#1: Zadaci s ispita 12.2.2024. Autor/ica: Juraj Siftar, Postano: 15:49 uto, 20. 2. 2024 — PROJEKTIVNA GEOMETRIJA - Ispit 12. veljače 2024.
(2. dio gradiva- "drugi kolokvij")
1. zadatak
Na realnom projektivnom pravcu može se uvesti sljedeća relacija razdvajanja ρ (ro) između parova točaka (A, B) i (C, D), pri čemu su A, B, C i D četiri različite točke:
AB ρ CD ako i samo ako je dvoomjer R(A,B;C,D) < 0. Pokažite da za bilo koje četiri točke vrijedi točno jedna od relacija AB ρ CD, AC ρ BD i AD ρ BC.
Kako bi se pomoću relacije ρ mogao uvesti pojam segmenta AB, za različite točke A i B, koji bi se na pravcu euklidske ravnine podudarao s uobičajenim segmentom?
Razlikuju li se tada segmenti za parove (A, B) i (B, A)?
2. zadatak
Neka je ABC trovrh u općenitoj projektivnoj ravnini, bez dodatnih pretpostavki. Neka su P i Q točke kolinearne s vrhom A, od kojih nijedna nije incidentna s pravcem BC.
Zadan je projektivitet s pravca AB na pravac AC, kao kompozicija perspektiviteta s pravca AB na BC iz centra P i perspektiviteta s BC na AC iz centra Q.
Označimo s X' sliku točke X u tom projektivitetu.
Vrijedi li tvrdnja da za varijabilnu točku X svi pravci X X' prolaze jednom točkom? Obrazložite.
Ako tvrdnja ne vrijedi u bilo kojoj projektivnoj ravnini, navedite uz koju bi dodatnu pretpostavku (aksiom) to bio teorem. Ima li više načina za karakterizaciju takve projektivne ravnine?
3. Zadatak
U involutornom projektivitetu na pravcu međusobno su pridružene točke A i A' te točke B i B'. Dokažite: Za neke točke M i N tog pravca vrijedi da su također međusobno pridružene
u tom projektivitetu ako i samo ako postoji projektivitet u kojem su M i N fiksne točke, a točke A i B' preslikavaju se redom u točke B i A'.
4. Zadatak
Neka je C nesingularna konika (krivulja 2. reda) u realnoj projektivnoj ravnini PG(2, R), a s pravac koji nije tangenta te konike.
(a) Neka je s sekanta te konike (pravac koji ima točno dvije različite zajedničke točke s konikom). Na skupu točaka pravca s zadano je preslikavanje φ:
za točku X, točka φ(X) je sjecište pravca s i polare točke X s obzirom na koniku C.
Dokažite da je φ projektivitet na pravcu s i odredite njegovu vrstu s obzirom na fiksne točke. Je li φ involutoran?
(b) Vrijedi li analogna tvrdnja i u slučaju kad pravac s nema zajedničkih točaka s konikom?
Tvrdnju možete, ali ne morate istražiti općenito; dostatno je analizirati primjer konike čiji je euklidski dio hiperbola -x^2 + y^2 = 1, a pravac s ima jednadžbu y = 0.
5. Zadatak
U euklidskoj ravnini zadan je kvadrat ABCD (smatra se da je nacrtan). Konstruirajte tangentu t kružnice K opisane tom kvadratu, s diralištem u vrhu D.
Nadalje, neka je točka P sjecište pravaca t i BC. Konstruirajte polaru točke P s obzirom na kružnicu K.
(Podrazumijevaju se konstrukcije samo pomoću ravnala; u obrazloženju konstrukcija možete se poslužiti poznatim tvrdnjama/svojstvima iz euklidske planimetrije).
