Dva limesa
Select messages from
 # through # FAQ
[/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2
#1: Dva limesa Autor/ica: Mala_022, Lokacija: ...evo mene među moje... PostPostano: 22:00 sri, 11. 5. 2016
    —
Pozdrav svima!

Nakon godina neaktivnosti na Forumu, evo me nazad po pomoć (long live DeGiorgi) Smajl & namig
Naišla san na dva zadatka s limesima, a s obziron na to da mi je u međuvrimenu malo zakržlja mozak, zamolila bi koji hint od vas kojima je još friško Pray

1. Neka je , odredi .
Rješenje bi kao tribalo ispasti 1. Ja san ga uspila odozgo ograničiti s 1 koristeći A-G nejednakost, ali za donju granicu mi ništa upotrebljivo ne pada na pamet (tj. sve čega se sitin ima limes u 0, a to mi ne pomaže puno). Tin više mi je sumnjivo šta za različite x-eve dobijen različit limes. Ko je tu lud?

2. Izračunaj .
Za ovo san imala hrpu ideja koje me nisu odvele nigdi. Sigurna san da je nešto preočito, ali ja ne vidin Ja to stvarno ne znam
#2:  Autor/ica: ljpalle,  PostPostano: 23:20 sri, 18. 5. 2016
    —
1. Zadatak - Ovdje ocito valja pretpostaviti da je [tex]x > 0[/tex]. Slucaj [tex]x = 0[/tex] je lagan.

Primijetimo da niz mozemo napisati u obliku
[dtex]
L_n (x) = n x \Big( \Big(\prod_{i=1}^{n} (1 + \frac{2^{-i}}{x}) \Big )^{1/n} - 1 \Big).
[/dtex]
i sada standardnim 'trikom' s logaritmom napisemo u obliku
[dtex]
L_n (x) = x \frac{ \exp \Big( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln( 1 + \frac{2^{-i}}{x} ) \Big ) - 1 }{ 1/n }.
[/dtex]
Oznacimo niz [tex]S_n (x) = \sum_{i=1}^{n} \ln( 1 + \frac{2^{-i}}{x} ) [/tex] i primijetimo da on konvergira k nekom pozitivnom broju S(x). Sada mozemo zapisati
[dtex]
L_n (x) = x S_n (x) \frac{ \exp \Big( \frac{1}{n} S_n (x) \Big ) - 1 }{ \frac{1}{n} S_n (x) }.
[/dtex]
Iz ovog je sada ocito da je [tex]L(x) = \lim_n L_n(x) = x S(x)[/tex]. Pretpostavljam da se nije mislilo u rjesenju da je [tex]L(x) = 1[/tex] nego vec [tex]\lim_{x \to \infty} L(x) = 1[/tex]. Naime, primijetimo da je
[dtex]
L(x) = \sum_{i=1}^{\infty} \ln( 1 + \frac{2^{-i}}{x} )^{ \Large x}
[/dtex]
te
[dtex]
\lim_{x \to \infty} \ln( 1 + \frac{2^{-i}}{x} )^{ \Large x} = 2^{-i}.
[/dtex]
Iz teorema o dominiranoj konvergenciji mozemo uci s limesom pod sumu pa dobijemo da je [tex]\lim_{x \to \infty} L(x) = \sum_{i=1}^{\infty} 2^{-i} = 1[/tex].


2.Zadatak
Definirajmo funkciju [tex]f(x) = \tan^2 ( \frac{\pi}{2} x )[/tex] i preuredimo dani niz na sljedeci nacin.
[dtex]
L_n = \frac{1}{2^{n+1}} \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{r=0}^{2^{n-1}-1} f( \frac{r}{2^{n-1}} )
[/dtex]
Vidimo da je [tex]S_n = \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{r=0}^{2^{n-1}-1} f( \frac{r}{2^{n-1}} )[/tex] zapravo gornja medja za Riemannov integral funkcije f na intervalu [tex][0,1 - \frac{1}{2^{n-1}}][/tex] i slicno se moze dobiti donja medja na integral funkcije. Na zalost, ovim razmatranjima nije moguce, koliko se meni cini, na laki nacin dobiti konkretan iznos limesa i nije mi pao na pamet bolji nacin rjesavanja ovog zadatka. Malim racunom se moze dobiti ocjena da je limes u intervalu [tex][\pi^{-2}, 2 \pi^{-2}][/tex], a ako se uzme u obzir konveksnost funkcije [tex]f[/tex], dobije se i bolja ocjena da je limes u intervalu [tex] [\frac{3}{2} \pi^{-2}, 2 \pi^{-2}][/tex].
#3:  Autor/ica: Mala_022, Lokacija: ...evo mene među moje... PostPostano: 15:05 čet, 19. 5. 2016
    —
ljpalle (napisa):
1. Zadatak
Pretpostavljam da se nije mislilo u rjesenju da je [tex]L(x) = 1[/tex] nego vec [tex]\lim_{x \to \infty} L(x) = 1[/tex].


Mislilo se da je (bar san ja tako svatila rješenja).


ljpalle (napisa):
2.Zadatak
Malim racunom se moze dobiti ocjena da je limes u intervalu [tex][\pi^{-2}, 2 \pi^{-2}][/tex], a ako se uzme u obzir konveksnost funkcije [tex]f[/tex], dobije se i bolja ocjena da je limes u intervalu [tex] [\frac{3}{2} \pi^{-2}, 2 \pi^{-2}][/tex].

Tu čak nisu ponuđeni točni odgovori, nego se traži zbroj brojnika i nazivnika do kraja skraćenog razlomka koji se dobije kao rješenje. Točan odgovor je navodno 7 (a uvrštavanjem dovoljno velikih brojeva u Wolfram alphu mogu naslutiti da bi rješenje bilo , šta bi odgovaralo tom kao točnom odgovoru). Jedino bi još bilo super to stvarno i moći izračunati.

U svakom slučaju, puuuuuuuuuuno hvala Thank you karma++

P.S. Drago mi je da ipak nije ispalo da san tolko zakržljala da ne vidin nešto totalno očito Mr. Green
#4:  Autor/ica: ljpalle,  PostPostano: 11:54 ned, 22. 5. 2016
    —
Citat:
Mislilo se da je [tex]\lim_n (n L) = 1[/tex] (bar san ja tako svatila rješenja).


Prvo treba malo pripaziti jer imam malo drugacije oznake (jer OP ima ocitu gresku; [tex]L[/tex] je prema njemu samo broj, pa je trazeni limes trivijalan). Drugo, ako dobro shvacam sto zelis reci, da je (prema mojim oznakama) [tex]L(x) = 1[/tex], to je prema gornjem racunu nemoguce ako nisam napravio gresku; lako se pokaze da za dovoljno veliki [tex]x[/tex] je [tex]S(x) < x[/tex], pa i [tex]L(x) < 1[/tex].

Citat:
Točan odgovor je navodno 7 (a uvrštavanjem dovoljno velikih brojeva u Wolfram alphu mogu naslutiti da bi rješenje bilo \frac{1}{6} , šta bi odgovaralo tom kao točnom odgovoru).


Ipak sam uspio naci rjesenje. Ideja je zapravo jednostavna. Prvo supstituiramo [tex]2^{n-1}[/tex] te sumiramo u 'suprotnom smjeru' tako da singularitet bude u 0. Tada se trazi limes niza
[dtex]
L_n' = \frac{1}{4n} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \cot^2 ( \frac{\pi}{2} \frac{r}{n} ).
[/dtex]
Ideja je sada oduzeti Riemannovu sumu koja oponasa [tex]x \mapsto 1/x^2[/tex]; motivacija je za to da se tako otprilike ponasa [tex]\cot^2 = 1 / \tan^2[/tex] u nuli s desne strane. Dakle, definiramo li funkciju [tex]g(x) = cot^2 x - 1/x^2[/tex], vidimo da se trazi limes niza
[dtex]
L_n' = \frac{1}{4 n^2} \sum_{r=1}^{n} g(\frac{\pi}{2} \frac{r}{n}) + \frac{1}{4 n^2} \sum_{r=1}^{n} \frac{4}{\pi^2} \frac{n^2}{r^2} = \frac{1}{4 n^2} \sum_{r=1}^{n} g(\frac{\pi}{2} \frac{r}{n}) + \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{\pi^2 r^2}.
[/dtex]
Sada standardnim razmatranjima se pokaze da se [tex]g[/tex] oko nule ponasa kao [tex]x \mapsto 1/x[/tex] pa je prvi clan u nizu za veliki [tex]n[/tex] otprilike const [tex] \frac{\ln n}{n}[/tex], tj. tezi u [tex]0[/tex]. Slijedi
[dtex]
\lim_n L_n' = \pi^{-2} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{r^2} = \frac{1}{6}.
[/dtex]
#5:  Autor/ica: Mala_022, Lokacija: ...evo mene među moje... PostPostano: 18:30 ned, 22. 5. 2016
    —
ljpalle (napisa):
Prvo treba malo pripaziti jer imam malo drugacije oznake (jer OP ima ocitu gresku; [tex]L[/tex] je prema njemu samo broj, pa je trazeni limes trivijalan). Drugo, ako dobro shvacam sto zelis reci, da je (prema mojim oznakama) [tex]L(x) = 1[/tex], to je prema gornjem racunu nemoguce ako nisam napravio gresku; lako se pokaze da za dovoljno veliki [tex]x[/tex] je [tex]S(x) < x[/tex], pa i [tex]L(x) < 1[/tex].


Zato san i rekla da mi ništa nije jasno.
Naime, prema tvojin oznakama ja san jedino prije postanja zadatka uspila dobiti da je [tex]L(x)\le 1[/tex] i ovisno o tome šta san ubacivala u Wolfram alphu umisto [tex]x[/tex] dobivala bi različite rezultate za [tex]L(x)[/tex]. A zadatak san prepisala točno kako piše (dakle, nema nikakvih pretpostavki i zahtjeva za [tex]x[/tex]). E, sad, šta su autori tili napisati mislin da nikad nećemo saznati. Al da me zadatak izluđuje, izluđuje me Padoh u (o)nesvjest


ljpalle (napisa):
Ipak sam uspio naci rjesenje. Ideja je zapravo jednostavna. Prvo supstituiramo [tex]2^{n-1}[/tex] te sumiramo u 'suprotnom smjeru' tako da singularitet bude u 0. Tada se trazi limes niza
[dtex]
L_n' = \frac{1}{4n} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \cot^2 ( \frac{\pi}{2} \frac{r}{n} ).
[/dtex]
Ideja je sada oduzeti Riemannovu sumu koja oponasa [tex]x \mapsto 1/x^2[/tex]; motivacija je za to da se tako otprilike ponasa [tex]\cot^2 = 1 / \tan^2[/tex] u nuli s desne strane. Dakle, definiramo li funkciju [tex]g(x) = cot^2 x - 1/x^2[/tex], vidimo da se trazi limes niza
[dtex]
L_n' = \frac{1}{4 n^2} \sum_{r=1}^{n} g(\frac{\pi}{2} \frac{r}{n}) + \frac{1}{4 n^2} \sum_{r=1}^{n} \frac{4}{\pi^2} \frac{n^2}{r^2} = \frac{1}{4 n^2} \sum_{r=1}^{n} g(\frac{\pi}{2} \frac{r}{n}) + \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{\pi^2 r^2}.
[/dtex]
Sada standardnim razmatranjima se pokaze da se [tex]g[/tex] oko nule ponasa kao [tex]x \mapsto 1/x[/tex] pa je prvi clan u nizu za veliki [tex]n[/tex] otprilike const [tex] \frac{\ln n}{n}[/tex], tj. tezi u [tex]0[/tex]. Slijedi
[dtex]
\lim_n L_n' = \pi^{-2} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{r^2} = \frac{1}{6}.
[/dtex]

Triba se toga svega sititi Thumb up!
Svaka čast Respect
Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2


output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.

Powered by phpBB © 2001,2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin