#1: Zadaci s 2. kolokvija 25.6.2021. Autor/ica: Juarj Siftar, Postano: 14:26 uto, 10. 5. 2022 — Zadaci s 2. kolokvija, 25. lipnja 2021.
1. Pretpostavimo da u Abelovoj grupi postoji (v, k, λ)-diferencijski skup D.
Navedite teorem koji daje dovoljne uvjete da prim broj p bude (numerički) multiplikator od D.
Za koji od uvjeta poznata slutnja iskazuje da je suvišan?
(v. sljedeći zadatak, za podsjećanje).
2. Trojka (40,13,4) pripada klasičnim parametrima simetričnih dizajna, za PG(3,3).
Ne ulazeći u geometrijsku strukturu, kako bismo pokušali konstruirati dizajn s tim parametrima
pomoću diferencijskog skupa i multiplikatora? (v. prvi zadatak).
Napomena: diferencijski skup ne mora biti ciklički (jedna orbita djelovanja multiplikatora).
Razmotrite sve orbite za izabrani (pretpostavljeni) multiplikator na cikličkoj grupi reda 40
i pokušajte izabrati one orbite koje daju traženi diferencijski skup.
3. Retke incidencijske matrice Hadamardovog dizajna s parametrima
(4 λ + 3, 2 λ +1, λ)
uzmimo za riječi binarnog koda H. Dokažite da su svake dvije riječi tog koda jednako međusobno udaljene.
Koliko iznosi ta konstantna (ujedno i minimalna) udaljenost i koliko pogrešaka ispravlja kod H?
Kakav bi Hadamardov dizajn trebalo uzeti da bi ovakav kod ispravljao 3 pogreške?
4. Promatramo ternarni Hammingov kod Ham (2,3). Koja je duljina riječi koda i koliko ima riječi u kodu?
Napišite matricu provjere parnosti te ispišite sve riječi koda.
(Za skalare osim 0 i 1 može se uzeti 2 ili -1).
Opišite dekodiranje jedne izabrane poruke (vektora) u kojoj je došlo
do pogreške kakva se ovim kodom može ispraviti.
Za koju najmanju vrijednost parametra r se iz koda Ham(r,3)
po Assmus-Mattsonovom teoremu dobiva dizajn s više od 100 točaka? Napišite parametre tog dizajna.
5. Napišite osnovne karakteristike koda dobivenog tako da se
afinoj ravnini reda 17 pridruži maksimalni sustav međusobno
ortogonalnih latinskih kvadrata.
