Nastavak 23. svibnja i završetak
Select messages from
# through # FAQ
[/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Konačne geometrije

#1: Nastavak 23. svibnja i završetak Autor/ica: Juraj Siftar PostPostano: 23:26 sub, 23. 5. 2020
    —
U skriptama preostalo je 9. i 10. poglavlje.

Ovo zadnje je kratko i prikazuje jednu zgodnu
primjenu dizajna na tzv. neadaptivno grupno testiranje,
tako da se određeni algoritam (NAGTA) temelji na
2-(v,k,1) dizajnu. Vrijedi pročitati, barem informativno,
jer doista je praktično primjenjivo.

Sa svojih 15-ak stranica, znatno je opsežnije 9. poglavlje
koje pruža uvod u teoriju kodiranja.
Riječ je o stvarno ozbiljnim primjenama kombinatoričko-
geometrijskih struktura kakve su dizajni, Hadamardove
matrice i latinski kvadrati, no ovo je doista samo uvod.
Najvažniji kodovi koji se ovdje spominju su Reed-Solomonovi
kodovi (Teorem 9.39.), čija primjena (u naprednijim modifikacijama)
seže od prijenosa digitaliziranih fotografija iz dalekog svemira
(još 1977.) do CD, DVD i DAT tehnike u svakodnevnoj uporabi
(od 1982. dalje).
Temeljni članak Reeda i Solomona (s MIT-a) iz 1960. naslovljen
je "Polynomial Codes Over Certain Finite Fields"
(matematika, očito).

Naš uvod prvenstveno se odnosi na (linearno)algebarske kodove.
Poruke se kodiraju kao vektori duljine n nad konačnim poljem,
najčešće GF(2) (binarni), ali ternarni i drugi q-kodovi imaju
svoju ulogu. Najlakše je računati s binarnim kodovima.

Važno i poželjno svojstvo koda je sposobnost otkrivanja
te, po mogućnosti, i ispravljanja pogrešaka nastalih
zbog "šuma" u prijenosu podataka. Povoljno je da duljina n
"riječi" koda ne bude prevelika, ali da broj riječi M bude čim
veći, kao i prag d do kojeg se pogreške mogu ispraviti.
Ta tri parametra međusobno su zavisna, jer
M ne može biti veći od q^(n-d+1)
(Singletonova međa).

Struktura se najpreglednije opisuje ako je kod C potprostor
n-dim. vektorskog prostora nad poljem GF(q).
Uvođenjem vrlo jednostavne Hammingove metrike taj
prostor postaje i metrički, a snabdijeva se još i korisnim
bilinearnim "kvaziskalarnim" produktom.
Kod s ispravljenjem pogrešaka tada se "vidi" kao
pakiranje kugala u vektorskom prostoru s Hammingovom
metrikom.

Osim povoljnih parametara, važna je praktična efikasnost
kodiranja i dekodiranja poruka. U linearnoalgebarskom
kontekstu to je, barem načelno, dosta jednostavno.

Teoremi 9.33, 9.36 i 9.41 daju neke od rezultata kojima
su izravno povezane konačnogeometrijske strukture
s kodovima povoljnih svojstava.

Konačne geometrije i linearni kodovi korisni su uzajamno,
jer ne samo što pravilnost dizajna može osigurati dobre
kodove, nego se pridruživanje kodova dizajnima
(preko incidencijske matrice) pokazalo kao
moćno sredstvo u istraživanju postojanja projektivnih
ravnina i drugih dizajna.
Primjerice, nepostojanje projektivne ravnine reda 10,
nepostojanje 2-(22,8,4) te 2-(46,6,1) dizajna
(a to su bili iznimno "tvrdi" i reprezentativni problemi)
ustanovljeno je naprednim tehnikama iz teorije kodiranja,
uz bitnu ulogu računarstva.

Izbor zadataka povezanih s 9. poglavljem pojedinačno
će e-mailom dobiti studentice i studenti koji su
rješavali domaće zadaće.

Napominjem da je u sadašnjoj radnoj verziji
rasporeda ispita za Konačne geometrije predviđen
četvrtak 2. srpnja.

#2:  Autor/ica: Juraj Siftar PostPostano: 12:51 ned, 24. 5. 2020
    —
Koristan pregledni članak o Reed-Solomonovim kodovima,
s Harvarda:

fliphtml5.com/cqvh/nirs



Forum@DeGiorgi -> Konačne geometrije


output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.

Powered by phpBB © 2001,2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin