#1: Zadaci s 1. kolokvija, 03.12.2021. Autor/ica: Juraj Siftar, Postano: 18:37 čet, 10. 11. 2022 — Prvi kolokvij (2021./2022.)
1. Označimo s MNPQ potpuni četverovrh u projektivnoj ravnini u
kojoj vrijedi Desarguesov teorem i Fanoov aksiom
(dijagonalne točke potpunog četverovrha nisu kolinearne).
Treba konstruirati četverovrh ABCD tako da vrhovi A, B, C, D
budu redom incidentni sa stranicama MN, NP, PQ i QM
zadanog četverovrha i da točke MN x PQ, NP x QM, AB x CD i
BC x DA budu kolinearne.
Obrazložite valjanost konstrukcije.
Kako bi glasio odgovarajući zadatak u proširenoj euklidskoj
ravnini, ako je MNPQ zadan kao paralelogram?
(Konstrukcija – efektivno, samo ravnalom).
2. Neka su p i q dva pravca u proširenoj euklidskoj ravnini te neka
je F bijekcija sa skupa točaka pravca p na skup točaka pravca q,
takva da se sjecište p i q preslikava samo u sebe.
Označimo F(X) = X'.
Ispitajte je li istinita sljedeća tvrdnja:
Ako su sva sjecišta pravaca XY' i X'Y kolinearne točke, onda je
F centralna projekcija (perspektivitet) s pravca p na pravac q
iz neke točke S kao centra projekcije.
3. Neka je A1 A2 A3 A4 A5 A6 Papposov šesterovrh i p pripadni
Papposov pravac (incidentan sa sjecištima suprotnih stranica).
Može li se na pravcu A1 A3 izabrati neka točka B, različita od
A1 , A3 i A5, tako da p ujedno bude Papposov pravac
i za šesterovrh A1 A2 A3 A4 B A6 ?
4. Zadane su točke A(1: -2 : 1) i B (3: -1: -2) u ravnini PG(2,R).
Za opću točku X pravca AB odredite X' tako da bude H(A,B;X,X').
