Jedan "probni ispit" za vježbu
Select messages from
# through # FAQ
[/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Linearna algebra 1 (smjer nastavnički)

#1: Jedan "probni ispit" za vježbu Autor/ica: Juraj Siftar PostPostano: 20:03 ned, 7. 6. 2020
    —
Na inicijativu jedne studentice sastavio sam "probni ispit"

samo u svrhu vježbe, bez ikakvog prejudiciranja (kao i za

prethodni "probni test" i "probni kolokvij") da bi pravi ispit

bio sasvim sličan ili ograničen samo na ove tipove zadataka.

Gledao sam na to da ukupni opseg i zastupljeni zadaci

predstavljaju jedan mogući pregled gradiva, u planiranom

obliku od 7 zadataka s podzadacima i teorijskim komponentama.

Nijedan zadatak nije "prepisan" iz drugih izvora (premda, naravno,

nije ni posebno originalan), samo što su u 7. zadatku dva od

standardnih teorijskih pitanja kakva se mogu vidjeti u kolokvijima

od prethodnih godina.

Mislim da će se neki od zadataka na prvi pogled učiniti

nestandardnima, no zapravo su to većinom šablonski zadaci

samo s malim varijantama u formulaciji, kako ne bi svi djelovali

krajnje suhoparno.

Dakle, ova vježba nije predložak za predstojeći ispit i nije

rezultat dogovora svih nastavnika na predmetu, kao što će

to biti pravi ispit.


Ako netko želi file, radi bolje čitljivosti i eventualno printanja,

dostatan je samo upit na moju gmail adresu pa ću poslati.


Nisam upisivao bodove, kao što se radi na pravom ispitu,

no kako ovih 7 zadataka ukupno vrijedi 120 bodova, pojedini

zadatak nosio bi 15 - 18 bodova.






ISPIT (za vježbu) IZ LINEARNE ALGEBRE 1

7. lipnja 2020.


1. zadatak.

Označimo ℝ* = ℝ \ {0}. Neka je F = { f : ℝ* → ℝ | f(x) = ax + b/x, a, b ∊ ℝ }.

(a) Dokažite da je F realni vektorski prostor s obzirom na standardne operacije zbrajanja

funkcija i množenja funkcija skalarom po točkama ( (f+g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = α f(x) ).

(b) Je li F konačnodimenzionalan prostor? Ako jest, koja mu je dimenzija?

(c) Navedite neki pravi potprostor od F (tj. potprostor različit od {0} i od F).

(d) Može li se F prikazati kao direktna suma dva potprostora, oba različita od {0}?

Sve odgovore obrazložite.

Napomena: Prikladnim pristupom, rješavanje (b)-(d) može se obuhvatiti praktički odjednom.


2. zadatak.

(i) Neka je {a,b,c,d} podskup vektorskog prostora. Dokažite da je {a,b,c,d} linearno

nezavisan skup ako i samo ako je {a+b, b, c, c+d} linearno nezavisan skup. Može li se

dokaz provesti primjenom nekih poznatih operacija koje ne mijenjaju dimenziju potprostora

vektorskog prostora?

(ii) Pretpostavimo da u konačnodimenzionalnom realnom vektorskom prostoru V postoje

podskupovi A, B i C takvi da se A sastoji od 2 vektora, B od 3 vektora, C od 4 vektora te da

pritom vrijedi: nijedan od skupova A, B, C nije baza prostora V, ali se može ili proširiti do baze

ili reducirati do baze. Koje sve vrijednosti može poprimati dim V?


3. zadatak.


Neka je S skup svih realnih matrica reda 2 koje komutiraju (pri množenju) sa svakom

realnom antisimetričnom matricom reda 2.

(a) Ispitajte je li S potprostor vektorskog prostora M2 (ℝ). Ako jest, odredite dim S.

(b) Dokažite da je S polje s obzirom na operacije zbrajanja i množenja matrica.


4. zadatak.

Kvadratna matrica P reda 4 zadana je tako da su u njezinim retcima upisani redom prim (prosti) brojevi.
Prvi redak glasi [ 2 3 5 7 ] itd.

(a) Odredite rang matrice P.

(b) Može li se rang promijeniti, tako se za element matrice u donjem desnom kutu

( na poziciji (4,4)) upiše neki drugi prim broj, umjesto šesnaestog po redu?

Uputa: (b) odgovara ispitivanju ranga u ovisnosti o parametru.



5. zadatak.

Riješite zadani sustav linearnih jednadžbi i rješenje, ako postoji, napišite
u vektorskom obliku tako da se jasno vidi struktura skupa rješenja.
Odredite, ako je moguće, neko rješenje sustava u kojem
sve nepoznanice poprimaju pozitivne cjelobrojne vrijednosti.

3 x1 + 4 x2 - 2 x4 - 4 x5 = 14

9 x1 + 4 x2 + 2 x3 - 14 x4 = 14

12 x1 + 10 x2 - 9 x3 - 14 x4 - 28 x5 = -28

3 x1 + 2 x2 - 3 x3 - 4 x4 - 8 x5 = -14 .


6. zadatak.

Matrica A = [a_ij] ∊ M3 (ℝ) zadana je s

a_ij = i + λ j , ako je i+j paran broj, odnosno

a_ij = μ i + j , ako je i+j neparan broj, pri čemu su λ , μ ∊ ℝ parametri.

(a) Izračunajte det A .

(b) Pokažite da je za jedan od parametara moguće izabrati vrijednost 0, a da sustav

u matričnom zapisu AX = B bude Cramerov, neovisno o izboru vrijednosti drugog

parametra i za svaki izbor stupca B slobodnih koeficijenata.

(c) Neka su u Cramerovom sustavu AX = B iz (b) slobodni koeficijenti redom 0,1,0.

Odredite vrijednost nepoznanice x2 u rješenju sustava.


7. zadatak.

(a) Napišite nužne i dovoljne uvjete da bi sustav od m linearnih jednadžbi s n

nepoznanica imao jedinstveno rješenje. Uvjete treba napisati pomoću pojma ranga

matrice. Dokažite iskazanu tvrdnju.

(b) Definirajte determinantu kvadratne matrice reda n nad poljem F. Objasnite

ukratko pojmove koji su bitni za definiciju.



Forum@DeGiorgi -> Linearna algebra 1 (smjer nastavnički)


output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.

Powered by phpBB © 2001,2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin