Poglavlje 2. Matrice (predavanja J. Šiftara)
Select messages from
# through # FAQ
[/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Linearna algebra 1 (smjer nastavnički)

#1: Poglavlje 2. Matrice (predavanja J. Šiftara) Autor/ica: Juraj Siftar PostPostano: 10:51 sri, 22. 4. 2020
    —
U ovom tjednu započinjemo čitanje i učenje
poglavlja 2. Matrice u skriptama.

Zasad je riječ o odjeljcima

2.1. Definicija matrice. Vektorski prostor M_mn(F)

2.2. Neke posebne matrice.

Sadržaj 6. domaće zadaće odnosit će se na ovo gradivo.

Kao i inače u uvodnom gradivu, ovdje valja usvojiti
dosta novih pojmova, naviknuti se na nove oznake,
operacije i svojstva.

Matrični račun karakterističan je za linearnu algebru,
a važne primjene ima kako u mnogim matematičkim
disciplinama, tako i izvan same matematike.

Od početka je korisno naviknuti se na (već poznatu
formu) matrice ne "samo" na kao pravokutnu tablicu
popunjenu brojevima, nego kao preslikavanje (funkciju)
kojem je tablični zapis prikladan način prikazivanja
grafa te funkcije.

Domena takve funkcije je konačan skup od mn
uređenih parova prirodnih brojeva (i,j),
pri čemu i poprima vrijednosti od 1 do m,
a j od 1 do n.
Pritom su m i n bilo koji odabrani prirodni
brojevi, a par (m,n) određuje tip matrice.

Kodomena je (ovdje) polje, najčešće polje R ili C.

Za skup svih matrica istog tipa (m,n) nad nekim poljem F
prirodno se uvode operacije zbrajanja matrica i množenja
matrice skalarom, što dovodi do vektorskog prostora
dimenzije mn.

Dok je riječ samo o zbrajanju i množenju skalarom,
ova algebarska struktura na skupu matrica određenog
tipa nimalo se ne razlikuje od strukture za
uređene mn-torke nad istim poljem.
Primjerice, nema bitne razlike između matrica tipa (4,3)
i uređenih 12-orki, samo što su u matrici pojedini skalari
raspoređeni u 4 retka i 3 stupca, a ne svi "horizontalno".
No, operacije se izvode po svim "pozicijama" zasebno,
tako da računamo kao da imamo 12 "kopija" polja
raspoređenih na svim pozicijama.

Sva osnovna svojstva nasljeđuju se iz operacija u polju.
Kanonska baza vektorskog prostora matrica tipa (m,n)
u jednostavnoj je korespondenciji s kanonskom bazom
(po jedna "jedinica", sve ostalo nule) vektorskog prostora
uređenih mn-torki.

Značajna promjena odnosno proširenje nastaje uvođenjem
množenja matrica, što je tema 3. odjeljka u poglavlju.

#2: Množenje matrica Autor/ica: Juraj Siftar PostPostano: 14:20 čet, 30. 4. 2020
    —
Nastavak po skriptama: 2.3. Množenje matrica.

Na ovaj odjeljak odnose se najvećim dijelom već objavljene
8. vježbe, a također će to biti glavna tema 7. domaće zadaće.

Najprije nekoliko komentara o prethodnom sadržaju o
matricama.

Sudeći po dosad pristiglim rješenjima 6. domaće zadaće
(ispisivanje matrica po zadanim pravilima, svojstva povezana
s operacijama zbrajanja matrica i množenja skalarom,
posebni tipovi matrica i pripadni potprostori)
čini se da većina studenata nema poteškoća s tim
pojmovima i tipom zadataka.

Zadaća je namjerno bila malo "ležernija", no ipak se
zapažaju i stanovite slabosti, naročito u primjenama
prethodnog znanja iz vektorskih prostora. Također, čini
se da se "slabo čitaju" objavljene vježbe, u kojima se
mogu naći korisna objašnjenja i primjeri.

Uvođenjem operacije množenja matrica gradivo će se
značajno "zgusnuti" - ne toliko u smislu težine, zasad,
nego po količini pojmova i raznih činjenica.
Vještina računanja s matricama jako je važna za linearnu
algebru, to je već više puta naglašavano, a u svrhu
stjecanja te vještine valja i dobro razumijeti teorijsku podlogu
i vježbati "puko računanje". To jako dolazi do izražaja kod
množenja matrica i zatim primjene elementarnih transformacija
(ili operacija), što nam slijedi idući tjedan.

Množenje matrica, definirano po načelu "redak sa stupcem",
može se najprije učiniti čudnim, ali zapravo su svi već koliko-
toliko naviknuti na tu operaciju.
Važno: usvojiti pojam ulančanih matrica i uvjet ulančanosti
kao preduvjet za množenje. Za samo vježbanje množenja
matrica nije nužno čekati da budu odnekud zadane konkretne matrice
(u zadaćama ili bilo kako), nego je lako zadati si samostalno bilo kakve
pogodne matrice (popunjene konkretnim ili općim brojevima)
i vježbati samu tehniku. O tome će u znatnoj mjeri ovisiti
točno rješavanje različitih zadataka (u kojima matrice mogu
biti samo pomoćno sredstvo) i ušteda potrebnog vremena.

Jednim jednostavnim primjerom u skriptama je "osvježena"
poznata motivacija za način množenja matrica u svrhu
pisanja sustava linearnih jednadžbi kao jedne matrične
jednadžbe.
Glavni motiv za množenje matrica je zapis kompozicije
specifičnih preslikavanja na vektorskim prostorima
(linearni operatori, LA 2).
No, već znamo da se npr. množenjem odgovarajućih
matričnih zapisa rotacije za kutove α i β dobiva matrica
rotacije za kut α + β.

Usput, takve dvije matrice komutiraju kod množenja,
jer se rotacija za α pa za β podudara s rotacijom za
β pa za α, to je u svakom slučaju rotacija za α + β.
No, upravo (ne)komutativnost množenja jedno je od svojstava
u kojem se množenje matrica bitno razlikuje od
množenja skalara u polju.

S obzirom na prividnu kompliciranost operacije množenja
matrica, ispunjenost svojstva asocijativnosti
(AB)C = A(BC), čim su A, B, C ulančane,
može izgledati kao "sretna koincidencija", no zapravo
je to samo odraz asocijativnosti kompozicije
preslikavanja/funkcija (kad postoje uvjeti za kompoziciju
tri preslikavanja).

Kao i inače, asocijativnost množenja bitno olakšava računanje
s matricama.
Tako npr. ima smisla potenciranje kvadratnih matrica i
računanje matričnih polinoma.

Nemojte zanemariti točan zapis množenja matrica, općenito.
Dokaz Propozicije 2.3.3. o asocijativnosti množenja dobra
je prilika za to (snalaženje s indeksima, sumama i
dvostrukim sumama).
Taj dokaz treba znati i napisati, a za vježbu nije loše
uzeti si npr. matrice tipa (3,2), (2,4) i (4,3), ali s općim
koeficijentima (ne konkretnim brojevima) pa ispisati
kako to izgleda, da bi se dobio bolji osjećaj.

Nadalje, obratite pozornost na obogaćenje ukupne
algebarske stukture kad se uvede množenje matrica,
posebno za kvadratne matrice.

Vektorski prostor kvadratnih matrica, još i uz množenje:
asocijativna algebra s jedinicom (ali nekomutativna).
Tu se već puno toga može raditi.

Zatim, monoid kvadratnih matrica s množenjem i
grupa invertibilnih matrica u tom monoidu.
Ovo je jako važan primjer za Propoziciju 1.1.8.
i Korolar 1.1.10.
Tada je na predavanjima i najavljen kao takav.

Ima još toga, a ne zaboravimo djelitelje nule.
Umnožak dviju kvadratnih matrica, različitih
od nulmatrice, može biti nulmatrica.
Na to treba jako pripaziti kod računanja i
ne upuštati se u nedozvoljena "skraćivanja"
u matričnim jednadžbama.
Iz AB = AC slijedi B = C samo ako je A invertibilna.
Iz XY = O ne slijedi općenito da je X=O ili Y=O.

Uglavnom, dobro pročitajte 2.3. te 8. vježbe i
provježbajte kroz domaću zadaću.

#3: Nastavak: elementarne transformacije i rang Autor/ica: Juraj Siftar PostPostano: 23:49 čet, 7. 5. 2020
    —
U sljedećih tjedan dana puno posla, a kao
"poslastica" na kraju, i 2. test.
Test neće biti nimalo težak...ako su dobro
riješene domaće zadaće koje ulaze u sadržaj.

"Puno posla" prvenstveno se odnosi na sljedeća
tri odjeljka poglavlja o matricama:

2.4. Elementarne transformacije i elementarne matrice

2.5. Rang matrice

2.6. Inverzna matrica. Grupa regularnih matrica


Uz ovih 12-13 stranica u skriptama idu i
vježbe br. 9 i 10 te 8. domaća zadaća.

Za vježbati ima doista puno toga, ali je stvarno
"konkretno" i tehnički jednostavno kad se pohvata
nekoliko osnovnih principa i kad se razumije
što se radi. U tu svrhu valja i čitati skripta i
rješavati zadatke.

Osnovna tehnika temelji se na elementarnim
transformacijama
ili operacijama (ovdje odsad
skraćeno ET), odnosno elementarnim matricama
(EM) koje su im pridružene na jednostavan način.

Matricu sada promatramo ne samo kao cjelovitu
pravokutnu tablicu, nego i "rastavljenu" na stupce
odnosno na retke.
To će biti važno za shvaćanje "unutarnje strukture"
matrice, dakle ne samo mn skalara pojedinačno,
nego n stupaca i m redaka koji čine stupčanu odnosno
retčanu reprezentaciju (prikaz) matrice.

Sa stupcima odnosno s retcima radimo kao s vektorima
u odgovarajućem prostoru jednostupčanih odnosno
jednoretčanih matrica. Ako na trenutak "zanemarimo"
matrični zapis tih stupaca/redaka, to su jednostavno
uređene m-torke odnosno n-torke skalara iz pripadnog
polja.

Bitnim podatkom o matrici pokazuje se njezin rang.
Rang je 0 (samo za nulmatricu) ili prirodni broj
1,2,3,..., najviše do m odnosno do n, prema tome
koji broj je manji (broj redaka ili broj stupaca).

Pomoću ranga može se izraziti uvjet invertibilnosti
kvadratne matrice
, zatim uvjet rješivosti sustava
linearnih jednadžbi
, a također i uvjet da se jedna
matrica tipa (m,n) može pomoću ET pretvoriti u drugu
matricu
jednakog tipa.
Matrice jednakog tipa mogu izgledati "jako različito",
ali ako im je i rang jednak, onda im se neka bitna
svojstva podudaraju.
U Linearnoj algebri 2 protumačit će se geometrijski
smisao ranga matrice (moglo bi se donekle i sada,
ali nemojmo sve odjednom).

Ovo je samo načelni uvod, a u nastavku - više o ET
i ostalom.

#4:  Autor/ica: Juraj Siftar PostPostano: 0:58 pet, 8. 5. 2020
    —
ET ćemo uglavnom primjenjivati na stupce i retke matrice,
a zapravo je to samo poseban slučaj operacija na
bilo kojem konačnom skupu vektora iz nekog vektorskog
prostora.

Uzmimo jednostavno {a,b,c}, podskup nekog prostora V.
Linearna ljuska [{a,b,c}] svakako je potprostor,
dimenzije najviše 3.
ET mogu promijeniti skup, ali neće promijeniti potprostor,
dakle njegovu linearnu ljusku. Posebno, neće promijeniti
ni dimenziju tog potprostora, naravno (kad je potprostor
ostao isti, samo s promijenjenim skupom izvodnica).


ET su
(1) međusobna zamjena bilo koja 2 vektora u skupu
(uzastopnim zamjenama može se ostvariti bilo koja
permutacija, a znamo da promjena redoslijeda
pisanja ne mijenja linearnu ljusku, zahvaljujući
komutativnosti zbrajanja vektora).
(2) Množenje nekog vektora iz skupa skalarom
različitim od 0. (Različitim od 0, a jasno da bismo
inače dobili nulvektor čime bi se možda smanjila
dimenzija potprostora). Ovo nije "veliki zahvat",
kao da smo strelici iz V3 promijenili modul i/ili
orijentaciju.
(3) Pribrajanje nekog vektora iz skupa drugom
vektoru. Ovo se čini kao najveća promjena, a
komponiranjem (višestrukom primjenom) s (1) i (2)
doista se može dobiti skup koji izgleda jako različito
od početnog.

Imamo npr ovakav slijed ET na {a,b,c}:

{a, b, c}

{-2a, b, c}

{-2a, b, -2a + c}

{-2a, 5b, -2a + c}

{-2a + 5b, 5b, -2a + c}

{-a + 5/2 b, 5b, -2a + c}

{-a + 5/2 b, 3/2 b, -2 a + c}

{-2a + c, 3/2 b, -a + 5/2 b}

{-2a +c, -a + 5/2 b, 3/2 b}

itd.

Dobro, ali zašto to radimo?
Ideja će obično biti da "pojednostavnimo",
a ne da zakompliciramo skup.

Tri "nezgodna" vektora npr iz R^5 na sličan
način moći ćemo pretvoriti, recimo, u

{(1,0,0,0,0), (0,0,1,0,0), (0,0,0,1,0)} i
dalje će štošta biti jednostavnije.

Potprostor će ostati isti, ali dobit ćemo jednu
njegovu "ljepšu" bazu.

Posebno, ako ET primjenjujemo na bazu
nekog prostora, dobit ćemo druge baze, koliko
god njih želimo. (To se već moglo naslutiti
u nekim zadacima iz vježbi i domaćih zadaća).

Razmislite sami, uz malo pisanja:
Zašto ET tipa (3) ne mijenja linearnu ljusku skupa?
Nije teško, ali je jako važno za razumijeti.
(Za ET tipa (1) to je trivijalno, a za tipa (2)
praktički trivijalno).

Odsad promatramo primjenu ET na stupce, odnosno
na retke neke matrice tipa (m,n).
(To nije svejedno).

Kažemo da su matrice A i B, obje tipa (m,n),
ekvivalentne ako se jedna može pretvoriti u drugu
nekim slijedom ET.
(Odmah govorimo o međusobnoj ekvivalentnosti,
jer je ovo doista relacija ekvivalencije u općenitom
smislu : A se može pretvoriti u B ako i samo ako se
B može pretvoriti u A, to je simetričnost relacije,
a refleksivnost i tranzitivnost su očite).

Što će nam takvo transformiranje?

Pravilnom primjenom, moći ćemo ustanoviti je li
kvadratna matrica invertibilna ili nije.
(Ispitivati to po definiciji nije baš praktično, jer
može značiti rješavanje npr sustava od 16 jednadžbi
sa 16 nepoznanica).
Ako jest invertibilna, primjenom ET možemo i
praktičnim načinom odrediti inverznu matricu.

Kod sustava linearnih jednadžbi, ujedno ćemo
pojednostavljivanjem sustava primjenom ET
ustanoviti je li sustav uopće rješiv pa ako jest,
neposredno i odrediti skup rješenja.

To je izvrsno i zato volimo ET. Ako ih još
ovaj tren ne volimo baš jako, zavoljet ćemo
ih kroz primjenu, a kako ta primjena dopušta
varijante, zna biti i zabavna.

No, ako su zadane dvije matrice jednakog tipa,
čak i ne moraju biti jako "velike", recimo (3,4),
kako ćemo saznati jesu li ekvivalentne?
"Pogađanje" kojim bi se slijedom ET možda mogla
jedna pretvoriti u drugu obično je jako naporno.
Ali, odgovor je jako jednostavan: za obje se
izračuna rang. Taj broj, jedan jedini cijeli broj,
određuje jesu li matrice ekvivalentne (ako im je
rang jednak) ili nisu (inače). To je ključni podatak,
a onda se lako vidi i kako se jedna matrica
može efektivno pretvoriti u drugu - "posrednik"
je takozvana kanonska matrica određenog tipa
i ranga (kao "prototip" jednostavne matrice tih
svojstava, samo onoliko puta 1 koliki je rang,
poredano po propisu, sve ostalo 0).

A što je rang matrice?
Dimenzija linearne ljuske koju razapinju stupci,
u pripadnom vektorskom prostoru dimenzije m
.

Zašto ne uzeti retke, na analogni način?
Može se i to, rezultat je isti.
"Rang po stupcima" jednak je "rangu po retcima",
ali ne samo da to nije očito, nego je to ozbiljan teorem
čiji dokaz je relativno najteži u cijelom
dosadašnjem gradivu.
Dokaz ne morate znati, ali važno je znati smisao i
da to jest teorem, a ne usputna "sitnica".

Kad se jednom zna taj teorem, pa se za određivanje
ranga mogu ET primjenjivati i na stupce i na retke
matrice, to značajno olakšava računanje.

Kvadratna matrica reda n invertibilna je ako i samo
ako joj je rang najveći mogući, dakle n.

(Važan teorem, treba mu naučiti i dokaz).

Ovo je mali uvod, sve potrebne pojedinosti mogu
se naći u literaturi (uključujući skripta) i vježbama.

Rješavanje 8. domaće zadaće bit će važna provjera
svladavanja ovog bitnog dijela gradiva.



Forum@DeGiorgi -> Linearna algebra 1 (smjer nastavnički)


output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.

Powered by phpBB © 2001,2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin