida [tex]f[/tex] ima limese slijeva i zdesna. Pišemo [tex]f(x-) := \lim\limits_{t \nearrow x} f(t)[/tex], [tex]f(x+) := \lim\limits_{t \searrow x} f(t)[/tex].

Trigonometrijski Fourierov red je [dtex]\frac{a_0}{2} + \sum_{k = 0}^{\infty}\left(a_k \cos\frac{k \pi x}{L} + b_k \sin\frac{k \pi x}{L} \right), \quad (*)[/dtex] gdje je [dtex]a_k = \frac{1}{L} \int\limits_{-L}^L{f(x) \cos\frac{k \pi x}{L} dx}\ \textrm{ i }\ b_k = \frac{1}{L} \int\limits_{-L}^L{f(x) \sin\frac{k \pi x}{L} dx}[/dtex]

Iskaz Dirichletovog teorema:
Neka je [tex]f[/tex] po dijelovima neprekidna na [tex][-L, L][/tex] takva da je i [tex]f'[/tex] po dijelovima neprekidna na [tex][-L, L][/tex]. Tada red [tex](*)[/tex] konvergira prema [tex]f(x)[/tex] u svim točkama [tex]x[/tex] u kojima je [tex]f[/tex] neprekidna. U točkama prekida funkcije [tex]f[/tex] red [tex](*)[/tex] konvergira prema [tex]\frac{f(x-) + f(x+)}{2}[/tex].
To kaže da [tex](*)[/tex] konvergira po točkama, i gdje točno konvergira. Podrazumijeva se da je [tex]f[/tex] proširena po periodičnosti (da bi imali smisla ovi limesi na rubovima).

Sad ovaj drugi teorem, o uniformnoj konvergenciji. Ono što je fora je da se pretpostavkama Dirichletovog teorema treba dodati samo ono što je nužno, a to je da je [tex]f[/tex] neprekidna kad se proširi po periodičnosti.
Neka je [tex]f[/tex] neprekidna na [tex][-L, L][/tex], [tex]f'[/tex] po dijelovima neprekidna na [tex][-L, L][/tex] i [tex]f(-L) = f(L)[/tex]. Tada [tex](*)[/tex] konvergira uniformno prema [tex]f[/tex] na [tex][-L, L][/tex].

Kad se govori o Fourierovom redu po sinusima funkcije [tex]f[/tex] definirane na [tex][0, L][/tex], misli se na Fourierov red od neparnog proširenja na [tex][-L, L][/tex] (tada je [tex]a_k = 0[/tex]). Za uniformu konvergenciju je potrebno provjeriti (uz neprekidnost od [tex]f[/tex] i po dijelovima neprekidnost od [tex]f'[/tex]) da je [tex]f(0) = f(L) = 0[/tex] (nacrtaj sliku).
Slično se može gledati i Fourierov red po kosinusima, samo se gleda parno proširenje. Ovdje je bolja situacija u tome što je dovoljno provjeriti neprekidnost od [tex]f[/tex] i po dijelovima neprekidnost od [tex]f'[/tex] (slika).

#49: Autor/ica: Genaro, Lokacija: Zagreb

Postano: 21:50 sub, 9. 6. 2012
—
Zahvaljujem Very Happy

#50: Autor/ica: Megy Poe,

Postano: 23:02 sub, 9. 6. 2012
—

pmli (napisa):

čungalunga (napisa):

jel bi netko mogao pliz riješiti 2. i 3. zadatak iz ovogodišnjeg drugog kolokvija?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/mmf/kolokviji/mmf2kol2012.pdf

Ja bi samo htjela provjeriti da li sam ja to dobro do kraja jel baš nisam sigurna kad treba tražiti T...Da li dobijemo rješenja

=1 i

=2...pa je rješenje cos

t*sin

x-t^2sin

x+ sin2

t)*sin2

x-t^2sin

#51: Autor/ica: dragec,

Postano: 1:03 ned, 10. 6. 2012
—
ima li mozda neka dobra dusa kojoj bi se dalo raspisati kako se rjesava 5. zadatak ovdje

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/mmf/kolokviji/mmf_kol1_0809.pdf

ili bilo koji drugi zadatak gdje se koristi bernoullijev princip

#52: Autor/ica: Megy Poe,

Postano: 1:37 ned, 10. 6. 2012
—

dragec (napisa):

ima li mozda neka dobra dusa kojoj bi se dalo raspisati kako se rjesava 5. zadatak ovdje

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/mmf/kolokviji/mmf_kol1_0809.pdf

ili bilo koji drugi zadatak gdje se koristi bernoullijev princip

Ne znam je li ponavljaš prvi kolokvij ili pišeš sve, u slučaju da pišeš sve teoretsko pitanje bit će iz PDJ-a, tj neće biti bernoullijevog prinicipa.

#53: Autor/ica: Gost,

Postano: 5:41 ned, 10. 6. 2012
—

Megy Poe (napisa):

dragec (napisa):

Ne znam je li ponavljaš prvi kolokvij ili pišeš sve, u slučaju da pišeš sve teoretsko pitanje bit će iz PDJ-a, tj neće biti bernoullijevog prinicipa.

Asistent Marohnić je rekao da će biti 5 zadataka (bez teorije) u popravnom kolokviju s cijelim gradivom. Poslao sam mu jučer mail pa mi je to odgovorio.

Što se tiče ove SL-zadaće iz drugog kolokvija, pitanje... Kad dobivamo X i T, što se dogodi sa t^2sin(pi*x)? Tj. nakon što homogeniziramo jednadžbu i raspisujemo v(x,t). Dobijemo XT'' = 2X''T + t^2sin(pi * x). Kako sad doći do -lambda? Pretpostavljam da je lako, ali slab sam sa ODJ Sad

Cijenio bih neku dobru dušu ako može malo raspisati zadatak...

#54: Autor/ica: pmli,

Postano: 10:58 ned, 10. 6. 2012
—
Ponovo 3.
Nakon supstitucije, dobimo početno-rubnu zadaću:
[dtex]\begin{align}
v_{tt} & = v_{xx} + t^2 \sin(\pi x) \ \textrm{ u } \ \langle 0, 1 \rangle \times \mathbb{R}^+ \\
v(x, 0) & = \sin(\pi x) \\
v_t(x, 0) & = \sin(2 \pi x) \\
v(0, t) & = 0 \\
v(1, t) & = 0
\end{align}[/dtex]
Na homogenu zadaću [dtex]\begin{align}
v_{tt}^H & = v_{xx}^H \ \textrm{ u } \ \langle 0, 1 \rangle \times \mathbb{R}^+ \\
v^H(x, 0) & = \sin(\pi x) \\
v_t^H(x, 0) & = \sin(2 \pi x) \\
v^H(0, t) & = 0 \\
v^H(1, t) & = 0
\end{align}[/dtex]primijenimo metodu separacije varijabli. Nakon malo igranja, dobimo Sturm-Liouvilleovu zadaću [dtex]X'' + \lambda X = 0,\ X(0) = X(1) = 0.[/dtex] Njeno rješenje je [dtex]\lambda_k = (k \pi)^2,\ X_k(x) = \sin(k \pi x),\ k \in \mathbb{N}.[/dtex] Sad tražimo rješenje oblika [dtex]\sum_{k = 1}^{\infty}{T_k(t) X_k(x)}[/dtex] za [tex]v[/tex]. Kad to uvrtimo u PDJ za [tex]v[/tex], dobimo (nakon deriviranja i prebacivanja) [dtex]\sum_{k = 1}^{\infty}\left(T''_k(t) + (k \pi)^2 T_k(t)\right)\sin(k \pi x) = t^2 \sin(\pi x).[/dtex] Primijetio da je s desne strane Fourierov red (koje li slučajnosti). Zato smijemo izjednačiti izraze uz [tex]\sin(k \pi x)[/tex] s obje strane. Tako dobimo ODJ [dtex]\begin{align}
T''_1(t) + \pi^2 T_1(t) & = t^2 \\
T''_k(t) + (k \pi)^2 T_k(t) & = 0 \ \textrm{ za } k \geq 2
\end{align}[/dtex]
Nastavit ću ako netko pita. Konačno rješenje je [dtex]u(x, t) = \frac{(\pi^4 + 2) \cos(\pi t) + \pi^2 t^2 - 2}{\pi^4} \sin(\pi x) + \frac{\sin(2 \pi t)}{2 \pi} \sin(2 \pi x) + x + 1.[/dtex]

#55: Autor/ica: Megy Poe,

Postano: 11:36 ned, 10. 6. 2012
—

pmli (napisa):

Ponovo 3.
Nakon supstitucije, dobimo početno-rubnu zadaću:
[dtex]\begin{align}
v_{tt} & = v_{xx} + t^2 \sin(\pi x) \ \textrm{ u } \ \langle 0, 1 \rangle \times \mathbb{R}^+ \\
v(x, 0) & = \sin(\pi x) \\
v_t(x, 0) & = \sin(2 \pi x) \\
v(0, t) & = 0 \\
v(1, t) & = 0
\end{align}[/dtex]
Na homogenu zadaću [dtex]\begin{align}
v_{tt}^H & = v_{xx}^H \ \textrm{ u } \ \langle 0, 1 \rangle \times \mathbb{R}^+ \\
v^H(x, 0) & = \sin(\pi x) \\
v_t^H(x, 0) & = \sin(2 \pi x) \\
v^H(0, t) & = 0 \\
v^H(1, t) & = 0
\end{align}[/dtex]primijenimo metodu separacije varijabli. Nakon malo igranja, dobimo Sturm-Liouvilleovu zadaću [dtex]X'' + \lambda X = 0,\ X(0) = X(1) = 0.[/dtex] Njeno rješenje je [dtex]\lambda_k = (k \pi)^2,\ X_k(x) = \sin(k \pi x),\ k \in \mathbb{N}.[/dtex] Sad tražimo rješenje oblika [dtex]\sum_{k = 1}^{\infty}{T_k(t) X_k(x)}[/dtex] za [tex]v[/tex]. Kad to uvrtimo u PDJ za [tex]v[/tex], dobimo (nakon deriviranja i prebacivanja) [dtex]\sum_{k = 1}^{\infty}\left(T''_k(t) + (k \pi)^2 T_k(t)\right)\sin(k \pi x) = t^2 \sin(\pi x).[/dtex] Primijetio da je s desne strane Fourierov red (koje li slučajnosti). Zato smijemo izjednačiti izraze uz [tex]\sin(k \pi x)[/tex] s obje strane. Tako dobimo ODJ [dtex]\begin{align}
T''_1(t) + \pi^2 T_1(t) & = t^2 \\
T''_k(t) + (k \pi)^2 T_k(t) & = 0 \ \textrm{ za } k \geq 2
\end{align}[/dtex]
Nastavit ću ako netko pita. Konačno rješenje je [dtex]u(x, t) = \frac{(\pi^4 + 2) \cos(\pi t) + \pi^2 t^2 - 2}{\pi^4} \sin(\pi x) + \frac{\sin(2 \pi t)}{2 \pi} \sin(2 \pi x) + x + 1.[/dtex]

Bi htio please raspisat ovu prvu di je to sve jedanko t^2...ja to nikako ne uspijem Ehm?

#56: Autor/ica: pmli,

Postano: 12:04 ned, 10. 6. 2012
—
[tex]T''_1(t) + \pi^2 T_1(t) = t^2[/tex] je linearna, nehomogena ODJ. Rješenje homogenog dijela je [tex]A \cos(\pi t) + B \sin(\pi t)[/tex], a tražimo partikularno rješenje u obliku polinoma 2. stupnja, tj. [tex]C t^2 + D t + E[/tex], jer je nehomogeni dio baš polinom 2. stupnja (i nema ga u rješenju homogenog dijela).

#57: Autor/ica: Megy Poe,

Postano: 12:27 ned, 10. 6. 2012
—

pmli (napisa):

[tex]T''_1(t) + \pi^2 T_1(t) = t^2[/tex] je linearna, nehomogena ODJ. Rješenje homogenog dijela je [tex]A \cos(\pi t) + B \sin(\pi t)[/tex], a tražimo partikularno rješenje u obliku polinoma 2. stupnja, tj. [tex]C t^2 + D t + E[/tex], jer je nehomogeni dio baš polinom 2. stupnja (i nema ga u rješenju homogenog dijela).

Ja sam to isto zakljucila al ne razumijem kak dobiješ ove pijeve? Ja kad to uvrstim dobijem da mi je C=1, A=1 a ostalo 0 Ehm?

#58: Autor/ica: KG,

Postano: 12:33 ned, 10. 6. 2012
—
Jel mi može netko malo pomoć oko ovog 4. zad: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/mmf/kolokviji/mmf2kol2012.pdf

Raspišem na 3 slučaja ovisno o x i y i problem je u eliptičkom slučaju kad bi trebao dobit A=C. Ja dobijem da je A=-C i to bi trebalo značit da imam negdje nekakvu grešku, al nikak da otkrijem gdje???

#59: Autor/ica: pmli,

Postano: 12:47 ned, 10. 6. 2012
—

Megy Poe (napisa):

pmli (napisa):

Ja sam to isto zakljucila al ne razumijem kak dobiješ ove pijeve? Ja kad to uvrstim dobijem da mi je C=1, A=1 a ostalo 0 Ehm?

Prvo uvrstiš partikularno rješenje u ODJ da odrediš [tex]C[/tex], [tex]D[/tex] i [tex]E[/tex]: [dtex]\begin{align}
(C t^2 + D t + E)'' + \pi^2 (C t^2 + D t + E) & = t^2 \\
2 C + \pi^2 C t^2 + \pi^2 D t + \pi^2 E & = t^2
\end{align}[/dtex] Znači, dobiš sustav [dtex]\begin{align}
\pi^2 C & = 1 \\
\pi^2 D & = 0 \\
2 C + \pi^2 E & = 0
\end{align}[/dtex] Koeficijente [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] odrediš iz početnog uvjeta (iz početnog uvjeta za [tex]v[/tex] dobiš početni uvjet za [tex]T_k[/tex]).

KG (napisa):

Jel mi može netko malo pomoć oko ovog 4. zad: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/mmf/kolokviji/mmf2kol2012.pdf

Raspišem na 3 slučaja ovisno o x i y i problem je u eliptičkom slučaju kad bi trebao dobit A=C. Ja dobijem da je A=-C i to bi trebalo značit da imam negdje nekakvu grešku, al nikak da otkrijem gdje???

Pa, ne mogu ti baš pomoći, zar ne? Najviše što ti mogu reći je da paziš da ti je uvijek pozitivan broj pod korijenom, na predznake i deriviraš li ok.
I da, ne moraš raspisivati parabolički slučaj, jer se on događa na osima. Također, kad bi se radilo kak spada, trebalo bi raspisivati za svaki kvadrant posebno zbog raznih mogućih predznaka.

#60: Autor/ica: Megy Poe,

Postano: 13:16 ned, 10. 6. 2012
—

pmli (napisa):

Megy Poe (napisa):

pmli (napisa):

Ja sam to isto zakljucila al ne razumijem kak dobiješ ove pijeve? Ja kad to uvrstim dobijem da mi je C=1, A=1 a ostalo 0 Ehm?

KG (napisa):

Hvala puno

Forum@DeGiorgi -> Metode matematičke fizike

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Idite na Prethodno 1, 2, 3, 4 Sljedeće :| |: Stranica 3 / 4.