MA2 2020 - kućne vježbe
Select messages from
# through # FAQ
[/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2

#1: MA2 2020 - kućne vježbe Autor/ica: JANKRILokacija: Zagreb PostPostano: 20:46 pet, 13. 3. 2020
    —
Tema za pitanja i odgovore s "kućnih vježbi" iz Matematičke anaize 2.

Ovo je prvenstveno za vježbe kod asistenta Krijana (dakle, za grupu [P - Ž]).
Međutim, svi studenti su i više no dobrodošli! Smile

Iskreni savjet je da uistinu napravite nešto u ova dva tjedna (tko zna - možda bude i dulje od toga).

Prilikom povratka na normalnu nastavu smatrat će se obrađenim sve što je upućeno na kućne vježbe.

Pitajte, rješavajte sami, iskoristite ovo vrijeme produktivno! Smile

Sretno svima, sa svime!

#2:  Autor/ica: chrsand PostPostano: 0:00 čet, 19. 3. 2020
    —
U zadatku 1.48, gdje se trazi kut pod kojim se sijeku tangente na kruznicu povucene kroz tocku T.

Kada nademo y' (y' = - (x + 2) / (y - 1)), i onda kada u formulu za tangentu:
y - y0 = f'(x0) (x - x0), uvrstimo y' kao f', u sljedećem redu pise
" y - y0 =( (x+2) / (y0-1) )* (x - x0). "
U ovom razlomku, iza znaka jednakosti, zasto smo stavili samo y0, zasto ne i x0, ili zasto ne samo x0?

#3:  Autor/ica: JANKRILokacija: Zagreb PostPostano: 0:55 čet, 19. 3. 2020
    —
chrsand (napisa):

U ovom razlomku, iza znaka jednakosti, zasto smo stavili samo y0, zasto ne i x0, ili zasto ne samo x0?


Ovdje je riječ o greški.
Dakle, u zadatku 1.48, na 30. stranici (3. u fileu) ovdje treća centrirana formula (dakle, ona iza rečenice "Tada je jednadžba tangente u točki [tex]D[/tex]:") treba glasiti:

[dtex]t \quad \ldots \quad y - y_0 = -\frac{x_0 + 2}{y_0 - 1}(x - x_0).[/dtex]

Nadam se da je sada jasnije. Smile

#4:  Autor/ica: chrsand PostPostano: 14:06 čet, 26. 3. 2020
    —
U dijelu vježbi 1.6, u rješenju zadatka 1.83, u prvom redu:

Kako smo dobili ove 1 i -1 uz f'(c+h) i f'(c-h), i di je -2f(c) nestao nakon primjene L'Hopitalovog pravila?

#5:  Autor/ica: JANKRILokacija: Zagreb PostPostano: 1:17 pet, 27. 3. 2020
    —
chrsand (napisa):
Kako smo dobili ove 1 i -1 uz f'(c+h) i f'(c-h), i di je -2f(c) nestao nakon primjene L'Hopitalovog pravila?


Riječ je o zadatku 1.83 ovdje (poglavlje 1.6), na kraju stranice 47. (6. u fileu).

Zadatak. Neka je [tex]f[/tex] diferencijabilna u nekoj okolini točke [tex]c[/tex] i dva puta diferencijabilna u točki [tex]c[/tex]. Dokažite:
[dtex]\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(c + h) + f(c - h) - 2f(c)}{h^2} = f''(c).[/dtex]

Rješenje. Primijetimo da je
[dtex]\lim\limits_{h \to 0}(f(c + h) + f(c-h) - 2f(c)) = \lim\limits_{h \to 0}[(f(c+h) - f(c)) + (f(c - h) - f(c))] = 0 + 0 = 0.[/dtex]
To vrijedi zato što je [tex]f[/tex] diferecijabilna u nekoj okolini točke [tex]c[/tex]. Preciznije, postoji [tex]\varepsilon > 0[/tex] takav da je funkcija [tex]f[/tex] diferecijabilna na intervalu [tex]I = \langle c - \varepsilon, c + \varepsilon\rangle[/tex]. Kako je funkcija [tex]f[/tex] diferencijabilna na [tex]I[/tex], ona je i neprekidna na [tex]I[/tex]. Dakle, vrijedi da je [tex]\lim\limits_{h \to 0}f(c + h) = \lim\limits_{h \to 0}f(c - h) = f(c)[/tex].

Ključno je razumjeti (!!) da nam je [tex]h[/tex] varijabla, a [tex]c[/tex] konstanta, tj. neka čvrsta (zadana, ne-varijabilna - nazovite to kako želite) točka. Dakle, u našem limesu (kojeg gledamo po varijabli [tex]h[/tex]) izraz [tex]2f(c)[/tex] je konstanta (to je isto kao da na tom mjestu piše neki broj - i piše - samo se taj broj zove [tex]2f(c)[/tex] Smile ).

Kako i brojnik i nazivnik teže u [tex]0[/tex], smijemo primijeniti L’Hôpitalovo pravilo. Prije samo računa napomenimo da deriviranje vršimo po varijabli [tex]h[/tex] (po njoj i limes promatramo)! Odnosno, trebamo biti svjesni da je [tex]f(c + h)[/tex] kompozicija funkcija [tex]h \mapsto c + h[/tex] i [tex]f[/tex] te da je [tex]f(c + h)[/tex] kompozicija funkcija [tex]h \mapsto c - h[/tex] i [tex]f[/tex]. Zato je (DERIVIRAMO PO [tex]h[/tex]):
[dtex](f(c + h))' = f'(c + h) \cdot 1 = f'(c + h), \quad (f(c - h))' = f'(c - h) \cdot (-1) = -f'(c - h) \quad \text{te} \quad (2f(c))' = 0.[/dtex]

Računamo:
[dtex]\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(c + h) + f(c - h) - 2f(c)}{h^2} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f'(c + h) - f'(c - h)}{2h} = \frac{1}{2} \cdot \lim\limits_{h \to 0}\left(\frac{f'(c + h) - f'(c)}{h} + \frac{f'(c - h) - f'(c)}{-h}\right) = f''(c).[/dtex]

U predzadnjoj jednakosti smo naprosto oduzeli i dodali [tex]f'(c)[/tex]. Zašto? Pa sjetimo se što želimo dokazati, želimo nekako doći do [tex]f''(c)[/tex]. Onda se sjetimo definirajućeg izraza za [tex]f''(c)[/tex] i nakon toga se naš postupak nameće sam od sebe:
[dtex]f''(c) = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f'(c + h) - f'(c)}{h} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f'(c - h) - f'(c)}{-h}.[/dtex]

Nadam se da sam uspio razjasniti. Smile

#6:  Autor/ica: pero149 PostPostano: 11:47 pon, 30. 3. 2020
    —
pozdrav!
mozete li rijesiti ovaj zadatak?

Izracunajte f(200)(1) za funkciju

f(x) = (x − 1) arctg(x − 1).

(prvi zadatak iz kolokvija 2016./17.)

probala sam na sto nacina, ali ovaj arctg se vec u trecoj derivaciji uzasno zakomplicira i ne znam vise sto da radim.

#7:  Autor/ica: medallion PostPostano: 12:25 pon, 30. 3. 2020
    —
Možete li objaviti rješenje zadatka iz skripte za vježbe?

Citat:
Zadatak 1.118 Dva hodnika sirine 320 cm i 135 cm se sijeku pod pravim kutem. Odredite najvecu duljinu tankog nesavitljivog stapa koji se moze prenijeti iz jednog hodnika u
drugi.

#8:  Autor/ica: JANKRILokacija: Zagreb PostPostano: 16:29 pon, 30. 3. 2020
    —
pero149 (napisa):
pozdrav!
mozete li rijesiti ovaj zadatak?
(prvi zadatak iz kolokvija 2016./17.)


Zadatak. (1. ovdje) Izračunajte [tex]f^{(200)}(1)[/tex] za funkciju
[dtex]f(x) = (x-1)\,\text{arctg}(x-1).[/dtex]
Rješenje. Odmah računamo:
[dtex]f^{(200)}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{200}\binom{200}{k}(x-1)^{(k)}(\text{arctg}(x-1))^{(200-k)} = (x - 1)(\text{arctg}(x-1))^{(200)} + 200 \cdot 1 \cdot (\text{arctg}(x - 1))^{(199)}.[/dtex]
U točki [tex]x = 1[/tex] vrijedi da je [tex]x - 1 = 0[/tex], stoga zaključujemo da je
[dtex]f^{(200)}(1) = 200 \cdot \left.(\text{arctg}(x-1))^{(199)}\right|_{x = 1}.[/dtex]
U ovom trenutku stajemo. Te godine je na kolokviju došlo do propusta, ovaj zadatak iako izgleda standardno, nije lagan. Zapravo, težak je i nije dio standardnog gradiva.
Ne sjećam se točno što se zbilo s tim zadatkom prilikom ocjenjivanja, ali mislim da su na njemu svi dobili sve bodove, ili tako nešto...
Uglavnom, pogledajte npr. ovdje za više derivacije funkcije [tex]\text{arctg}\,x[/tex].


medallion (napisa):
Možete li objaviti rješenje zadatka iz skripte za vježbe?
Zadatak 1.118


Rješenja svih zadataka (osim onih za vježbu) su u procesu pisanja.
Cijeli poglavlje 1.7 je napisano i objavljeno na stranici. Uskoro će biti popunjena i ostala poglavlja. Smile

Rješenja zadataka za vježbu nećemo pisati. Svakako od vas očekujemo da ih sami rješavate. Naravno, za sve nejasnoće stojimo na raspolaganju! Smile

#9:  Autor/ica: chrsand PostPostano: 12:35 uto, 14. 4. 2020
    —
kaj znaci {x}, u vjezbama 2.1, zad 2.3 c) ?

#10:  Autor/ica: JANKRILokacija: Zagreb PostPostano: 14:18 uto, 14. 4. 2020
    —
chrsand (napisa):
kaj znaci {x}, u vjezbama 2.1, zad 2.3 c) ?


to je takozvani razlomljeni dio od [tex]x[/tex], dakle "necijeli" dio od [tex]x[/tex]. To je uvijek realni broj iz intervala [tex][0, 1\rangle[/tex].

Precizna definicija je
[dtex]\{x\} = x - \lfloor x\rfloor,[/dtex]
gdje je [tex]\lfloor x\rfloor[/tex] najveće cijelo od [tex]x[/tex], tj. najveći cijelo broj koji nije veći od [tex]x[/tex].

Kroz primjere se najbolje učio pa zato:
[dtex]\lfloor 1\rfloor = 1, \quad \lfloor 1.3\rfloor = 1, \quad \lfloor \pi\rfloor = 3, \quad \lfloor -100\rfloor = -100, \quad \lfloor -\pi\rfloor = -4, \quad \lfloor -0.000000001\rfloor = -1, \quad \lfloor 0.000000001\rfloor = 0.[/dtex]

[dtex]\{ 1\} = 0, \quad \{ 1.3\} = 0.3, \quad \{\pi\} = \pi - 3 \approx 0.14159, \quad \{ -100\} = 0, \quad \{ -\pi\} = 4 - \pi \approx 0.84851, \quad \{ -0.000000001\} = 0.999999999, \quad \{ 0.000000001\} = 0.000000001.[/dtex]

Primijetite da je
[dtex]x = \lfloor x \rfloor + \{x\} = \text{cijeli dio} + \text{razlomljeni dio}.[/dtex]

#11:  Autor/ica: chrsand PostPostano: 19:00 pon, 20. 4. 2020
    —
u poglavlju 2.3, zadatak 2.31 pod c) dio di piše "još treba izračunati:"

<zmijica>(dt/(t^2 + 1)^2) = <zmijica>((1+t^2-1)/(t^2 + 1)^2 dt)

kak smo gore ubacili 1+t^2-1 ?

#12:  Autor/ica: JANKRILokacija: Zagreb PostPostano: 23:49 uto, 21. 4. 2020
    —
chrsand (napisa):
u poglavlju 2.3, zadatak 2.31 pod c) dio di piše "još treba izračunati:"

<zmijica>(dt/(t^2 + 1)^2) = <zmijica>((1+t^2-1)/(t^2 + 1)^2 dt)

kak smo gore ubacili 1+t^2-1 ?


Kriva je prva jednakost, no već iduća je točna Smile
Naime, treba ubaciti [tex]1 + t^2 - t^2[/tex], tj. dodati i oduzeti [tex]t^2[/tex].

[dtex]\int\frac{\text{d}\, t}{(t^2 + 1)^2} = \int\frac{1 + t^2 - t^2}{(t^2 + 1)^2}\text{d}\, t = \int\frac{\text{d}\, t}{1+t^2} - \int\frac{t^2}{(t^2 + 1)^2}\text{d}\, t = \ldots[/dtex]

Dalje isto kao u rješenju.

#13:  Autor/ica: chrsand PostPostano: 15:28 sri, 22. 4. 2020
    —
poglavlje 2.4, zad 2.38, a)

nakon supstitucije:

<zmijica> (t + 1/2)^2 sqrt(1/4 - t^2) dt =
= <zmijica> (t^2 + 1/4)^2 sqrt(1/4 - t^2) dt

kak to?

#14:  Autor/ica: chrsand PostPostano: 18:54 sri, 22. 4. 2020
    —
ispravak:

u prethodnoj jednakosti nema kvadrata s druge strane jednakosti

<zmijica> (t + 1/2)^2 sqrt(1/4 - t^2) dt =
= <zmijica> (t^2 + 1/4) sqrt(1/4 - t^2) dt

#15:  Autor/ica: JANKRILokacija: Zagreb PostPostano: 20:10 sri, 22. 4. 2020
    —
Samo jedna zamolba, možete li, molim vas linkati pdf koji vas zanima, tako znatno olakšavate! Hvala! Smile

Linkanje:
Kod:
[url=tu_ide_link_koji_želite]tu_ide_tekst_koji_se_vidi[/url]

a možete i samo jednostavno
Kod:
[url]tu_ide_link_koji_želite[/url]


Onda bi vaše pitanje izgledalo ovako:

Poglavlje 2.4, može li pojašnjenje u zadatku 2.38 dio a), u drugom retku, zašto vrijedi prva jednakost?


Sada vam ja kažem da je pitanje izvrsno (ne radi forme pitanja Very Happy ), nego naprosto zato što je. Naime, u toj jednakosti je "skriveno" nešto suptilno, a to je sljedeće:

[dtex]\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \underbrace{\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t}_{=A} + \underbrace{\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t}_{=B}.[/dtex]

Sljedeća činjenica za integral [tex]A[/tex] vrijedi naprosto zato što je podintegralna funkcija neparna - možete li to dokazati za općenitu funkciju? Preciznije, možete li dokazati da ako je [tex]a >0[/tex] realan broj i ako je [tex]f \colon [-a, a] \to \mathbb{R}[/tex] integrabilna funkcija, onda je
[dtex]\int\limits_{-a}^{0}f(x)\text{d}\,x = \left\lbrace \begin{array}{c} +\int\limits_{0}^{a}f(x)\text{d}\,x\text{, ako je } f\text{ parna funkcija,} \\ -\int\limits_{0}^{a}f(x)\text{d}\,x\text{, ako je } f\text{ neparna funkcija.} \end{array} \right.[/dtex]

Vratimo se na naš [tex]A[/tex]:
[dtex]A = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \left\lbrace\begin{array}{c} u = -t \\ \text{d}\, u = -\text{d}\, t \\ 0 \to 0 \\ -\frac{1}{2} \to \frac{1}{2} \end{array}\right\rbrace = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{0}(-2u)\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}(-\text{d}\, u) = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{0}2u\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}\text{d}\, u = -\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}2u\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}\text{d}\, u = -B.[/dtex]
(Isti je dokaz za proizvoljnu neparnu funkciju.) Dakle, vrijedi da je
[dtex]\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = -B + B = 0.[/dtex]

Sada se vratimo na poglavlje 2.4 i dio (a) zadatka 2.38:
[dtex]\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t + \frac{1}{2}\right)^2\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + 2t + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t + \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(2t\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = 2\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \ldots[/dtex]
Dalje isto kao u rješenju... Ova zadnja jednakost vrijedi jer je podintegralna funkcija parna - probajte to sami dokazati općenito, dokaz je skoro pa isti kao i ovo gore što sam za neparne napisano (napravite ga za općenitu funkciju!) Za parne je još malo lakše jer se ne treba "paziti" na minuse. Smile

Ako je bilo što nejasno - samo pitajte! Smile

Nadam se da sam uspio razjasniti!
Sretno! Smile

#16:  Autor/ica: rhldj PostPostano: 22:58 pet, 22. 5. 2020
    —
Poštovani,
zanimalo bi me, ako može, rješenje zadatka 10 odavde.

#17:  Autor/ica: JANKRILokacija: Zagreb PostPostano: 18:10 sub, 23. 5. 2020
    —
Neka je [tex]g(x) = \text{arctg}(f(x))[/tex], tada je [tex]g'(x) = \dfrac{f'(x)}{1 + f^2(x)}[/tex], iz čega vidimo da je [tex]g'(x) + 1 = \dfrac{f'(x) + f^2(x) + 1}{1 + f^2(x)} \geq 0[/tex], odnosno [tex]g'(x) \geq -1[/tex].

Iz toga najprije zaključimo da je
[dtex]\int\limits_a^bg'(x)\text{d}x \geq \int\limits_a^b(-1)\text{d}x = a - b,[/dtex]
dok je s druge strane
[dtex]\int\limits_a^bg'(x)\text{d}x = \left.g(x)\right|_a^b = \dfrac{-\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} = -\pi .[/dtex]
Stoga je [tex]-\pi \geq a - b[/tex], odnosno [tex]b - a \geq \pi[/tex].

Ako ima nekih nejasnoća, rado ću pojasniti. Smile

Nekako mislim da je nakon prvog koraka "neka je [tex]g(x) = \text{arctg}(f(x))[/tex]" sve čisto (ili bi barem trebalo biti).
Pitanje je "od kud da se sjetim arkus tangensa??".

Imate vezu između [tex]f'(x)[/tex] i [tex]f^2(x)[/tex], što se točno pojavljuje kada deriviramo [tex]\text{arctg}(f(x))[/tex]. Također, morate od nekud "izvuć" onaj [tex]\pi[/tex]. Nema ga nigdje, a baš je nekako zgodno da je arkus tanges u [tex]\pm\infty[/tex] jednak [tex]\pm\dfrac{\pi}{2}[/tex], a nama upravo to i treba. Smile

Uglavnom, kao i uvijek - odgovor je vježba.

#18:  Autor/ica: rhldj PostPostano: 19:09 sub, 23. 5. 2020
    —
Hvala.



Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2


output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.

Powered by phpBB © 2001,2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin