| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
punio4
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 11. 2006. (18:32:34)
Postovi: (120)16
Spol: 
Lokacija: Zagreb
|
 Postano: 15:51 sub, 12. 1. 2008 Naslov: Limes niza |
    |
|
|
Evo sad baš čitam skriptu prof. Guljaša, i nije mi jasna definicija limesa niza:
[latex](\forall \varepsilon > 0), (\exists n_\varepsilon \in \mathbb{N}), (\forall n \in \mathbb{N}), ((n>n_\varepsilon) \Rightarrow (|a_n - a| < \varepsilon)[/latex]
Dakle... Za svaki [latex]\varepsilon[/latex] veći od 0 ([latex]\varepsilon \in \mathbb{R}[/latex] ili [latex]\mathbb{N}[/latex]?), postoji... e sad... što je taj [latex]n_\varepsilon[/latex]? Indeks ili baš broj?
Uglavnom, taj neki cijeli broj [latex]n_\varepsilon[/latex], takav da za svaki cijeli [latex]n[/latex], veći od tog [latex]n_\varepsilon[/latex] vrijedi da je udaljenost između [latex]a[/latex] i [latex]a_n[/latex] manja od [latex]\varepsilon[/latex]...
Uglavnom zmotan sam. Help?
Evo sad baš čitam skriptu prof. Guljaša, i nije mi jasna definicija limesa niza:
Dakle... Za svaki  veći od 0 ( ili  ?), postoji... e sad... što je taj  ? Indeks ili baš broj?
Uglavnom, taj neki cijeli broj , takav da za svaki cijeli  , veći od tog vrijedi da je udaljenost između  i  manja od ...
Uglavnom zmotan sam. Help?
|
|
| [Vrh] |
|
Luuka
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol:
Lokacija: Hakuna Matata
|
|
| [Vrh] |
|
punio4
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 11. 2006. (18:32:34)
Postovi: (120)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: 
|
| Postano: 23:52 sub, 12. 1. 2008 Naslov: Re: Limes niza |
|
|
[quote="punio4"]što je taj [latex]n_\ varepsilon[/latex]?[/quote]
Taj [latex]\ epsilon[/latex] u [latex]n_\ epsilon[/latex] je stavljen kako bi se naglasilo da [latex]n_\ epsilon[/latex] ovisi o odabranom [latex]\ epsilon[/latex]. Moglo je pisati i [latex](\ forall \ epsilon >0)(\ exists m\ in\ mathbb{N})(\ forall n\ in\ mathbb{N})(n>m) \ dots[/latex]
Možda će ti topološka definicija konvergencije k točki biti jednostavnija za shvatiti:
Niz realnih brojeva [latex]x_1,x_2,x_3,\ dots \ in \ mathbb{R}[/latex] konvergira k realnom broju [latex]x \ in \ mathbb{R}[/latex] ako za svaki interval [latex]\ left\ langle x- \ epsilon,x+\ epsilon\ right\ rangle[/latex] oko realnog broja [latex]x[/latex] postoji takav prirodan broj [latex]N[/latex] da svi članovi [latex]x_n[/latex] promatranog niza, za koje je [latex]n\ geq N[/latex], pripadaju tom intervalu.
Dakle, koliko god mali intervalčić uzeo oko realnog broja [latex]x[/latex], uvijek će postojati dovoljno velik prirodan broj N tako da će se u tom intervalu nalaziti još svi oni članovi [latex]x_N,x_{N+1},\ dots[/latex]
Ako malo raspišeš apsolutnu vrijednost u definiciji (iz analize), onda ćeš vidjeti da su te dvije definicije ekvivalentne. Ono što je u definiciji iz analize je:
[latex]|a_n-a|<\ epsilon[/latex]
ili
[latex]-\ epsilon<a_n - a <\ epsilon[/latex]
[latex]a-\ epsilon<a_n<a+\ epsilon[/latex] , to jest
[latex]a_n \ in \ left\ langle a-\ epsilon,a+\ epsilon \ right \ rangle[/latex]. | punio4 (napisa): | | što je taj ? |
Taj  u  je stavljen kako bi se naglasilo da ovisi o odabranom . Moglo je pisati i 
Možda će ti topološka definicija konvergencije k točki biti jednostavnija za shvatiti:
Niz realnih brojeva  konvergira k realnom broju  ako za svaki interval  oko realnog broja  postoji takav prirodan broj  da svi članovi  promatranog niza, za koje je  , pripadaju tom intervalu.
Dakle, koliko god mali intervalčić uzeo oko realnog broja , uvijek će postojati dovoljno velik prirodan broj N tako da će se u tom intervalu nalaziti još svi oni članovi 
Ako malo raspišeš apsolutnu vrijednost u definiciji (iz analize), onda ćeš vidjeti da su te dvije definicije ekvivalentne. Ono što je u definiciji iz analize je:
ili
 , to jest
 .
_________________
The Dude Abides
|
|
| [Vrh] |
|
punio4
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 11. 2006. (18:32:34)
Postovi: (120)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
| Postano: 19:03 uto, 12. 2. 2008 Naslov: |
|
|
|
Evo, sad sam počeo raditi primjere, i nije mi npr jasan dokaz [latex]\lim_{n} \dfrac{1}{n} = 0[/latex]
[latex](\forall \varepsilon > 0), (\exists n_\varepsilon \in \mathbb{N}), (\forall n \in \mathbb{N}), ((n>n_\varepsilon) \Rightarrow (|a_n - a| < \varepsilon)[/latex]
Ok, prve 3 zagrade ostavimo sa strane, one su "univerzalne".
Ostane nam:
[latex](n>n_\varepsilon) \Rightarrow (|a_n - a| < \varepsilon)[/latex]
Modificiramo da vrijedi za ovaj niz:
[latex](n>n_\varepsilon) \Rightarrow (|\dfrac{1}{n} - 0| < \varepsilon)[/latex]
I dobili smo... Što :-k ?
[latex](n>n_\varepsilon) \Rightarrow (\dfrac{1}{n} < \varepsilon)[/latex]
Da je granična vrijednost < epsilon, a epsilon je > 0, dakle, da je granična vrijednost niza između nula i epsilon.
Da li smo time što dokazali? Mislim da ne.
Evo, sad sam počeo raditi primjere, i nije mi npr jasan dokaz 
Ok, prve 3 zagrade ostavimo sa strane, one su "univerzalne".
Ostane nam:
Modificiramo da vrijedi za ovaj niz:
I dobili smo... Što  ?
Da je granična vrijednost < epsilon, a epsilon je > 0, dakle, da je granična vrijednost niza između nula i epsilon.
Da li smo time što dokazali? Mislim da ne.
|
|
| [Vrh] |
|
Luuka
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol:
Lokacija: Hakuna Matata
|
|
| [Vrh] |
|
punio4
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 11. 2006. (18:32:34)
Postovi: (120)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
|
| [Vrh] |
|
nameless
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 09. 2007. (13:59:36)
Postovi: (58)16
Spol: 
Lokacija: Zagreb
|
| Postano: 19:56 uto, 12. 2. 2008 Naslov: |
|
|
|
[quote="punio4"]
Da li je onda *caka* u tome da zaključujemo:
Bez obzira koliko mali epsilon uzeli, 1/n je manji od njega, tj teži k nuli?
Ako da, čemu onda arhimed?[/quote]
pa nije caka.. koliki got mali epsilon uzeli, udaljenost od 1/n do 0 ce biti manja od njega nakon odredjenog n-a dakle kad epsilon tezi u 0, n epsilon tezi u besk,n tezi u besk, 1/n tezi u 0
| punio4 (napisa): |
Da li je onda *caka* u tome da zaključujemo:
Bez obzira koliko mali epsilon uzeli, 1/n je manji od njega, tj teži k nuli?
Ako da, čemu onda arhimed? |
pa nije caka.. koliki got mali epsilon uzeli, udaljenost od 1/n do 0 ce biti manja od njega nakon odredjenog n-a dakle kad epsilon tezi u 0, n epsilon tezi u besk,n tezi u besk, 1/n tezi u 0
_________________
"ja sam samo tu da vreme brže proleti"...
|
|
| [Vrh] |
|
Luuka
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol:
Lokacija: Hakuna Matata
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol:
|
| Postano: 20:35 uto, 12. 2. 2008 Naslov: |
|
|
|
[quote="punio4"]
Da li je onda *caka* u tome da zaključujemo:
Bez obzira koliko mali epsilon uzeli, 1/n je manji od njega, tj teži k nuli?
Ako da, čemu onda arhimed?[/quote]
Arhimedov aksiom ti daje postojanje takvog broja [latex]n[/latex] za kojeg je [latex]\frac{1}{n}<\epsilon[/latex] , bez obzira o kojem se [latex]\epsilon[/latex]-u radilo.
Ključ je upravo u tri "univerzalne" zagrade koje si ostavio sastrane :) Definicija kaže da će limes od 1/n težiti k 0 ako, bez obzira koji epsilon odabrao, [u]postoji[/u] takav prirodan broj n tako da za svaki prirodan broj m veći od n vrijedi 1/m < e. Arhimedov aksiom kaže da takav broj stvarno postoji pa je onda limes 1/n = 0.
Kada ne bi imao Arhimedov aksiom, tada bi postojao barem jedan [latex]\epsilon > 0[/latex] takav da bi za sve prirodne brojeve n vrijedilo [latex]\frac{1}{n}\geq\epsilon[/latex] i tada 0 ne bi bila limes niza [latex](\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}[/latex].
| punio4 (napisa): |
Da li je onda *caka* u tome da zaključujemo:
Bez obzira koliko mali epsilon uzeli, 1/n je manji od njega, tj teži k nuli?
Ako da, čemu onda arhimed? |
Arhimedov aksiom ti daje postojanje takvog broja za kojeg je  , bez obzira o kojem se -u radilo.
Ključ je upravo u tri "univerzalne" zagrade koje si ostavio sastrane  Definicija kaže da će limes od 1/n težiti k 0 ako, bez obzira koji epsilon odabrao, postoji takav prirodan broj n tako da za svaki prirodan broj m veći od n vrijedi 1/m < e. Arhimedov aksiom kaže da takav broj stvarno postoji pa je onda limes 1/n = 0.
Kada ne bi imao Arhimedov aksiom, tada bi postojao barem jedan  takav da bi za sve prirodne brojeve n vrijedilo  i tada 0 ne bi bila limes niza  .
_________________
The Dude Abides
|
|
| [Vrh] |
|
|
