Dijelitelji nule (zadatak)

[Wolfert]

Evo jedan zadatak, bio bih jako zahvalan ako bi ga netko rijesio!

Neka je L potprsten prstena R. Ako L ima jedinični element, a R nema jedinični element, tada R ima dijelitelje nule. Dokažite!

Hvala na pomoći!

_________________
I will never join the dark side! NEVER! I`m a Jedi, like my father before me!

[Gost]

Označimo s e jedinični element u L.
Budući da R nema jedinični element, onda ni e nije jedinični za R
pa postoji neki x iz R takav da je xe različito od x ( i pritom x različit od 0, jasno). Tada je xe - x = y i y nije 0.
No, ye = (xe - x)e = (xe)e - xe = x(ee) - xe = 0.
Dakle, imamo djelitelje nule u R.

[Wolfert]

Hvala!

_________________
I will never join the dark side! NEVER! I`m a Jedi, like my father before me!

[Gost]

A kao bonus evo i primjera kad se to zbilja događa :

Neka je R prsten 2 x 2 matrica, a L potprsten onih matrica koje na svim mjestima osim (1,1) imaju nule. Dalje je lagano.

[Gost]

Pogreška. Za ovaj primjer R treba biti prsten 2x2 matrica koje imaju u drugom retku samo nule. Onda R nema jedinicu.