Par dokaza (zadatak)

[Gordan]

(a) Dokazi da u svakom, makar kako malom okolisu neke kvadratne matrice A reda n postoji matrica koja je invertibilna (ako je A invertibilna, to je jasno: uzmemo samu matricu A; znaci ostaje slucaj kada A nije invertibilna). Drugim rijecima, skup svih invertibilnih matrica je gust u skupu svih matrica reda n.

(b) Je li skup neinvertibilnih matrica takoder gust u skupu svih matrica?

(c) Je li skup svih invertibilnih (regularnih) matrica reda n otvoren u skupu svih matrica reda n.

(d) Interpretirajte odgovore na pitanja (a-c) u slucaju n = 1 (matrice reda 1, tj. realni brojevi).

(e) x'(t) = Ax(t),  x(0) = x0 ,  tj.  x(t) = exp(At) x0.
Kako fazni portret trajektorija ovisi o izboru kvadratne matrice? Kakve trajektorije daju stabilne kvadratne matrice?

_________________
http://mafija.gameland.com.hr - budi i ti mafijaš!

[MB]

a) matrici mozes malo promijeniti elemente tako da sve svojstvene vrijednosti postanu razlicite od nule.

b) nije. determinanta je neprekidna funkcija, pa je skup neinvertibilnih kao praslika 0 pri determinanti zatvoren skup- sam je sebi zatvarac.

c) jest. opet preko determinante.

d) skup ne-nul elemenata je gust, otvoren u R, dok {0} nije gust skup u R.

_________________

[petar]

ja ovo nis ne kuzim
moze molim vas netko poblize pojasnit (pogotovo b) i c))
hvala dobri ljudi