Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu

through

[^/[Print]\]
Idite na Prethodno 1, 2, 3, 4, 5 Sljedeće :| |:
Forum@DeGiorgi -> Teorija skupova

#61: Autor/ica: mdoko, Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

Postano: 19:45 čet, 6. 2. 2014
—

stara (napisa):

Još bih zamolila nekoga za rješenje zadnjeg zadatka druge grupe u kolokviju iz 2008:

http://web.math.pmf.unizg.hr/~veky/B/TS.k2z.08-07-02.pdf

Neka je [tex]A[/tex] proizvoljan beskonačan skup i neka je [tex]S \stackrel{\mathrm{def}}{=} \{\mathcal{K}\mid \mathcal{K} \subseteq \mathcal{P}(A) \land (\forall X\in\mathcal{K})(A\setminus X\in\mathcal{K}) \land (\forall X\in\mathcal{K})(\forall Y\in\mathcal{K})(X\cup Y\in\mathcal{K})\land (\forall X\in\mathcal{K})(\mathop{\mathrm{card}}X\geqslant \aleph_0)\}[/tex]. Treba dokazati postojanje maksimalnog elementa u parcijalno uređenom skupu [tex](S,\subset)[/tex].

Kao prvo, uočimo da je [tex]S\not=\emptyset[/tex], jer je [tex]\emptyset\in S[/tex].

Neka je sada [tex]\mathcal{C}[/tex] proizvoljan neoprazan lanac u [tex]S[/tex]. Označimo [tex]\mathcal{G}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\bigcup\mathcal{C}[/tex].

Očito vrijedi [tex](\forall\mathcal{K}\in\mathcal{C})(\mathcal{K}\subseteq\mathcal{G})[/tex]. Ako dokažemo da je [tex]\mathcal{G}\in S[/tex], dokazali smo da [tex]\mathcal{C}[/tex] ima gornju među u [tex]S[/tex].

Neka su [tex]X, Y\in\mathcal{G}[/tex] proizvoljni. Kako je [tex]X\in\bigcup\mathcal{C}[/tex], vidimo da postoji [tex]\mathcal{K}_x\in\mathcal{C}[/tex] takav da je [tex]X\in\mathcal{K}_x[/tex]. Analogno vidimo da postoji [tex]\mathcal{K}_y\in\mathcal{C}[/tex] takav da je [tex]Y\in\mathcal{K}_y[/tex].

Kako je [tex]\mathcal{C}[/tex] lanac, vidimo da vrijedi [tex]\mathcal{K}_x\subseteq\mathcal{K}_y[/tex] ili [tex]\mathcal{K}_y\subseteq\mathcal{K}_x[/tex]. Definirajmo [tex]\mathcal{K}_0\stackrel{\mathrm{def}}{=}\mathcal{K}_x\cup\mathcal{K}_y[/tex] i uočimo da vrijedi [tex]X,Y\in\mathcal{K}_0[/tex] i [tex]\mathcal{K}_0\in\mathcal{C}[/tex].

Kako bi dokazali da je [tex]\mathcal{G}\in S[/tex] trebamo provjeriti tri stvari.

1. Vrijedi li [tex]A\setminus X\in\mathcal{G}[/tex]?
Kako je [tex]X\in\mathcal{K}_0\in\mathcal{C}\subseteq S[/tex], mora biti i [tex]A\setminus X\in\mathcal{K}_0\subseteq\mathcal{G}[/tex].

2. Vrijedi li [tex]X\cup Y\in\mathcal{G}[/tex]?
Kako vrijedi [tex]X,Y\in\mathcal{K}_0\in\mathcal{C}\subseteq S[/tex], mora vrijediti i [tex]X\cup Y\in\mathcal{K}_0\subseteq\mathcal{G}[/tex].

3. Da li je [tex]X[/tex] beskonačan?
Znamo da je [tex]\mathcal{K}_0\in\mathcal{C}\subseteq S[/tex], pa p definiciji skupa [tex]S[/tex] svi elementi od [tex]\mathcal{K}_0[/tex] moraju biti beskonačni. Kako je [tex]X\in\mathcal{K}_0[/tex], vidimo da je [tex]X[/tex] beskonačan skup.

Ovim smo dokazali da svaki lanac u [tex]S[/tex] ima gornju među u [tex]S[/tex], pa iz Zornove leme slijedi da [tex]S[/tex] ima maksimalni element.

#62: Autor/ica: aptx,

Postano: 21:33 čet, 6. 2. 2014
—
http://goo.gl/qgk11U

6.zad; U argumentaciji topološke potpunosti skupa A što znači oznaka "rngX" i nakon toga izraz za supA ? Confused

#63: Autor/ica: mdoko, Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

Postano: 21:43 čet, 6. 2. 2014
—

aptx (napisa):

http://goo.gl/qgk11U

6.zad; U argumentaciji topološke potpunosti skupa A što znači oznaka "rngX" i nakon toga izraz za supA ? Confused

[tex]\mathop{\mathrm{rng}}X[/tex] - slika relacije [tex]X[/tex]

[tex]\sup_{yXm}y[/tex] je pokrata za [tex]\sup\{y\mid yXm\}[/tex], pri čemu je [tex]yXm[/tex] pokrata za [tex](y,m)\in X[/tex].

#64: Autor/ica: aj_ca_volin_te,

Postano: 22:08 čet, 6. 2. 2014
—
Kako pedantno dokazati [tex] \omega+\omega^{2}=\omega^{2}[/tex]

#65: Autor/ica: mdoko, Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

Postano: 22:24 čet, 6. 2. 2014
—

aj_ca_volin_te (napisa):

Kako pedantno dokazati [tex] \omega+\omega^{2}=\omega^{2}[/tex]

[tex]\omega+ \omega^2 = \omega\cdot 1 + \omega\cdot\omega = \omega\cdot(1+\omega) = \omega\cdot\omega=\omega^2[/tex]

Preostaje pedantno dokazati da je [tex]1+\omega = \omega[/tex] i lijevu distributivnost množenja prema zbrajanju, no to vjerojatno znaš napraviti. Wink

#66: Autor/ica: aj_ca_volin_te,

Postano: 22:29 čet, 6. 2. 2014
—
Hvala mdoko, u moje i Zenonovo ime Very Happy

#67: Autor/ica: stara,

Postano: 23:27 čet, 6. 2. 2014
—
Moze li pomoc sa ovim zadatkom?

Neka je (X; <) dobro ureden skup. Dokazite da svaka neprazna familija
podskupova od X ima minimalni element s obzirom na relaciju \biti pocetni komad"

#68: Autor/ica: mdoko, Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

Postano: 23:40 čet, 6. 2. 2014
—

stara (napisa):

Neka je (X; <) dobro ureden skup. Dokazite da svaka neprazna familija
podskupova od X ima minimalni element s obzirom na relaciju \biti pocetni komad"

Prodskupovi dobro uređenih skupova su i sami dobro uređeni s obzirom na naslijeđenu relaciju uređaja. To znači da su slični ordinalima. Ako je dobro uređen skup [tex]a[/tex] početni komad dobro uređenog skupa [tex]b[/tex], onda je [tex]\mathrm{Ord}(a)\in \mathrm{Ord}(b)[/tex], pri čemu [tex]\mathrm{Ord}(x)[/tex] označava ordinalni broj dobro uređenog skupa [tex]x[/tex]. U slučaju da postoji familija podskupova od [tex]X[/tex] koja s obzirom na "biti početni komad" nema najmanji element, onda u toj familiji postoji lanac bez najmanjeg elementa. Taj lanac nam direktno daje skup ordinala bez najmanjeg elementa, što je nemoguće.

#69: Autor/ica: aj_ca_volin_te,

Postano: 18:47 sub, 15. 2. 2014
—
Može jedan primjer particije skupa [tex]\mathbb{R}[/tex] na neprebrojivo mnogo prebrojivih skupova.

Unaprijed Hvala! Wink

#70: Autor/ica: mdoko, Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

Postano: 18:56 sub, 15. 2. 2014
—

aj_ca_volin_te (napisa):

Može jedan primjer particije skupa [tex]\mathbb{R}[/tex] na neprebrojivo mnogo prebrojivih skupova.

#71: Autor/ica: aj_ca_volin_te,

Postano: 19:06 sub, 15. 2. 2014
—

mdoko (napisa):

aj_ca_volin_te (napisa):

Može jedan primjer particije skupa [tex]\mathbb{R}[/tex] na neprebrojivo mnogo prebrojivih skupova.

Hvala puno mdoko! Thank you

taman sam ga i ja skuzio pa da cu ga pretipkati ovdje Very Happy

#72: Autor/ica: aj_ca_volin_te,

Postano: 19:20 ned, 16. 2. 2014
—
[tex]A\setminus(B\cup C)\cup(A\cap C)\setminus B[/tex]
-dali su neke operacije "van zagrada" prioritetnije u odnosu na druge ili idem laganini po redu sljeva na desno?

#73: Autor/ica: angelika,

Postano: 19:33 uto, 18. 2. 2014
—
Jesu li QxN i QxZ slični? Meni se čini mi da nisu, ali nisam sigurna

#74: Autor/ica: aj_ca_volin_te,

Postano: 19:47 uto, 18. 2. 2014
—
ako gledas popravni iz 2012 uređene antileksikografski oba su slična s [tex]\mathbb{Q}[/tex]. Dakle slični su Wink

#75: Autor/ica: angelika,

Postano: 22:03 uto, 18. 2. 2014
—

aj_ca_volin_te (napisa):

ako gledas popravni iz 2012 uređene antileksikografski oba su slična s [tex]\mathbb{Q}[/tex]. Dakle slični su Wink

ajme da

hvala ti

#76: Autor/ica: aj_ca_volin_te,

Postano: 22:12 sri, 19. 2. 2014
—
Plzz netko Laughing

pomoc oko zadatka s ovogodisnjeg prvog kolokvija Very Happy

Zadatak
Odredite kardinalnost skupa svih prebrojivih relacija na [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex].

[tex]S[/tex]={skup svih prebrojivih relacija na [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex]}[tex]\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex]

[tex]\Rightarrow k(S)\leq k(\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R}))=2^{c}[/tex]

ugl sada mi je problem kako da konstruiram injekciju iz [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex] u [tex]S[/tex] Mad

#77: Autor/ica: mdoko, Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

Postano: 14:17 čet, 20. 2. 2014
—

aj_ca_volin_te (napisa):

Plzz netko Laughing

pomoc oko zadatka s ovogodisnjeg prvog kolokvija Very Happy

Zadatak
Odredite kardinalnost skupa svih prebrojivih relacija na [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex].

Ovo ne vrijedi: [tex]S[/tex]={skup svih prebrojivih relacija na [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex]}[tex]\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex]

Razlog: relacija na [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex] je podskup od [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex], odnosno element od [tex]\mathcal{P}\left(\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})\right)[/tex], prema tome: [tex]S \subseteq \mathcal{P}\left(\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})\right)[/tex].

Slijedi rješenje zadatka, no prije toga mali disclaimer: Budući da je zadatak malo teži, neću raspisivati sve detalje, nego ću za neke manje-više očite stvari reći da se lako vidi, pa promisli zašto se lako vidi. Wink

Osim toga, kada mi zatreba skup neke kardinalnosti, umjesto da kažem npr. "uzmimo prozivoljni skup kardinalnosti [tex]2^\mathfrak{c}[/tex]", jednostavno ću uzeti baš [tex]2^\mathfrak{c}[/tex] jer je to sasvim dobar skup odgovarajuće kardinalnosti, pa time izbjegavam uvođenje dodatnih oznaka u raspis koji će ionako izgledati kao da je prepun hijeroglifa.

Trebamo odrediti kardinalnost skupa [tex]S=\{\rho\mid\rho\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{R})\times\mathcal{P}(\mathbb{R})\land\mathop{\mathrm{card}}\rho=\aleph_0\}[/tex]. Lako se vidi da nije bitno čega je točno [tex]\rho[/tex] podskup, nego nam je samo bitna kardinalnost tog skupa. Prema tome, za skup [tex]S'=\{X\mid X\subseteq 2^\mathfrak{c} \land \mathop{\mathrm{card}}X=\aleph_0\}[/tex] vrijedi [tex]S\sim S'[/tex].

Prebrojive podskupove možemo promatrati kao injektivne slike prebrojivih skupova. Definirajmo stoga skup [tex]S''=\{f\mid f\colon\aleph_0\to 2^\mathfrak{c} \land f \text{ je injekcija}\}[/tex]. Uočimo da je preslikavanje [tex]f\mapsto\mathop{\mathrm{rng}}f[/tex] surjekcija sa [tex]S''[/tex] na [tex]S'[/tex], što nam daje [tex] \mathop{\mathrm{card}}S'\leqslant \mathop{\mathrm{card}} S''[/tex]. Kako je [tex]S''\subseteq {}^{\aleph_0}{\left(2^\mathfrak{c}\right)}[/tex], vidimo da vrijedi i [tex]\mathop{\mathrm{card}}S''\leqslant \left(2^\mathfrak{c}\right)^{\aleph_0}=2^\mathfrak{c}[/tex]. Ovim smo dobili gornju ogradu na kardinalnost od [tex]S'[/tex]: [tex]\mathop{\mathrm{card}} S' \leqslant 2^\mathfrak{c}[/tex].

Kako bismo dobili i donju ogradu, promotrimo funkciju [tex]\Phi\colon 2^{\mathfrak{c}}\setminus\aleph_0\to S'[/tex] koja proizvoljnom ordinalu [tex]\alpha\in2^{\mathfrak{c}}\setminus\aleph_0[/tex] pridružuje skup [tex]\Phi(\alpha) \mathop{:=} \aleph_0\cup\{\alpha\}[/tex]. Očito vrijedi [tex]\mathop{\mathrm{card}}\left(\Phi(\alpha)\right) = \aleph_0[/tex], pa je prema tome [tex]\Phi(\alpha)[/tex] uistinu element skupa [tex]S'[/tex], odnosno funkcija [tex]\Phi[/tex] je dobro definirana. Injektivnost funkcije [tex]\Phi[/tex] trivijalno slijedi iz definicije, što znači da vrijedi [tex]2^\mathfrak{c} = \mathop{\mathrm{card}}\left( 2^{\mathfrak{c}}\setminus\aleph_0\right) \leqslant \mathop{\mathrm{card}} S'[/tex].

Ovim smo dokazali da je [tex]\mathop{\mathrm{card}} S' = 2^{\mathfrak{c}}[/tex], a zbog ekvipotentnosti skupova [tex]S[/tex] i [tex]S'[/tex] očito je i [tex]\mathop{\mathrm{card}} S = 2^{\mathfrak{c}}[/tex].

#78: Autor/ica: aj_ca_volin_te,

Postano: 17:14 čet, 20. 2. 2014
—
Bomee nisam se bas nadao da ce ovo biti ovako divlje Razz

ali sve je jasno Wink

...ovo zasluzuje vise od la pohvale koju cu opet morati dati na nekom drugom postu Very Happy

....ako bude prilike imate Malo pivce za zivce

od mene

Hvala puno mdoko Very Happy

#79: Autor/ica: marsupial,

Postano: 18:43 ned, 7. 12. 2014
—
Da li je netko možda rješavao 143. zadatak iz skripte?

#80: Autor/ica: Loo,

Postano: 19:47 ned, 7. 12. 2014
—
Koji dio te točno muči?
Ukratko ću ispričati rješenje pa reci što treba detaljnije Smile

[tex]A[/tex] su zapravo nekonstantni polinomi (tj. polinomi stupnja barem 1) jedne varijable s koeficijentima u [tex]\mathbb{Q}[/tex].

Relacija je irefleksivna jer množenjem nekog takvog polinoma s nečim stupnja barem 1 ne možeš nikad dobiti njega samog.
Tranzitivna je jer je umnožak polinoma iz [tex]A[/tex], opet u [tex]A[/tex]. (samo raspiši po definiciji [tex]\prec[/tex])
Nije linearni uređaj jer npr bilo koja dva različita polinoma istog stupnja nisu usporedivi.
Uzmi npr. [tex]p(x)=x+1, q(x)=x+2[/tex]. Ne možeš pomnožiti niti jedan od njih s nečim iz [tex]A[/tex] i dobiti ovaj drugi.

Forum@DeGiorgi -> Teorija skupova

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Idite na Prethodno 1, 2, 3, 4, 5 Sljedeće :| |: Stranica 4 / 5.