2. zadatak sa završnog 2010.

[Malina_1]

Pliz, pliz, može pomoć za sljedeći zadatak:

Neka je a element Rn. Odredite prirodnu domenu i skup gomilišta prirodne domene funkcije
f (x) = ln||x||^2 • cos <a|x> .
Dokažite da je f diferencijabilna u svim točkama prirodne domene te izračuna jte Df (x).
Nadalje, za a = (pi/4, 0, … 0)odredite Df (1, 0, . . . , 0).

[Mrs. Bean]

prvo domena: kako je a element Rn, tada, posto mnozimo skalarno sa x i x mora biti iz Rn. kako imas ln mora vrijediti da je ||x||^2>0, znaci domena je Rn/(0,0...0,0) i f:Rn/(0,0,...,0)->R,
funkcija je dfb u svim tockama ako postoje sve parcijalne dertivacije i neprekidne su.
sad si lijepo rastavis malo funkciju, tj, napises po komponentama:
f(x1,x2,x3,....,xn)=ln(x1^2+x2^2+...+xn^2)*cos(a1x1+a2x2+...+anxn)

i parcijalno deriviras po x1, x2, ...xn. tj ispadne da je Df(x) matrica 1 x n i
parc.der(xi)=1/||x||^2*2xi*cos<a,x > + ln||x||^2*(-sin<a,x>*ai)

parc derivasije su neprekidne jer su kompozicije neprekidnih funkcija, daklje f je dfb na prirodnoj domeni.
ovo Df(1,0,0,0,0,...0) jesnostavno uvrsti odgovarajuce brojeve u matricu

nadam se da je ok:)

[anchi]

e a jel se mora provjeravati dal je fja dfb u x=(0,...,0)??

[Luuka]

[Malina_1]

Hvala mrs. bean! srce si!!!

[pajopatak]

Dali bi mogo netko rješiti 2.zadatak sa završnog 2009.godine? Hvala

[ananas]

bi li netko htio pomoci oko prvog zadatka s proslogodisnjeg završnog
1. Zadani su skupovi
A = {f(x, y, z) : x^2+3y^2 <=6 } {B = f(x, y, z) :y^2 + z = 2}
(a) Dokažite da su skupovi A i B zatvoreni.
(b) Jesu li skupovi A, odnosno, B kompaktni?
(c) Je li skup A \ B kompaktan?

znam za zatvorenost pokazati,ali kod kompaktnosti me muči za omeđenost kako pokazati jesu li ili nisu omeđeni

[suza]

već se na forumu pisalo o tom zadatku: http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=14599

[ananas]

@suza: tnx



http://web.math.hr/nastava/difraf/dif/2007-08/DRFVVzavrsni.pdf

bi li netko bio dobar pa pomogao pri rješavanju drugog zadatka i četvrtog b

četvrti b stavim da je f(a,b,c)=cos a+cos b+cos c
i trazim ekstrem te f-je uz uvjet
a+b+c=180

pa onda dobijem sin a=sin b=sin c=-lambda
sto dalje ?
hvala :S

[pbakic]

Pa za 4b je ovo ok.
Jos samo preostaje rec da ako je sinx=siny=sinz, onda uz ovaj dodatni uvjet (x,y,z>0 i x+y+z=pi) vrijedi i x=y=z.
(x,y iz [0,pi] imaju jednake sinuse ako su jednaki ili ako je x=pi-y. Ovo drugo ne moze biti jer tada iz x+y+z=pi dobivamo z=0).
To znaci da je x=y=z=pi/3, pa je ekstrem one funkcije 3cos(pi/3)...
(Naravno, ekstrem postoji jer je ovo na cemu ga trazimo kompaktan skup)

Za drugi bi bilo valjda dovoljno reci da je ||x||^2=<x,x> diferencijabilna funkcija na cijelom Rn (to ima u vjezbama pokazano, diferencijal te funkcije u tocki x primjenjen na neki vektor h je 2<x,h>)
Sinus je takodjer svugdje dfb, pa je i zadana funkcija (njihova kompozicija/zbroj) diferencijabilna.
Trazenje diferencijala ko inace, pomocu pravila za kompzoiciju, zbroj, itd...
(ili preko koordinata)

[ananas]

tnx:)

[spot137]

hey, jel su rekli asistenti ili je mozda pisalo negdje kad bi mogli doci rezultati zavrsnog??