Duljina krivulje
Select messages from
# through # FAQ
[/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Numerička matematika

#1: Duljina krivulje Autor/ica: Boris Davidovič PostPostano: 16:40 sri, 30. 6. 2004
    —
Pretpostavimo da želimo numerički odrediti duljinu luka krivulje između neke dvije točke (npr. graf neke funkcije ili dio hiperbole).
Prvo što mi pada na pamet je aproksimirati traženu duljinu linearnim splineom, ali kako tada naći ocjenu pogreške?
Jasno mi je da mogu interpolirati samu funkciju s točnošću epsilon, ali to ništa ne govori o točnosti pronađene duljine (npr polukrug radijusa jedan, čiji je dijametar zapravo spline duljine dva, dok je duljina luka pi, tj. greška određivanja duljine je pi-2, a interpolacija je točna do jedan).

Pri ovome zažmirimo na činjenicu da za glatke funkcije(realne var) znademo duljinu grafa izračunati egzaktno.

Hvala.

#2:  Autor/ica: beros PostPostano: 21:34 pon, 9. 8. 2004
    —
Za naci duljinu krivulje koristite formulu preko integrala. Dakle, ako je zadana krivulja graf funkcije f(x), onda je duljina luka krivulje

integral od A do B ( korijen(1+f'(x)^2) dx)

To se radi negdje na Analizi 1-2. Ako imate neki drugi nacin zadavanja krivulje konzultirajte matematicki prirucnik (Bronstajn) ili predavanja iz Analize 4 (barem je tako bilo prije X godina Very Happy )

Ivo Beros

#3:  Autor/ica: ZELENIZUBNAPLANETIDO
SADE
Lokacija: hm? PostPostano: 11:17 uto, 10. 8. 2004
    —
beros (napisa):
integral od A do B ( korijen(1+f'(x)^2) dx)

Mr. Green

#4:  Autor/ica: beros PostPostano: 13:59 uto, 10. 8. 2004
    —
Nemam pojma da li je to sličica ili ne, ali super izgleda. Hvala!
Ivo Beroš

#5:  Autor/ica: ZELENIZUBNAPLANETIDO
SADE
Lokacija: hm? PostPostano: 14:25 uto, 10. 8. 2004
    —
beros (napisa):
Nemam pojma da li je to sličica ili ne, ali super izgleda. Hvala!

I drugi put Mr. Green vsego je slozio integrirani tex/latex/metapost na forumu Smile vise o tome ovdje:
http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?p=17480#17480

#6: Re: Duljina krivulje Autor/ica: vekyLokacija: negdje daleko... PostPostano: 10:26 pet, 27. 8. 2004
    —
Boris Davidovič (napisa):
Jasno mi je da mogu interpolirati samu funkciju s točnošću epsilon, ali to ništa ne govori o točnosti pronađene duljine (npr polukrug radijusa jedan, čiji je dijametar zapravo spline duljine dva, dok je duljina luka pi, tj. greška određivanja duljine je pi-2, a interpolacija je točna do jedan).


Ne mogu odoljeti da ne navedem jedan primjer te pojave, koji je mene svojedobno vrlo čudio. Možda nekome od mlađih bude zanimljiv. Smile

Cilj nam je aproksimirati spojnicu točaka (0,0) i (1,1) (označimo je s l ) izlomljenim linijama koje se sastoje od dužinâ paralelnih koordinatnim osima (ukratko, dozvoljeno je kretanje samo gore, dolje, lijevo i desno - za proizvoljno male pomake). Naravno, na taj način se lako možemo proizvoljno približiti našoj l - npr. konstuiramo niz izlomljenih linijâ:
Kod:
l0:=1gore1desno
l1:=(1/2)gore(1/2)desno(1/2)gore(1/2)desno
l2:=((1/4)gore(1/4)desno)x4
l_n:=((2^-n)gore(2^-n)desno)x2^n

koji očito "konvergira" k l (maksimalna udaljenost od l_n do l je
2^(-n-0.5) ). No ono što je zanimljivo, je da _duljine_ od svih l_n iznose 2 , i nemaju apsolutno ništa s duljinom od l , koja naravno iznosi sqrt2 . Još zanimljivije, _svaka_ izlomljena linija gornjeg tipa koja spaja (0,0) i (1,1) imat će duljinu bar 2 . Dakle, nema šanse da uđemo već u (1/2)-okolinu od d(l) . Smile

(Mislim da primjer, između ostalog, dobro pokazuje kako priče o "beskonačno dugačkim obalama" i "duljinama" fraktalâ nisu tako jednostavne kakvim ih popularna matematika često nastoji prikazati.)



Forum@DeGiorgi -> Numerička matematika


output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.

Powered by phpBB © 2001,2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin