Ovo bi pitanje bilo bolje postaviti na forumu Analize, ali kako MA 1 jos nema forum necu te tjerati
Pretpostavljam da x2 znaci "iks na kvadrat"... ako da, onda je zadatak jednostavnije rjesavati metodama matematicke analize nego elementarno. Recimo da umjesto x^2 imamo x, dakle da trazimo sliku funkcije
f(x)=x-korijen x +1
To zapravo znaci da trazimo sve brojeve y koji su "pogodjeni", tj. sve parametre y za koje jednadzba
x - korijen x +1 = y
ima bar jedno rjesenje. Supstitucijom x=t^2 jednadzba prelazi u kvadratnu. Ona ima rjesenje akko je diskriminanta 4y-3 veca ili jednaka od nule, tj. y>=3/4. Slika je skup [3/4,+beskonacno>
No ako umjesto x stoji x^2, ovom tehnikom cemo doci do jednadzbe cetvrtog stupnja:
t^4 - t +1-y=0
Ova se jednadzba takodjer moze rijesiti "elementarno" (Ferrarijeva metoda), ali je rjesenje jako komplicirano. Rjesenje mozemo dobiti pomocu programa kao sto je Mathematica:
Solve[t^4-t+1-y==0,t]
Necu prepisivati formulu koju dobijemo jer se proteze preko nekoliko ekrana
No ako znamo malo analize, prvo sto cemo primijetiti je da f(x) tezi u beskonacnost kada x neograniceno raste. Onda cemo pokusati odrediti minimum. Deriviranje, izjednacavanje s nulom i racunanje druge derivacije dat ce nam jedinstveni lokalni minimum fmin=1 - 3*2^(-8/3) u tocki x=2^(-4/3). To je ujedno i globalni minimum, jer je manji od vrijednosti u rubu domene f(0)=1. Za sada znamo da je slika podskup od [fmin,+beskonacno>. Primjenom Bolzano-Weierstrassovog teorema (funkcija je neprekidna!) slijedi da se poprimaju sve vrijednosti iz tog skupa. Dakle, slika je [1-3*2^(-8/3),+beskonacno>
Koristio sam skoro cijeli repertoar Analize 1 i 2, ali mislim da je ovako ipak jednostavnije nego rjesavanjem jednadzbe cetvrtog stupnja
