Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu - DIFRAF- predavanja (skripta)

through

[^/[Print]\]
Idite na Prethodno 1, 2, 3, 4, 5 Sljedeće :| |:
Forum@DeGiorgi -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli

#41: Autor/ica: goranm,

Postano: 22:50 čet, 1. 11. 2012
—

sasha.f (napisa):

Može usput i napomena 6.13. Smile

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o6.pdf
to je trebalo dokazati u jednom kolokviju..

Neka je funkcija [tex]f\colon A\to\mathbb{R}^k[/tex] neprekidna u klasicnom smislu. Neka je U otvoren skup u [tex]\mathbb{R}^k[/tex]. Ako se niti jedna tocka skupa A ne preslika u skup U, onda je [tex]f^{-1}(U)=\emptyset[/tex], a prazan skup je po definiciji otvoren u bilo kojem topoloskom prostoru. Inace, neka je [tex]x\in f^{-1}(U)[/tex]. Onda je [tex]f(x)\in U[/tex], a zato sto je U otvoren, postoji [tex]\varepsilon >0[/tex] td. je [tex]K(f(x),\varepsilon)\subset U[/tex]. Jer je f neprekidna, onda je neprekidna u x pa za taj [tex]\varepsilon[/tex] postoji [tex]\delta>0[/tex] td. za svaki [tex]x'\in K(x,\delta)[/tex] je [tex]f(x')\in K(f(x),\varepsilon)\subset U[/tex]. Ali to povlaci da je [tex]f(K(x,\delta))\subset U[/tex] pa je [tex]K(x,\delta)\subset f^{-1}(U)[/tex], tj. [tex]f^{-1}(U)[/tex] je otvoren u A.

Obrnuto, neka je f neprekidna u topoloskom smislu. Neka je [tex]x\in A[/tex] te [tex]\varepsilon > 0[/tex]. Kako je [tex]K(f(x),\varepsilon)[/tex] otvoren skup u [tex]\mathbb{R}^k[/tex], onda je [tex]f^{-1}(K(f(x),\varepsilon))[/tex] otvoren skup u A. Ocito je [tex]x\in f^{-1}(K(f(x),\varepsilon)) [/tex] pa onda postoji [tex]\delta > 0[/tex] td. je [tex]K(x,\delta)\subset f^{-1}(K(f(x),\varepsilon))[/tex]. To znaci da je [tex]f(K(x,\delta)) \subset K(f(x),\varepsilon) [/tex], odnosno da je f neprekidna u x u klasicnom smislu. Kako se ovaj argument moze ponoviti za svaki x iz A, onda je f i neprekidna.

#42: Autor/ica: nuclear,

Postano: 16:10 sub, 3. 11. 2012
—
Ne treba mi naširoko i nadugačko objašnjavati diferencijale i diferencijabilnost funkcija itd (teoremi ili ostalo), ali bih voljela neku kratku pričicu zašto je sve tako kako je? Ako je moguće to objasniti Ehm?

Recimo muči me uvođenje linearnog operatora (iznenađenje) i korištenje skalarnih produkata. Kako su došli do toga? Što se tiče afine funkcije, ....zaboravih što je to Embarassed

#43: Autor/ica: goranm,

Postano: 17:06 sub, 3. 11. 2012
—

nuclear (napisa):

Ne treba mi naširoko i nadugačko objašnjavati diferencijale i diferencijabilnost funkcija itd (teoremi ili ostalo), ali bih voljela neku kratku pričicu zašto je sve tako kako je? Ako je moguće to objasniti Ehm?

Recimo muči me uvođenje linearnog operatora (iznenađenje) i korištenje skalarnih produkata. Kako su došli do toga? Što se tiče afine funkcije, ....zaboravih što je to Embarassed

Tesko je napisati kratku pricicu o tome. Diferencijal mozes motivirati s dva aspekta: jedan je taj da proucavanje neke jako divlje i neugodne funkcije zelimo svesti na proucavanje funkcija o kojima puno znamo, bez da izgubimo puno informacija o originalnoj funkciji koju proucavamo. U tom smislu uvodimo linearni operator, tj. linearnu funkciju koja jako dobro aproksimira originalnu funkciju i odaje puno informacija o njoj. Situacija je ista kao i u jednodimenzionalnom slucaju kada krivulju opisemo grafom neke funkcije, a onda tu funkciju aproksimiramo poligonalnom linijom, tj. tangentama, a do tangenata dolazimo pomocu derivacija.

Drugi aspekt se tice integracije. Jako puno funkcija je integrabilno (bolje receno Riemann-integrabilno, a sve neprekidne funkcije su takve, iako postoji i sira klasa Riemann-integrabilnih funkcija, ali to je trenutno nebitno), ali ne mogu se sve lako integrirati - kada dodjemo u takvu situaciju, onda posezemo za trikovima, a standardni trik je zamjena varijabli (supstitucija). Zamjenom varijabli efektivno jedan koordinatni sustav transformiramo u drugi i pritom izgubimo neke informacije - npr. povrsina koju graf funkcije zatvara s ravninom z=0 se promijeni jer se graf funkcije u novom koordinatnom sustavu deformira. Nakon mukotrpnog istrazivanja ispostavi se da jakobijan funkcije (determinanta diferencijala) upravo nadoknadi taj gubitak do kojeg dolazi pri transformaciji iz jednog koordinatnog sustava u drugi, a jakobijan funkcije moze postojati samo ako je funkcija diferencijabilna. To onda motivira uvodjenje diferencijala i njegovo proucavanje.

Sto se tice koristenja skalarnog produkta, nije mi jasno sto te muci. Afina funkcija je "pravac", tj. u jednodimenzionalnom slucaju to je funkcija oblika f(x)=ax+b, a u vektorskom slucaju je to [tex]f\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n, f(x)=Ax+b[/tex], gdje je A nxm matrica, a b je vektor u [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. To je transformacija koja pravce preslikava u pravce (i jos neka svojstva, guglaj affine transformation).

#44: Autor/ica: Bole13,

Postano: 16:47 ned, 4. 11. 2012
—
Može malo pojašnjenje dokaza teorema 4.17., čini mi se da su tu neki tipfeleri.

=> Pretpostavljam da umjesto x treba pisati a?
<= Nije mi jasno kako smo mi točno pretpostavivši da je x (a?) element iz A i njegovo gomilište pokazali da A sadrži sva svoja gomilišta.

#45: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 17:10 ned, 4. 11. 2012
—
Da, treba ići [tex]a[/tex] umjesto [tex]x[/tex].
I to je zapravo dokaz. Svaka kugla oko neke točke ima element koji je isto unutar skupa (jer je gomilište). Uzmi sve manje i manje kugle i konstruiraj niz tako da uzmeš po jednu točku iz svake takve kugle. Pošto se kugle smanjuju, udaljenosti između [tex]a[/tex] i elementa niza, što više raste indeks [tex]k[/tex], se smanjuje, a to upravo znači da niz konvergira u [tex]a[/tex].
Ako je prešturo objašnjenje (a mislim da jest jer trenutno ne stignem napisati više), probaj si skicirati takve kugle i uzmi po jednu točku iz svake kugle. Onda će ti biti intuitivno jasno da niz konvergira baš u točku [tex]a[/tex].

#46: Autor/ica: Bole13,

Postano: 17:23 ned, 4. 11. 2012
—
Mučilo me zapravo zašto iz ovog slijedi da nema gomilišta koja nisu u A, ali mislim da mi je sad jasno.

#47: Autor/ica: pedro,

Postano: 11:36 čet, 29. 11. 2012
—
može primjer 12.12 malo pojasniti?

Added after 14 minutes:

čini mi se da ima pogrešaka pred kraj pa mi nije baš najjasnije? Question

#48: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 13:45 čet, 29. 11. 2012
—
Funkcija [tex]h[/tex] je uvedena da imaš jednostavniji prikaz kao [tex]f=g \circ h[/tex]. Stoga je po derivaciji kompozicije [tex]\nabla f = \nabla g \circ h \nabla h[/tex], odnosno [tex]\nabla f(x,y) = \nabla g(h(x,y)) \nabla h(x,y)[/tex] (to je zapravo četvrta jednakost po redu).
Do sada već znamo kako za ovakve funkcije izgleda Jacobijeva matrica, pa vrijedi sljedeće: [tex]\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial g}{\partial x}(x^2+y^2,x^3+y^3) & \frac{\partial g}{\partial y}(x^2+y^2,x^3+y^3) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2x & 2y \\ 3x^2 & 3y^2 \\ \end{bmatrix}[/tex].
Sada posljednje dvije relacije dobivaš matričnim množenjem matrica s desne strane jednakosti te usporedbom komponenti matrice s lijeve strane i novonastale matrice.

#49: Autor/ica: pedro,

Postano: 11:26 ned, 9. 12. 2012
—
može li netko objasniti malo bolje pojam bilinearnog preslikavanja?

#50: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 17:12 ned, 9. 12. 2012
—
Pojasnit ću to preko preslikavanja [tex]B_c : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/tex] danog s [tex]B_c(x_1,x_2)=(D^2f(c)x_1)x_2[/tex], za neku dva puta diferencijabilnu funkciju [tex]f[/tex], jer pretpostavljam da zbog tog razmatranja i pitaš to.
(Ukratko, za preslikavanje spomenuto neposredno nakon definicije [tex]15.4[/tex] na ovom linku i u slučaju [tex]m=1[/tex], kao što se spominje nekoliko redaka dolje.)

Preslikavanje [tex]B_c[/tex] je bilinearno ako je linearno u obe svoje varijable. Preciznije, preslikavanje [tex]x_1 \rightarrow B_c(x_1,x_2)[/tex] je linearno ([tex]B_c(ax_1'+bx_1'',x_2)=aB_c(x_1',x_2)+bB_c(x_1',x_2), \forall a, b \in \mathbb{R}[/tex]), kao i preslikavanje [tex]x_2 \rightarrow B_c(x_1,x_2)[/tex] ([tex]B_c(x_1,ax_2'+bx_2'')=aB_c(x_1,x_2')+bB_c(x_1,x_2''), \forall a, b \in \mathbb{R}[/tex]).
Dakle, promatrajući preslikavanje [tex]B_c[/tex], ako fiksiraš, recimo, [tex]x_2[/tex], odnosno, uvrstiš da je [tex]x_2=t[/tex], ono što dalje promatraš jest izraz [tex]B_c(x_1,t)=(D^2f(c)x_1)t[/tex]. On ovisi samo o jednoj varijabli, koja je [tex]x_1[/tex], i on je linearan u toj varijabli, stoga dobivaš preslikavanje u ovisnosti o jednoj [tex]n[/tex]-dimenzionalnoj varijabli, [tex]x_1[/tex], i ponaša se kao linearni operator.
Potpuno analogno ako fiksiraš [tex]x_1[/tex] i staviš [tex]x_1=t[/tex].

#51: Autor/ica: student_92,

Postano: 23:17 sri, 19. 12. 2012
—
Teorem [tex]15.10[/tex] (Schwarz).
Može li mi netko objasniti smisao definiranja funkcije [tex]S(h, k)[/tex] te što ona predstavlja?

#52: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 1:24 čet, 20. 12. 2012
—
Osim što olakšava zapis jednakosti i izraza koje promatramo te naglašava parametre o kojima ovisi odabir točke po teoremu srednje vrijednosti, mislim da i nema neke generalne koristi ili ideje od te funkcije. Smile

Možda da te podsjeti da inače kod takvih tipova problema promatraš razlike funkcijskih vrijednosti u pojedinim argumentima, pa da te to asocira na teorem o srednje vrijednosti. Razz

(Ukratko, ako želiš izbjeći tu funkciju pri pisanju svog dokaza, možeš to napraviti i dokaz će ti i dalje biti jednako dobar i koristan.)

#53: Autor/ica: goranm,

Postano: 3:47 čet, 20. 12. 2012
—

student_92 (napisa):

Teorem [tex]15.10[/tex] (Schwarz).
Može li mi netko objasniti smisao definiranja funkcije [tex]S(h, k)[/tex] te što ona predstavlja?

Mozes ju interpretirati kao mjeru odstupanja funkcije f od bilinearne funkcije. Dokaz upravo i analizira tu situaciju, tj. prvo fiksira drugu varijablu i ispituje linearnost prve, a zatim fiksira prvu varijablu i ispituje linearnost druge.

Dva tipfelera u prvom dijelu dokaza: (h,k) ne moze biti bilo koji element u [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. Mora biti "dovoljno malen", tj. takav da (x+h,y+k) ne ispadne iz A. Drugi tipfeler je taj sto funkcija S ne moze biti definirana na nekoj okolini (0,0) samo zato sto je A otvoren. Moze biti definirana tamo gdje je f definirana, tj. na nekoj okolini od (x,y) iz A (s obzirom da njih fiksiramo) td. (x+h,y+h) ne ispadaju iz te okoline.

#54: Autor/ica: frutabella,

Postano: 19:31 čet, 20. 12. 2012
—
Pozdrav,

molila bih da me netko obvijesti do kud je danas prof. Pandzic stigao s gradivom?

#55: Autor/ica: Hubert Cumberdale,

Postano: 13:19 sub, 22. 12. 2012
—
Par pitanja! Sad

1. Lema 11.8, nije mi jasan ovaj prelazak s treće na četvrtu nejednadžbu, kako se to dobije?

2. Teorem 14.4, zadnja nejednadžba, otkuda slijede nejednakosti? Što je zapravo taj integral? I ne bi li zadnja nejednadžba trebala slijediti iz pretpostavke ograničenosti diferencijala, zar možemo ograničiti i integral ograničene funkcije? Tu sam potpuno izgubljena... Ehm?

3. Samo kratko, u Korolaru 15.2., ne bi li pretpostavka trebala biti da je A iz [tex]R^n[/tex], a ne kako je tamo napisano iz [tex]R^m[/tex]?

Puno hvala unaprijed! Very Happy

#56: Autor/ica: Loo,

Postano: 15:19 sub, 22. 12. 2012
—
lema (nadam se da misliš na 3. i 4. jednadžbu Smile

):
[tex]\displaystyle\lim_{x\to c} \frac {(f(x)-f(c)-L(x-c)|e_i)}{||x-c||}=\displaystyle\lim_{x\to c} \frac {(f(x)|e_i)-(f(c)|e_i)-(L(x-c)|e_i)}{||x-c||}[/tex] (zbog linearnosti skalarnog produkta)

sada je [tex](f(x)|e_i)=f_i(x), (f(c)|e_i)=f_i(c)[/tex]
i sjeti se linearne, vrijedi [tex](L(x-c)|e_i)=(x-c|L^*ei)[/tex], no budući da je [tex]L\in L(R^n, R^m), L^*=L^T[/tex], pa je [tex](L(x-c)|e_i)=(x-c|L^Te_i)[/tex]
također zbog komutativnosti skalarnog produkta nad [tex]R^n[/tex] slijedi [tex](L(x-c)|e_i)=(L^Te_i| x-c)[/tex]

#57: Autor/ica: goranm,

Postano: 15:28 sub, 22. 12. 2012
—

Hubert Cumberdale (napisa):

Par pitanja! Sad

1. Lema 11.8, nije mi jasan ovaj prelazak s treće na četvrtu nejednadžbu, kako se to dobije?

Kada na funkciju f skalarno djelujes vektorom [tex]e_i[/tex], onda ti ostaje samo i-ta koordinata te funkcije, tj. [tex]f_i[/tex]; to objasnjava zasto je indeks i uz f(x) i f(c). Transponirana matrica se pojavila zbog sljedeceg: kako je (La|b)=(b|La) u realnom vektorskom prostoru, onda je (b|La)=(L*b|a), gdje je L* operator (matrica) adjungiran operatoru L, tj. ako L zapisujemo u paru standardnih baza, onda L* dobivamo iz L tako sto matricu od L konjugiramo i transponiramo. S obzirom da smo u realnom prostoru, konjugiranje nista ne radi pa se sve svodi na transponiranje, tj. L*=L^T.

Citat:

2. Teorem 14.4, zadnja nejednadžba, otkuda slijede nejednakosti? Što je zapravo taj integral? I ne bi li zadnja nejednadžba trebala slijediti iz pretpostavke ograničenosti diferencijala, zar možemo ograničiti i integral ograničene funkcije? Tu sam potpuno izgubljena... Ehm?

Prva nejednakost je jednakost (tako da, ako i stoji simbol za nejednakost, to ne mijenja nista). Druga nejednakost sljedi iz nejednakosti [tex]|\int_a^b f(x)dx|\leq\int_a^b|f(x)|dx[/tex]. Treca nejednakost slijedi iz toga sto je diferencijal ogranicen, a integral monoton linearni funkcional pa u iducem integralu diferencijal mozes zamijeniti nekom pozitivnom konstantom M (s tim da je ispred integrala [tex]\leq[/tex] jer diferencijal mozda nikada ne dostigne M, ali sigurno ga ne prestigne), a ||y-x|| ne ovisi o [tex]\lambda[/tex] pa to mozes izbaciti van iz integrala.

Citat:

3. Samo kratko, u Korolaru 15.2., ne bi li pretpostavka trebala biti da je A iz [tex]R^n[/tex], a ne kako je tamo napisano iz [tex]R^m[/tex]?

Da, sve funkcionira ako je A iz [tex]\mathbb{R}^n[/tex] (iako sam korolar nije neistinit; samo pokriva puno manje slucajeva Smile

)

Inace, kao drugu literaturu (a mozda i prvu!) preporucam da pogledate http://www.math.hr/~ungar/NASTAVA/MA/Analiza3.pdf
Neke stvari su detaljnije zapisane, a i ima puno manje tipfelera.

#58: Autor/ica: Hubert Cumberdale,

Postano: 16:07 sub, 22. 12. 2012
—
Puno ti hvala, sve je puno jasnije! Smile

Samo me još malo muči taj integral diferencijala...
Možeš li molim te to samo malo raspisati? Kako se integrira i može li se uopće integrirati unatoč normi? Nekako mi se čini da bismo morali na kraju imati ||Df(x)(y-x)||, jer tek kada to imamo iz pretpostavke teorema slijedi da je to manje od M||y-x||, a meni nikako nije jasno kako iz ovog integrala doći do ||Df(x)(y-x)||. Ehm?

Još jednom, puno hvala!

#59: Autor/ica: goranm,

Postano: 16:46 sub, 22. 12. 2012
—

Hubert Cumberdale (napisa):

Puno ti hvala, sve je puno jasnije! Smile

Još jednom, puno hvala!

Unutar integrala imas [tex]||Df((1-\lambda)x+\lambda y)(y-x)||[/tex]. Neka je A diferencijal od f u tocki [tex](1-\lambda)x+\lambda y[/tex], tj. [tex]A=Df((1-\lambda)x+\lambda y)[/tex]. Sada imas
[dtex]\int_0^1||Df((1-\lambda)x+\lambda y)(y-x)||d\lambda = \int_0^1 ||A(y-x)||d\lambda \leq \int_0^1 M||y-x||d\lambda=M||y-x||\int_0^1 d\lambda.[/dtex]

U pretpostavci zapravo imas da je [tex]||Df(x)||\leq M[/tex], za svaki x iz domene od f, no kako za svaki linearni operator A medju konacnodimenzionalnim vektorskim prostorima vrijedi [tex]||Ax||\leq ||A||\cdot ||x||[/tex], gdje je "srednja" norma operatorska, a "zadnja" norma euklidska, onda to automatski povlaci da je [tex]||Df(x)(y)||\leq ||Df(x)||\cdot ||y||\leq M||y||[/tex].

#60: Autor/ica: Hubert Cumberdale,

Postano: 17:09 sub, 22. 12. 2012
—
Aaaa, pa jasno! Malo sam debilko, nisam se sjetila da je [tex]M||y-x||=M||y-x||\int_0^1 d\lambda[/tex], pa nisam mogla povezati...

Po stoti put, hvala! Very Happy

Forum@DeGiorgi -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Idite na Prethodno 1, 2, 3, 4, 5 Sljedeće :| |: Stranica 3 / 5.