O izračunavanju determinanti u 10. zadaći
Select messages from
# through # FAQ
[/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Linearna algebra 1 (smjer nastavnički)

#1: O izračunavanju determinanti u 10. zadaći Autor/ica: Juraj Siftar PostPostano: 17:45 uto, 26. 5. 2020
    —
Budući da uz pregledavanje 10. domaće zadaće
šaljem puno sličnih primjedbi pojedinačno,
moglo bi biti korisno pravodobno neke upute
objaviti ovdje.

Kod zadanih determinanti većinom nije svrha
naporno računanje s "nezgodnim" brojevima, nego
vježbanje svojstava determinante kako bi se
pojednostavljivanjem došlo do oblika koji se
vrlo lako izračuna.

Npr. u 1. zadatku, podzadatak s "puno" kvadratnih
korijena rješava se u nekoliko koraka bez imalo
napora, pogotovo ako se odmah izluče očigledni
faktori. Puno (suvišnog) računa s korijenima često
dovodi do pogrešaka.

U 3. zadatku treba pripaziti - zadana matrica nije
kvadratna, ali njezin umnožak s transponiranom
jest kvadratna. Zato se Binet-Cauchyjev teorem
ne može primijeniti izravno (barem ne u nama poznatom
obliku). Nije baš zabavno izravno množiti A^t i A
(ali dovodi do rezultata).
No, ako se uoči koliki je rang A pa onda koliki može
biti rang A^t A, vrlo lako se vidi vrijednost det (A^t A).
Može se primijeniti ili Propozicija 2.5.12. iz skripata
ili se A može prikazati kao umnožak kanonske i regularne
(tu regularnu ne treba točno izračunati nego se samo
poslužiti svojstvima regularne matrice).

Kod 7. zadatka uočava se ponegdje nesporazum pri shvaćanju
uloge varijable n, koja se pojavljuje i kao red determinante
i kao element/skalar u determinanti.
Dakle, n treba shvaćati istodobno na oba načina
i to za n = 2, 3 i 4 (pod (a) i (b)),
dok u (c) (neobavezan za predati, ali neki ga rješavaju
i to je korisno) determinanta je reda n i u njoj se
pojavljuje n (ili kao element ili u indeksu parametra).

Za n=2,3,4 lako se rješava, a ti rezultati služe i kao
naznaka što bi se moglo očekivati i kako to raditi
za opći n.

#2:  Autor/ica: Juraj Siftar PostPostano: 2:54 čet, 28. 5. 2020
    —
Još nešto o det (A^t A) i det (A A^t), općenito.

Ako je A tipa (m,n), pri čemu su m i n različiti,

onda je A A^t kvadratna reda m,

dok je A^t A kvadratna reda n.

Jedna od njih može biti regularna, npr, ako je m<n,

moguće je r(A) = m i također r(A A^t ) = m,

ali r(A^t A) < n pa je det A^t A = 0.

Npr. za A = [ 1 2], A A^t = [5],

dok je A^t A = [ 1 2 // 2 4], ranga 1 i det. je 0.

U 3. zadatku je m = 4, n = 5, ali r(A) = 2

pa niti A A^t nije regularna.


Naravno, ako je A kvadratna, det A^t A = det A A^t = (det A)^2.

Dakle, treba pripaziti: vrijedi r(A) = r(A^t),

ali ne općenito i rang A^t A = rang A A^t .

#3:  Autor/ica: Juraj Siftar PostPostano: 12:09 pet, 29. 5. 2020
    —
Za isti zadatak, 3. iz 10. zadaće, kod pregledavanja
nekih rješenja u kojima se nastojalo iskoristiti upute
o primjeni ranga matrice A kako bi se zaključilo da
rang matrice A^t A nije maksimalan (pa da je
det A^t A zato jednaka 0)
uočavaju se još neke pojedinosti koje bi dobro bilo
razjasniti.

Jedan pokušaj pojednostavljenja, koji općenito nije
korektan, sastoji se u tome da bi rang umnoška
dviju (ulančanih) matrica bio jednak umnošku rangova
njima ekvivalentnih (moguće kanonskih) matrica.
U smislu da za neke ulančane matrice X i Y svaku
od njih pojednostavnimo elementarnim transformacijama
(do kanonske ili blizu kanonske), označimo dobivene s X' i Y',
pa da bi onda rang XY bio jednak rangu X' Y'.

To je ponekad točno, ali općenito nije. Svakako, istina je
npr ako su obje matrice regularne.

Uzmimo npr. matricu X = [ 0 1 // 0 0]
(zapis po retcima).

X je ranga 1, a XX = O (nulmatrica).

Uzmimo još elementarnu matricu T = [ 0 1 // 1 0].

Vrijedi XT = [ 1 0 // 0 0] (kanonska ranga 1).

XTX = X, ranga 1, a r(XX) = r(O) = 0.

Dakle, već XTX ne mora imati jednaki rang kao XX,
a izvedena je samo jedna elementarna transformacija.
(naravno, i XT XT = XT).

Vidimo da iz X~X' i Y~Y' ne slijedi XY ~ X'Y'.



Forum@DeGiorgi -> Linearna algebra 1 (smjer nastavnički)


output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.

Powered by phpBB © 2001,2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin