zadaci za vjezbu
Select messages from
 # through # FAQ
[/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Metrički prostori
#1: zadaci za vjezbu Autor/ica: Loo,  PostPostano: 20:27 pon, 17. 10. 2016
    —
U prilogu se nalaze neki zadaci za vjezbu za prvu provjeru znanja.

Pozdrav svima i sretno s polaganjem kolegija!

Lucija

Zadaci - 1. provjera.pdf
 Description:

Download
 Filename:  Zadaci - 1. provjera.pdf
 Filesize:  107.36 KB
 Downloaded:  997 Time(s)
#2:  Autor/ica: Will Traveler,  PostPostano: 20:39 pon, 17. 10. 2016
    —
U prilogu se nalazi test koji sam rješavao na današnjim demonstraturama.

14633454_10210260405724032_3753572403042257090_o.jpg
 Description:
 Filesize:  176.9 KB
 Viewed:  764 Time(s)

14633454_10210260405724032_3753572403042257090_o.jpg
#3:  Autor/ica: Will Traveler,  PostPostano: 22:05 pon, 17. 10. 2016
    —
Na demonstraturama sam u 4. zadatku krivo napisao na ploču da je X = [0,1] unija [2,3]. Ispričavam se, nije bilo namjerno. Napisat ću ovdje točne odgovore.

a) da b) da c) ne d) da e) da

c) [0,1/2> nije podskup od X, pa nije otvoren u (X,d).

U b) dijelu imamo da je {0,1} = < -1,3/2> presjek X, dakle {0,1} je otvorena kugla u (X,d).

Ostalo je više-manje kako sam na demonstraturama napisao.

Zadnja promjena: Will Traveler; 20:34 pon, 24. 10. 2016; ukupno mijenjano 1 put.
#4:  Autor/ica: jopi,  PostPostano: 10:43 sub, 22. 10. 2016
    —
Ostale provjere su na linku: https://postimg.org/gallery/24p4zhzj6/ Smile
#5:  Autor/ica: jopi,  PostPostano: 19:47 ned, 23. 10. 2016
    —
Evo rješenja zadataka koje je Lucija stavila da si možete prekontrolirati. Ako pronađete neku grešku, javite Smile

1. T N T N
2. N T N T
3. T N T N
4. T N N T
5. T T T T
6. T N N T
7. N N T T
8. T N N T
9. T T T N
10. T N N T
11. T T T N
12. N N N N
13. T N N N
14. T T T T
15. N N N T
16. T N N N
17. N N T T
18. N T N T
19. T N T N N
20. N N T T N
21. T N N N N
22. T T N T T
#6:  Autor/ica: Will Traveler,  PostPostano: 21:03 pon, 24. 10. 2016
    —
Stavljam ovdje rješenja 6. zadatka koji nisam stigao riješiti do kraja na današnjim demonstraturama (zadaci koje smo rješavali su na drugoj slici od onih koje je jopi uploadao).

6. b) Ne.

Npr. ako uzmemo f = h i g = c_1/2 (obje funkcije su u skupu X), onda imamo da je d_inf(f,g) = sup {abs(f(x)-g(x)) : x iz [0,1]} = sup {abs(x-1/2) : x iz [0,1]} = sup [0,1/2] = 1/2

Predzadnja jednakost vrijedi zbog ovoga: x iz [0,1] ⇔ 0 < = x < = 1 ⇔ -1/2 < = x - 1/2 < = 1/2 ⇔ 0 ⇐ abs(x-1/2) < = 1/2.

S druge strane, f ! = g ⇒ d_X(f,g) = 1. Dakle, d_X(f,g) ! = d_inf(f,g).

c) Ne.

Ovdje je d_inf(f,g) = sup {abs(f(x) - g(x)) : x iz [0,1]} = sup {abs(0 - 1/2*x) : x iz [0,1]} = sup{1/2*x : x iz [0,1]} = sup [0,1/2] = 1/2 != 1 = d_X(f,g).

Apsolutnu vrijednost smo mogli maknuti zbog x > = 0.

Alternativno, d_inf(g,h) = 1/2 ! = 1 = d_X(g,h).

Uočite usput da je d_inf(f,h) = 1, pa to nije dobar izbor ako želite naći protuprimjer.

d) Ne.

Isto kao pod c), d_inf(f,g) = 1/2 ! = 1 = d_X(f,g).

Added after 7 minutes:

Ovo su točni odgovori iz testa koji sam ja uploadao (onaj koji sam rješavao prošli tjedan).

1. a) T b) N c) T d) N e) N
2. a) N b) N c) T d) T e) N
3. a) T b) N c) N d) N e) N
4. a) T b) T c) N d) T e) T

Ovo su točni odgovori iz testa na prvoj slici koju je jopi uploadao.

1. a) T b) N c) N d) N
2. a) T b) T c) T d) T
3. a) N b) N c) N d) T
4. a) T b) N c) N d) N
5. a) N b) N c) T d) T
6. a) N b) T c) N d) T

Zadaci su rješavani na brzinu. Ako tko uoči grešku, neka napiše ovdje.

