1. Što znaš o sumi dva konvergentna reda? Kako množenje konvergentnog reda skalarom utječe na konvergentnost?
Kada je neko preslikavanje norma? Kada zadovoljava definiciju norme. Homogenost, pozitivnost i definitnost se lako pokažu. Nejednakost trokuta je zapravo [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_inequality]nejednakost Minkowskog[/url] koja se dokazuje pomoću [url=http://en.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6lder%27s_inequality]Holderove nejednakosti[/url].
2. Nisu mi jasne implikacije i) i ii). Što ako npr. niti d(x,y) niti d'(x,y) nije jednako [latex]\alpha[/latex]? Tada ne možemo saznati išta o konvergenciji.
Malo sam modificirao te uvjete pa sam riješio jedan smjer ovako:
Neka niz funkcija konvergira s obzirom na metriku d. Neka je [latex]\varepsilon > 0[/latex]. Za taj [latex]\varepsilon[/latex] postoji prirodan broj [latex] i_\varepsilon[/latex] takav da je [latex]d(x_j(t),x_0(t))<\varepsilon[/latex] za svaki [latex]j\geq i_\varepsilon[/latex] i za svaki t iz T.
Za svaki [latex]j\geq i_\varepsilon[/latex] postoje [latex]\alpha_j[/latex] i [latex]\beta_j[/latex] takvi da vrijede implikacije i) i ii) iz zadatka.
Pretpostavimo da je [latex]\beta_j \geq 1[/latex]. Tada po ii) vrijedi [latex]d'(x_j(t),x_0(t))=\frac{1}{\beta_j}d(x_j(t),x_0(t))<\dfrac{\varepsilon}{\beta_j}<\varepsilon[/latex].
Ako je [latex]\beta_j < 1[/latex], po i) imamo [latex]d'(x_j(t),x_0(t))=\beta_j d(x_j(t),x_0(t))<d(x_j(t),x_0(t))<\varepsilon[/latex].
Drugi smjer je vrlo vjerojatno jako sličan pa to probaj sam(a).
3. Iskoristi L'Hospitalovo pravilo ili probaj ograničiti niz sa dva niza čiji limes znaš izračunati.
Inače, ovaj forum nije servis za rješavanje zadataka. :) Poželjno je da uz zadatke napišeš vlastiti pokušaj rješavanja i naglasiš što ti nije jasno.
1. Što znaš o sumi dva konvergentna reda? Kako množenje konvergentnog reda skalarom utječe na konvergentnost?
Kada je neko preslikavanje norma? Kada zadovoljava definiciju norme. Homogenost, pozitivnost i definitnost se lako pokažu. Nejednakost trokuta je zapravo nejednakost Minkowskog koja se dokazuje pomoću Holderove nejednakosti.
2. Nisu mi jasne implikacije i) i ii). Što ako npr. niti d(x,y) niti d'(x,y) nije jednako 
? Tada ne možemo saznati išta o konvergenciji.
Malo sam modificirao te uvjete pa sam riješio jedan smjer ovako:
Neka niz funkcija konvergira s obzirom na metriku d. Neka je 
. Za taj 
postoji prirodan broj 
takav da je 
za svaki 
i za svaki t iz T.
Za svaki postoje 
i 
takvi da vrijede implikacije i) i ii) iz zadatka.
Pretpostavimo da je 
. Tada po ii) vrijedi 
.
Ako je 
, po i) imamo 
.
Drugi smjer je vrlo vjerojatno jako sličan pa to probaj sam(a).
3. Iskoristi L'Hospitalovo pravilo ili probaj ograničiti niz sa dva niza čiji limes znaš izračunati.
Inače, ovaj forum nije servis za rješavanje zadataka. 
Poželjno je da uz zadatke napišeš vlastiti pokušaj rješavanja i naglasiš što ti nije jasno.
_________________
The Dude Abides
