#1: Zadaci s 2. kolokvija - 6.7.2022. Autor/ica: Juraj Siftar, Postano: 19:59 sri, 13. 7. 2022 — Zadaci s drugog kolokvija - 6. srpnja 2022.
1. Neka su K i M latinski kvadrati, reda k, odnosno m (k, m > 2).
Kako bi se pomoću K i M konstruirao latinski kvadrat reda km?
Ako su K1, K2 ortogonalni latinski kvadrati reda k, a M1, M2
ortogonalni reda m, kako bi se konstruirao ortogonalni par latinskih kvadrata reda km ?
Dokažite tvrdnje. Ilustrirajte primjerom konstrukcije ortogonalnog para reda 12.
(Nije potrebno sve ispisivati. Ideja – prisjetiti se jedne konstrukcije Hadamardovih matrica).
2. Označimo s N(n) najveći mogući broj MOLS(n). Što možemo zaključiti o N(14) i N(22) na temelju
dosadašnjeg znanja?
Vrijedi sljedeći teorem: Ako je s cijeli broj kongruentan s 1 ili 2 (mod 4) pri čemu s
nije zbroj dva kvadrata onda N(s) nije veći od s – t – 2,
pri čemu je t najveći cijeli broj za koji je
t^4 /2 - t^3 + t^2 + t /2 + 1 < s.
Kakve ocjene za N(14) i N(22) pruža ovaj teorem?
3. U osnovnom teoremu o multiplikatoru za (v, k, λ)-diferencijski skup jedna je od pretpostavki
za prim broj p da bude p > λ, a poznata slutnja glasi da je taj uvjet suvišan.
Ispitajte primjenu teorema na hipotetički (85, 21, 5)- dfiferencijski skup.
4. Binarni linearni kod može se konstruirati primjerice kao linearna ljuska redaka
odnosno stupaca incidencijske matrice dizajna.
Za svih 80 STS(15) (dizajna 2-(15,3,1) )
minimalna težina riječi (duljine 35) uvijek je 4 ili 7.
Od kakve koristi mogu biti takvi kodovi?
Ako uzmemo afinu ravninu reda 3, duljina koda je 12 (kad retci
matrice odgovaraju točkama).
Koliko bi riječi mogao imati taj kod? Koje vrijednosti poprimaju težine riječi?
Ima li taj kod sposobnost ispravljanja barem jedne pogreške?
5. Iskažite Assmus-Mattsonov (osnovni) teorem o vezi savšenih linearnih kodova i dizajna.
Navedite barem dva primjera.
