ljpalle (napisa): |
1. Zadatak
Pretpostavljam da se nije mislilo u rjesenju da je [tex]L(x) = 1[/tex] nego vec [tex]\lim_{x \to \infty} L(x) = 1[/tex]. |
ljpalle (napisa): |
2.Zadatak
Malim racunom se moze dobiti ocjena da je limes u intervalu [tex][\pi^{-2}, 2 \pi^{-2}][/tex], a ako se uzme u obzir konveksnost funkcije [tex]f[/tex], dobije se i bolja ocjena da je limes u intervalu [tex] [\frac{3}{2} \pi^{-2}, 2 \pi^{-2}][/tex]. |
Citat: |
Mislilo se da je [tex]\lim_n (n L) = 1[/tex] (bar san ja tako svatila rješenja). |
Citat: |
Točan odgovor je navodno 7 (a uvrštavanjem dovoljno velikih brojeva u Wolfram alphu mogu naslutiti da bi rješenje bilo \frac{1}{6} , šta bi odgovaralo tom kao točnom odgovoru). |
ljpalle (napisa): |
Prvo treba malo pripaziti jer imam malo drugacije oznake (jer OP ima ocitu gresku; [tex]L[/tex] je prema njemu samo broj, pa je trazeni limes trivijalan). Drugo, ako dobro shvacam sto zelis reci, da je (prema mojim oznakama) [tex]L(x) = 1[/tex], to je prema gornjem racunu nemoguce ako nisam napravio gresku; lako se pokaze da za dovoljno veliki [tex]x[/tex] je [tex]S(x) < x[/tex], pa i [tex]L(x) < 1[/tex]. |
ljpalle (napisa): |
Ipak sam uspio naci rjesenje. Ideja je zapravo jednostavna. Prvo supstituiramo [tex]2^{n-1}[/tex] te sumiramo u 'suprotnom smjeru' tako da singularitet bude u 0. Tada se trazi limes niza
[dtex] L_n' = \frac{1}{4n} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \cot^2 ( \frac{\pi}{2} \frac{r}{n} ). [/dtex] Ideja je sada oduzeti Riemannovu sumu koja oponasa [tex]x \mapsto 1/x^2[/tex]; motivacija je za to da se tako otprilike ponasa [tex]\cot^2 = 1 / \tan^2[/tex] u nuli s desne strane. Dakle, definiramo li funkciju [tex]g(x) = cot^2 x - 1/x^2[/tex], vidimo da se trazi limes niza [dtex] L_n' = \frac{1}{4 n^2} \sum_{r=1}^{n} g(\frac{\pi}{2} \frac{r}{n}) + \frac{1}{4 n^2} \sum_{r=1}^{n} \frac{4}{\pi^2} \frac{n^2}{r^2} = \frac{1}{4 n^2} \sum_{r=1}^{n} g(\frac{\pi}{2} \frac{r}{n}) + \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{\pi^2 r^2}. [/dtex] Sada standardnim razmatranjima se pokaze da se [tex]g[/tex] oko nule ponasa kao [tex]x \mapsto 1/x[/tex] pa je prvi clan u nizu za veliki [tex]n[/tex] otprilike const [tex] \frac{\ln n}{n}[/tex], tj. tezi u [tex]0[/tex]. Slijedi [dtex] \lim_n L_n' = \pi^{-2} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{r^2} = \frac{1}{6}. [/dtex] |
output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.