#1: Zadaci s kolokvija 21.11.2023. Autor/ica: Juraj Siftar, Postano: 16:04 uto, 20. 2. 2024 — KOLOKVIJ (Prvi dio gradiva) 21.11.2023.
1.
U projektivnoj ravnini PG(2, R) odredite nekih 9 točaka A,B,C,D,E,F,P,Q,R tako da trovrh DEF bude upisan
trovrhu ABC, a PQR trovrhu DEF pri čemu su sva tri trovrha centralno perspektivna s obzirom na jednu točku S
(različitu od svih 9 prethodnih).
Sve točke treba odrediti koordinatama, pri čemu pojedine koordinate mogu biti opći ili konkretni realni brojevi.
Ispitajte jesu li navedeni trovrsi također osno perspektivni s obzirom na istu os.
2.
Neka su A, B, C, D, E i F različite točke u proširenoj euklidskoj ravnini, takve da su AB, CD i EF različiti, međusobno paralelni pravci.
Vrijedi tvrdnja: ako su i pravci AC, BF i DE međusobno paralelni onda su pravci AE, BD i CF konkurentni.
Dokažite ovu tvrdnju primjenom teorema dualnog Papposovom teoremu.
Mogu li, uz zadane pretpostavke, pravci AE, BD i CF također biti paralelni?
Jesu li za tvrdnju bitne pretpostavke da su AB, CD i EF paralelni, a također i AC, BF i DE paralelni, ili se pretpostavke o tim trojkama pravaca
mogu zamijeniti općenitijima, a da zaključak i dalje vrijedi?
3.
Neka su a, b, c tri konkurentna pravca (tri pravca incidentna s jednom zajedničkom točkom).
(a) Dualiziranjem odgovarajuće definicije za kolinearne točke definirajte pravac d koji je harmonički pridružen pravcu c s obzirom na pravce a i b.
Pripadna oznaka: H(a,b;c,d).
(b) Dokažite: Ako za točke A, B, C, D vrijedi H(A,B;C,D) i ako je S bilo koja točka koja nije incidentna s pravcem AB, onda vrijedi H(SA, SB; SC, SD).
