#1: Zadaci s prvog kolokvija - 21.11.2022. Autor/ica: Juraj Siftar, Postano: 19:00 sri, 23. 11. 2022 — Zadaci s 1. kolokvija - 21. studenog 2022.
U svim zadacima pretpostavlja se da u projektivnoj ravnini vrijedi Desarguesov teorem i Fanoov aksiom,
ako nije posebno navedeno drukčije.
1.
(a) Dokažite tvrdnju: Dijagonalni trovrh potpunog četverovrha perspektivan je sa svakim od trovrha
koji je određen s po tri vrha tog četverovrha.
Što se može reći o centrima i osima tih perspektiviteta?
(b) Pretpostavimo da je u projektivnoj ravnini zadan potpuni četverovrh
i da je zatim dobivena afina ravnina uklanjanjem nekog pravca koji prolazi
točno jednom dijagonalnom točkom četverovrha.
Kako se može primijeniti i interpretirati tvrdnja iz (a) u pogledu
kolinearnosti nekih točaka koje imaju odgovarajuće uloge za četverovrh
u afinoj ravnini?
2.
Neka u realnoj projektivnoj ravnini za točke A, B, C, D vrijedi H(A,B;C,D).
Ako su C i D izražene u obliku C = x A + y B, D = x’ A + y’ B, tada
vrijednost x y’ + x’ y ne ovisi o izboru točaka A, B, C i D, nego samo
o uvjetu da čine harmoničku četvorku. Dokažite.
3.
Zadano je pet različitih kolinearnih točaka, A, B, C, D i E na pravcu p.
(a)Pokažite da postoji točka F pravca p i potpuni četverovrh PQRS, čiji su
svi vrhovi različiti od zadanih pet točaka tako da su A i D, B i E te C i F
sjecišta pravca p s parovima suprotnih stranica četverovrha PQRS.
(b) Dokažite da za zadanih pet točaka u (a) postoji točno jedna točka F
s navedenim svojstvom.
Uputa: Dokaz je analogan dokazu jedinstvenosti četvrte harmoničke točke.
4.
Odredite jednadžbu Papposovog pravca u realnoj projektivnoj ravnini
PG(2, R), ako su vrhovi Papposovog šesterovrha redom točke (1:a:0),
(0:1:b), (1:c:0), (0:1:a), (1:b:0) i (0:1:c), pri čemu su a, b, c različiti
međusobno i različiti od 0. Mogu li se a, b, c izabrati tako da postoji perspektivitet
između kolinearnih trojki vrhova tog Papposovog
šesterovrha? (Napomena: u obzir dolazi više mogućnosti).