Sretno svima na provjeri. Wink

Zadnja promjena: Will Traveler; 18:33 čet, 27. 10. 2016; ukupno mijenjano 1 put.
#7:  Autor/ica: pipi_na_guc,  PostPostano: 12:10 čet, 27. 10. 2016
    —
Može li netko objasniti kako riješiti 3., 4., 5. i 6. zadatak s prve slike što je jopi stavio? Hvala Smile
#8:  Autor/ica: Will Traveler,  PostPostano: 18:30 čet, 27. 10. 2016
    —
pipi_na_guc (napisa):
Može li netko objasniti kako riješiti 3., 4., 5. i 6. zadatak s prve slike što je jopi stavio? Hvala Smile


3. a) Ovo ne vrijedi jer za funkciju f(x) = 1 imamo da je f iz X, ali f nije iz FI^-1({0}) jer je FI(f) = f(1/2) = 1 != 0.

b) Ovo ne vrijedi jer za funkciju f(x) = 0 imamo da je f iz X, ali za f ne postoji r >0 t.d. je K(f,r;d_inf) podskup od X.

Naime, za svaki r >0, kugla K(f,r;d_inf) sadrži funkciju g(x) = -r/2, koja očito nije u X. Naime, d_inf(g,f) = sup {abs(g(x)-f(x)) : x iz [0,1]} = sup(r/2) = r/2 < r ⇒ g leži u K(f,r;d_inf).

c) Budući da je 1/2 racionalan broj, imamo da za svaki f iz X vrijedi FI(f) = f(1/2) >= 0. Time smo pokazali da je FI(X) podskup od [0,+inf>. No, vrijedi i obratna inkluzija, tj- vrijedi FI(X) = [0,+inf> (*).

Za dokaz obratne inkluzije uzmemo proizvoljan a iz [0,+inf> i treba pronaći neku funkciju f iz X t.d. je FI(f) = a ⇔ f(1/2) = a. Jedna takva funkcija je naprosto konstanta f(x) = a.

I sad kad smo dokazali (*), gotovi smo jer znamo da [0,+inf> nije otvoren u (R,p).

d) Isto kao pod c), pokaže se da je FI(B[0,1]\Y) = R, a R je otvoren u (R,p).

4. a) Općenito vrijedi: ako neka funkcija na domeni ima diskretnu metriku, onda mora biti neprekidna, pa tvrdnja vrijedi.

b) Tvrdnja ne vrijedi i opet je problem u funkciji f(x) = 0, tj. ne postoji r>0 t.d. je K(f,r;d_inf) podskup od X.

c) Imamo: d_inf(g,h) = sup {abs(g(x)-h(x)) : x iz [0,1]} = sup {abs(0 - x) : x iz [0,1]} = sup {abs(x) : x iz [0,1]} = sup [0,1] = 1, što nije strogo manje od 1, pa h nije u K(g,1;d_inf).

d) Pokaže se da je FI(X) = [0,+inf>, a za taj skup znamo da nije otvoren u (R,p).

5. a) d1 nije metrika na K jer nema svojstvo: d1(f,g) = 0 ⇔ f = g. Npr. funkcije f(x) = 0 i g(1/2) = 0, g(x) = 1 za x != 1/2 su obje u K i d1(f,g) = 0, ali f != g.

b) Ovo ne vrijedi jer d2 uopće nije metrika na K (slično kao pod a)).

c) Ovo vrijedi, samo se provjere sva svojstva iz def. metrike.

d) Prvo, A je podskup od B[0,1] jer je a_r(x) = r*x^2 ⇐ r za svaki x iz [0,1], tj. a_r je ograničena.
Treba još vidjeti da li je p2(f,g) = d_inf(f,g) za sve f, g iz A (*).
Ako su f, g iz A, onda je f = a_r1 i g = a_r2 za neke r1, r2 iz R.
I sad, imamo: p2(f,g) = abs(f(1)-g(1)) = abs(r1*1^2 - r2*1^2) = abs(r1-r2). S druge strane, imamo: d_inf(f,g) = sup {abs(f(x)-g(x)) : x iz [0,1]} = sup {abs(r1*x^2 - r2*x^2) : x iz [0,1]} = sup {abs(r1-r2)*x^2 : [0,1]} = abs(r1-r2).

Dokaz zadnje jednakosti: vrijedi sup {...} < = abs(r1-r2) jer je svaki element u {...} manji ili jednak od abs(r1-r2). No, vrijedi i sup{...} > = abs(r1-r2) jer je broj abs(r1-r2) element skupa {...} (dobijemo ga za x = 1), a supremum mora biti > = od svakog elementa skupa.

Dakle, vrijedi (*), pa je zadovoljena def. potprostora metričkog prostora, tj. tvrdnja vrijedi.

6. a) Uzmemo bilo koji t iz [0,1] i imamo: d_inf(a_t, h) = sup{...} = 1/2. No, zbog a_t != h je d_X(a_t,h) = 1. Dakle, d_inf(a_t,h) != d_X(a_t,h), pa nije zadovoljena def. potprostora.

b) Tvrdnja vrijedi. Uočimo da X ima samo dva elementa, tj. X = {c0,c1}, pa možete ispitati sve kombinacije i pokazati da je d_X = d_inf na X x X.

c) Ne vrijedi jer je d_X(f,h) = 1, a d_inf(f,h) = 1/2.

d) Trivijalno vrijedi jer imamo samo jedan element, pa je jedini način da odaberemo dva elementa taj da uzmemo h i h. No, imamo da je d_X(h,h) = 0 = d_inf(h,h), pa je zadovoljena def. potprostora.

Više neću stavljati ovoliku količinu teksta na forum. Ako ne možeš samostalno riješiti čak 4 od 6 zadataka iz testa, onda trebaš doći na demonstrature.

Krivo sam bio gore napisao odgovor u 3. d) podzadatku, sad sam ispravio to.
#9:  Autor/ica: Will Traveler,  PostPostano: 20:16 pet, 4. 11. 2016
    —
U prilogu su neki zadaci s 2. provjere znanja. Pokušajte ih sami riješiti. Ako imate problema, dođite na demonstrature.

Zadaci - 2. provjera.pdf
 Description:

Download
 Filename:  Zadaci - 2. provjera.pdf
 Filesize:  90.14 KB
 Downloaded:  637 Time(s)
#10:  Autor/ica: Will Traveler,  PostPostano: 20:58 pon, 14. 11. 2016
    —
U prilogu su rješenja prvih 6 zadataka iz prošlogodišnje 2. provjere.

MP 2. provjera rjesenja.pdf
 Description:

Download
 Filename:  MP 2. provjera rjesenja.pdf
 Filesize:  267.2 KB
 Downloaded:  688 Time(s)
#11:  Autor/ica: jopi,  PostPostano: 10:25 sri, 16. 11. 2016
    —
Evo konačnih rješenja zadataka 7. - 12. za provjeru:
7. N N N T
8. N T T N
9. N N N N
10. N T N T
11. N N N N
12. N N N N

I samo mali ispravak u Davorovim rješenjima iz prethodnog posta: u 1. zadatku b) je netočno; i {1} i {1,2} su okoline od 1, ali ne sadrže ni jedan član niza.
#12:  Autor/ica: jopi,  PostPostano: 21:05 sri, 7. 12. 2016
    —
Šaljem u prilogu zadatke za 3. provjeru

MP_provjera_3.pdf
 Description:

Download
 Filename:  MP_provjera_3.pdf
 Filesize:  93.22 KB
 Downloaded:  641 Time(s)
#13:  Autor/ica: Will Traveler,  PostPostano: 21:15 pon, 12. 12. 2016
    —
Zadaci koje sam rješavao na današnjim demonstraturama su na ovom linku: http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=20581 (predzadnji post). U prilogu su rješenja 5. i 6. zadatka koje nisam stigao riješiti.

Metrički - 3. provjera.pdf
 Description:

Download
 Filename:  Metrički - 3. provjera.pdf
 Filesize:  81.93 KB
 Downloaded:  663 Time(s)
#14:  Autor/ica: Will Traveler,  PostPostano: 9:48 čet, 22. 12. 2016
    —
U prilogu su rješenja zadataka koje nisam stigao riješiti na zadnjim demonstraturama.

Metrički.pdf
 Description:

Download
 Filename:  Metrički.pdf
 Filesize:  48.1 KB
 Downloaded:  452 Time(s)
#15:  Autor/ica: ipeula,  PostPostano: 20:40 uto, 10. 1. 2017
    —
jopi (napisa):
Šaljem u prilogu zadatke za 3. provjeru


Jel možeš napisat tu rješenja ovih zadataka, samo sa T i N?
#16:  Autor/ica: jopi,  PostPostano: 11:17 sri, 11. 1. 2017
    —
Evo rješenja za treću provjeru:
1. N N T T
2. N T N T
3. T T T N
4. T N T N
5. N T T T
6. T N N N
7. N T T T
8. N N T T
9. N T T N
10. N N T T
11. N N T N
12. T N N T
#17:  Autor/ica: Will Traveler,  PostPostano: 21:45 uto, 17. 1. 2017
    —
U prologu je rješenje 5. b) zadatka s jučerašnjih demonstratura koji sam ostao dužan te druga grupa ovogodišnje 1. provjere (ona koju nisam rješavao).

Odgovori za drugu grupu su sljedeći:
1. T T T T
2. N T N N
3. N T N N
4. N T N T
5. T N N T

MP 16-17 1. provjera B.jpg
 Description:
 Filesize:  231.86 KB
 Viewed:  387 Time(s)

MP 16-17 1. provjera B.jpg
5. b_ zadatak.pdf
 Description:

Download
 Filename:  5. b_ zadatak.pdf
 Filesize:  43.63 KB
 Downloaded:  324 Time(s)
#18:  Autor/ica: Will Traveler,  PostPostano: 21:49 sri, 18. 1. 2017
    —
6. zadatak s današnjih demonstratura.

6. zadatak.pdf
 Description:

Download
 Filename:  6. zadatak.pdf
 Filesize:  61.55 KB
 Downloaded:  420 Time(s)
Forum@DeGiorgi -> Metrički prostori


output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.

Powered by phpBB © 2001,2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin